Построение линий влияния усилий в стержнях фермы крана

При перемещении нагрузки по ферме усилия в стержнях изменяются по величине, а нередко, и по знаку. Для определения законов изменения и наибольших значений усилий в стержнях фермы при действии подвижной и неподвижной нагрузок воспользуемся методом линий влияния (л.в.).

При построении л.в. усилий в стержнях ферму нагружают условным подвижным безразмерным грузом, равным единице. Так как для усилий в стержнях фермы не безразлично, к какому из поясов приложена нагрузка, то единичный груз следует помещать на том из поясов, по которому перемещается действительная нагрузка.

На рис. 2.1,а,б помещены линии влияния опорных реакций R_А и R_В для рассматриваемой в качестве примера фермы с консолью. Они не отличаются от линий влияния опорных реакций для балок (см. [1, 3, 6]), поэтому на их построении останавливаться не будем. Приведем лишь уравнения, описывающие значения R_А и R_В в функции положения единичного груза P = 1:

,

Л.в. опорных реакций R_А и R_В для рассматриваемой в качестве примера фермы помещены на рис. 2.1,а,б.

Построение л.в. усилия в стержне О₆ (л.в.S_О6). Проводим сечение I-I, проходящее через стержень О₆, усилие в котором определяется, и рассекающее ферму на две части. При движении единичного груза Р=1 справа и слева от разрезанной панели О₆ законы изменения усилия S_О6 будут различными. Поэтому л.в. S_О6 будем строить по частям (участкам).

Для построения правого участка л.в. S_О6 рассмотрим движение единичного груза справа от разрезанной панели О₆. Отбросим правую часть фермы, как содержащую больше сил, а ее действие на оставшуюся (левую) часть фермы заменим неизвестными усилиями в перерезанных стержнях, которые предварительно примем растягивающими. Равновесие левой части фермы запишем в виде суммы моментов всех сил относительно точки Риттера (моментной точки) r_О6 для стержня О₆:

åМ_rO6 = R_A × 5·b + S_O6·h = 0 ,

откуда

(стержень сжат), (2.1)

где b = 1000 мм – длина панели фермы;

h = 1000 мм – высота фермы.

Таким образом, правый участок л.в. S_О6 может быть получен умножением ординат л.в. R_A на этом участке на постоянный множитель (-5·b/h);

Для построения левого участка л.в. S_О6 рассмотрим движение единичного груза слева от разрезанной панели О₆. Отбросим левую часть фермы, а равновесие правой части запишем в виде суммы моментов всех сил относительно точки Риттера r_О6 для стержня О₆:

åМ_rO6 = - R_В × 7·b - S_O6 × h = 0 ,

откуда

(стержень сжат). (2.2)

Таким образом, левый участок л.в. S_О6 может быть получен умножением ординат л.в. R_В на этом участке на постоянный множитель (-7·b/h).

При движении груза в пределах разрезанной панели линией влияния будет прямая, соединяющая крайние ординаты построенных участков л.в. S_O6. (в рассматриваемом случае она является продолжением правого участка л.в. S_О6 – см. рис. 2.1,в).

Для стержней фермы, имеющих точку Риттера, оба участка л.в. пересекаются под этой точкой. Таким образом, можно было ограничиться составлением одного уравнения равновесия, например, для движения единичного груза справа от разрезанной панели. Построить соответствующий этому уравнению участок л.в. S_O6. Участок л.в. при движении груза слева от разрезанной панели можно построить следующим образом. Из точки r_О6 провести вертикальную линию до пересечения с построенным участком л.в. S_O6 (см. рис. 2.1,в, точка с) и соединить т. с с нулевой отметкой под опорой А.

Построение л.в. усилия в стержне О₇ (л.в.S_О7). Проводим сечение II-II. При движении единичного груза Р=1 справа и слева от разрезанной панели О₇ законы изменения усилия S_О7 будут различными. Поэтому л.в. S_О7 будем строить по частям (участкам).

Для построения правого участка л.в. S_О7 рассмотрим движение единичного груза справа от разрезанной панели О₇; условие равновесия левой части фермы запишем в виде:

åМ_rO7 = R_A × 7·b + S_O7 × h = 0 ,

откуда

(стержень сжат). (2.3)

Таким образом, правый участок л.в. S_О7 может быть получен умножением ординат л.в. R_A на этом участке на постоянный множитель (-7·b/h).

Для построения левого участка л.в. S_О7 из точки Риттера r_О7 опустим вертикаль до пересечения с построенным (правым) участком л.в. S_О7 (рис. 2.1,г, точка d). Соединив т. dс нулем под левой опорой получим левую ветвь л.в. S_О7.

При положении груза в пределах разрезанной панели линией влияния будет прямая, соединяющая крайние ординаты построенных участков л.в. S_O7 (в рассматриваемом случае она является продолжением левого участка л.в. S_О7).

Построение л.в. усилия в стержне D₁ (л.в. S_D1). Проводим сечение III-III (рис. 2.2). Рассмотрим два положения единичного груза:

- груз перемещается справа от разрезанной панели О₁; условие равновесия левой части фермы запишем в виде:

åP_y = R_A + S_D1 × cosa = 0,

откуда

S_D1 = - R_A /cosa = - R_A /cos 45⁰ = - 1,41·R_А; (2.4)

- груз перемещается слева от разрезанной панели О₁; так как в этом случае груз находится за пределами фермы, то S_D1 = 0.

Таким образом, для построения л.в. S_D1 справа от разрезанной панели O₁ надо все ординаты л.в. R_A на этом участке умножить на постоянный множитель -1/cosa.Затем соединить крайнюю ординату построенного участка л.в. с нулем, который находится под левой опорой фермы (см. рис. 2.2,а).

Построение л.в. усилия в стержне V₂ (л.в. S_V2). Проводим сечение IV-IV (см. рис. 2.2). Рассмотрим два положения единичного груза:

- груз перемещается справа от разрезанной панелиO₂; отбросив правую часть фермы, запишем равновесие левой части фермы в виде:

åP_y = R_A – S_V2 = 0,

откуда

S_V2 = R_A (стержень растянут); (2.5)

- груз перемещается слева от разрезанной панелиО₂, равновесие правой части фермы запишем в виде:

åP_y = R_B + S_V2 = 0,

откуда

S_V2 = - R_B (стержень сжат). (2.6)

Таким образом, л.в.S_V2 состоит из двух участков, представляющих собой л.в. R_А и л.в. -R_В. Первый из них справедлив при движении единичного груза справа от разрезанной панели О₂ , а второй – слева. В пределах разрезанной панели проводим передаточную прямую (см. рис. 2.2,б).

Построение л.в. усилия в стержне D₁₂ (л.в. S_D12). Проводим сечение V-V (см. рис. 2.2), проходящее через искомый стержень D₁₂ и полностью рассекающее ферму на две части. Рассмотрим два положения единичного груза:

- груз перемещается справа от разрезанной панели О₁₂; условие равновесия левой части фермы запишем в виде:

åP_y = R_A - S_D12 × cosa = 0,

откуда

S_D12 = R_A /cosa = R_A /cos 45⁰ = 1,41·R_А; (2.7)

- груз перемещается слева от разрезанной панели O₁₂; условие равновесия правой части фермы запишем в виде:

åP_y = R_В + S_D12 × cosa = 0,

откуда

S_D12 = - R_В /cosa = - R_В /cos45⁰ = - 1,41·R_В. (2.8)

Таким образом, для построения л.в. S_D12 справа от разрезанной панели (правого участка л.в. S_D12) надо все ординаты л.в. R_A на этом участке умножить на постоянный множитель 1/cosa.Для построения л.в. S_D12 слева от разрезанной панели (левого участка л.в. S_D12) надо все ординаты л.в. R_В на этом участке умножить на постоянный множитель (-1/cosa).

Построение л.в. усилия в стержне U₆ (л.в. S_U6). Проводим сечение VI-VI (см. рис. 2.3). Рассмотрим два положения единичного груза:

- груз перемещается справа от разрезанной панели О₆; условие равновесия левой части фермы запишем в виде

åМ_rU6 = R_A × 6·b – S_U6 · h = 0 ,

откуда

(стержень растянут). (2.9)

Таким образом, правый участок л.в. S_U6 можно получить умножением ординат л.в. R_A на этом участке на постоянный множитель (6·b/h) (рис. 2.3,а).

Для построения левого участка л.в. S_U6 воспользуемся упомянутым ранее свойством л.в. усилий в стержнях ферм, имеющих точку Риттера.

Построение л.в. усилия в стержне О₁₃ (л.в. S_О13). Проводим сечение VII-VII (см. рис. 2.3). Рассмотрим два положения единичного груза:

- груз перемещается справа от разрезанной панели О₁₃; условие равновесия правой части фермы запишем в виде

åМ_rO13 = 1·х₁ - S_O13 × h = 0 ,

откуда

(стержень растянут) (2.10)

и для построения графика уравнения (210) найдем два значения S_О13

при х₁ = b ,

при х₁ = 3b ;

- груз перемещается слева от разрезанной панели O₁₃; условие равновесия правой части фермы запишем в виде

åМ_rO13 = - S_O13 × h = 0 ,

откуда

S_O13 = 0. (2.11)

На рис. 2.3,б помещена л.в.S_O13, правый участок которой построен по уравнению 2.10, а левый – по уравнению (2.11). В пределах разрезанной панели проводим передаточную прямую, которая является продолжением правого участка л.в.S_O13 (см. рис. 2.3,б).

Построение л.в. усилия в стержне D₁₃ (л.в. S_D13). Воспользуемся сечением VII-VII. Рассмотрим два положения единичного груза:

- груз перемещается справа от разрезанной панели О₁₃; условие равновесия правой части фермы запишем в виде:

åP_y = -1 - S_D13×cosa = 0,

откуда

S_D13 = -1/cosa = -1/cos 45⁰ = -1,41 (стержень сжат). (2.12)

- груз перемещается слева от разрезанной панели O₁₃; условие равновесия правой части фермы запишем в виде

åP_y = - S_D13×cosa = 0,

откуда

S_D13 = 0. (2.13)

По уравнениям (2.12) и (2.13) строим правый и левый участки л.в. S_D13. В пределах разрезанной панели О₁₃ проводим передаточную прямую, соединяющую концы построенных участков л.в.S_D13 (см. рис. 2.3,г).