Области применения схемы простых процентов

На практике многие финансовые операции выполняются в рамках одного года, при этом могут использоваться различные схемы и методы начисления процентов. В частности, большое распространение имеют краткосрочные ссуды, т.е. ссуды, предоставляемые на срок до одного года с однократным начислением процентов. Как отмечалось выше, в этом случае для кредитора, диктующего чаще всего условия финансового контракта, более выгодна схема простых процентов, при этом в расчетах используют промежуточную процентную ставку, которая равна доле годовой ставки, пропорциональной доле временного интервала в году.

где r - годовая процентная ставка в долях единицы;

t - продолжительность финансовой операции в днях;

Т - количество дней в году;

f - относительная длина периода до погашения ссуды.

Для наглядности формулу (2.10.4) можно записать следующим образом:

т.е. дробь r/Т представляет собой дневную ставку, а произведение t ∙ r/T - ставку за t дней.

Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от того, чему берется равной продолжительность года (квартала, месяца), размер промежуточной процентной ставки может быть различным. Возможны два варианта:

· точный процент, определяемый исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31 );

· обыкновенный процент, определяемый исходя из приближенного числа дней в году, квартале и месяце (соответственно 360, 90, 30).

При определении продолжительности периода, на который выдана ссуда, также возможны два варианта:

· принимается в расчет точное число дней ссуды (расчет ведется по дням);

· принимается в расчет приблизительное число дней ссуды (исходя из продолжительности месяца в 30 дней).

Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются специальными таблицами (одна — для обычного года, вторая - для високосного), в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Продолжительность финансовой операции определяется вычитанием номера первого дня из номера последнего дня.

В том случае, когда в расчетах используется точный процент, берется и точная величина продолжительности финансовой операции; при использовании обыкновенного процента может применяться как точное, так и приближенное число дней ссуды. Таким образом, расчет может выполняться одним из трех способов:

· обыкновенный процент с точным числом дней (применяется в Бельгии, Франции);

· обыкновенный процент с приближенным числом дней (Германия, Дания, Швеция);

· точный процент с точным числом дней (Великобритания, США).

В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа зависит от значительности суммы, фигурирующей в процессе финансовой операции. Но и так ясно, что использование обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды, как правило, дает больший результат, чем применение обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.

Пример 2.16. Предоставлена ссуда в размере 7 тыс. руб. 10 февраля с погашением 10 июня под 20% годовых (год невисокосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению (F).

Величина уплачиваемых за пользование ссудой процентов зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней финансовой операции равно 120. Приближенное число дней ссуды равно: 18 дн. февраля + 90 дн. (по 30 дн. трех месяцев: март, апрель, май) + 10 дн. июня = 118 дн. Возможные варианты возврата долга:

1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды:

F = 7 ∙ (1 + 120 : 365 ∙ 0,2) = 7,460 тыс. руб.

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней:

F = 7 ∙ ( 1 + 120 : 360 ∙ 0,2) = 7,467 тыс. руб.

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней:

F = 7 ∙ (1 + 118 : 360 ∙ 0,2) = 7,459 тыс. руб.

Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера, для оценки которой используются рассмотренные формулы, является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются дисконтной ставкой. Одна из причин состоит в том, что векселя могут оформляться по-разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению, т.е. с величиной FV. Схема действий в этом случае может быть следующей. Владелец векселя на сумму FV предъявляет его банку, который соглашается учесть его, т.е. купить, удерживая в свою пользу часть вексельной суммы, которая нередко также называется дисконтом. В этом случае банк предлагает владельцу сумму (PV), исчисляемую исходя из объявленной банком ставки дисконтирования (d). Очевидно, что чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Расчет предоставляемой банком суммы ведется по формуле, являющейся следствием формулы (2.10.2):

где f - относительная длина периода до погашения ссуды (отметим, что операция имеет смысл, когда число в скобках неотрицательно).

Пример 2.17.Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения 28.09.1997 г. Вексель предъявлен 13.09.1997 г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую векселедержатель получит от банка..

Величина этой суммы рассчитывается по формуле (2.10.5) и составит:

PV = 50 ∙ (1 – 15 : 360 ∙ 0,3) = 49,375 тыс. руб.

Разность между FV (номинальной величиной векселя) и PV (дисконтированной величиной векселя) представляет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу. В данном примере она составила 625 руб.

Можно выполнить и более глубокий факторный анализ. Дело в том, что доход банка при учете векселей складывается из двух частей - процентов по векселю, причитающихся за время, оставшееся до момента погашения векселя, и собственно комиссионных за предоставленную услугу. Как уже упоминалось выше, теоретическая дисконтная ставка меньше процентной. Однако на практике, устанавливая дисконтную ставку, банк, как правило, повышает ее в зависимости от условий, на которых выдан вексель, риска, связанного с его погашением, комиссионных, которые банк считает целесообразным получить за оказанную услугу, и т.п. Поскольку величина процентов по векселю за период с момента учета до момента погашения предопределена, банк может варьировать лишь размером комиссионных путем изменения учетной ставки. Прежде чем рассмотреть простейший пример, изложим логику факторного анализа дохода банка в этом случае.

Введем следующие обозначения:

PV - стоимость векселя в момент его оформления;

P₁ - теоретическая стоимость векселя в момент учета;

P₂ - предлагаемая банком сумма в обмен на вексель;

FV - стоимость векселя к погашению;

Δ₀ - общий доход банка от операции.

Из формул (2.10.4) и (2.10.5) видно, что функции PV = f(t) и FV = g(t) являются линейными относительно t, т.е. процессы перехода PV → FV и FV → РV, а также структура факторного разложения при учете векселей могут быть представлены графически следующим образом (рис. 2.6).

Скорость наращения стоимости векселя, т.е. крутизна наклона прямой РVFV, зависит от уровня процентной ставки r, согласованной между векселедателем и векселедержателем. По мере приближения срока погашения векселя его теоретическая стоимость постоянно возрастает на сумму причитающихся за истекший период процентов, таким образом, в момент учета векселя она составит величину Р₁, которую можно рассчитать по формуле (2.10.4). Таким образом, учитывая вексель в банке, его владелец теоретически мог бы рассчитывать на сумму Р₁, а факт ее получения означал бы, что с момента учета векселя кредитором векселедателя фактически становится банк. Вряд ли такое положение устраивает менеджеров банка, поскольку неочевидно, что заложенная в векселе доходность в размере ставки r будет привлекательна для банка. Именно поэтому предлагаемая банком сумма Р₂, которая рассчитывается по формуле (2.10.5) исходя из стоимости векселя к погашению и предлагаемой банком дисконтной ставки, в принципе, не связанной со ставкой r, в подавляющем большинстве случаев меньше теоретической стоимости векселя. Разность Δ_с = P₁ – P₂представляет собой сумму комиссионных, получаемых банком за услугу, оказываемую векселедержателю. С позиции последнего эта сумма представляет собой затраты, т.е. плату за возможность более быстрого получения наличных. Помимо комиссионных банк получает также проценты за период с момента учета до момента погашения векселя, сумма которых рассчитывается по формуле: Δ_p = FV – Р₁. Таким образом, общий доход банка от операции составит: Δ₀ = Δ_p + Δ_c = FV - Р₂. Отметим, что реальные потери векселедержателя составляют величину Δ_с = P₁ - Р₂, а не сумму (FV - Р₂), как это кажется на первый взгляд. Дело в том, что с момента учета векселя кредитором становится банк, поэтому ему и "передаются" проценты за оставшийся период.

Пример 2.18. Предприятие продало товар на условиях потребительского кредита с оформлением простого векселя: номинальная стоимость 150 тыс. руб., срок векселя - 60 дней, ставка процента за предоставленный кредит - 15% годовых. Через 45 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть вексель в банке; предложенная банком дисконтная ставка составляет: а) 20%; б) 25%. Рассчитать суммы, получаемые предприятием и банком, если используются обыкновенные проценты с точным числом дней.

Будущая стоимость векселя к моменту его погашения составит:

FV = 150 ∙ (l + 60 : 360 ∙ 0,15) =153,75 тыс. руб.

Срочная стоимость векселя в момент учета его банком составит:

P₁ = 150 ∙ (1 + 45 : 360 ∙ 0,15) =152,813 тыс. руб.

Предлагаемая банком сумма рассчитывается по формуле (2.10.5):

а) P₂ = 153,75 ∙ (1 - 15 : 360 ∙ 0,2) = 152,469 тыс. руб.;

б) Р₂= 153,75 ∙ (1 - 15 : 360 ∙ 0,25) = 152,148 тыс. руб.

Таким образом, банк получает от операции проценты по векселю за оставшиеся 15 дней в размере 937 руб. (153,75 - 152,81?), величина которых не зависит от уровня дисконтной ставки, и комиссионные за оказанную услугу в размере:

в случае а): 344 руб. (152,813 - 152,469);

в случае 6): 665 руб. (152,813 - 152,148).

Дисконтирование, осуществляемое по формуле (2.10.5), называется банковским дисконтированием в отличие от математического дисконтирования, являющегося процессом, обратным наращению первоначального капитала. При математическом дисконтировании решается задача нахождения такой величины капитала Р, которая через п лет при наращении по простым процентам по ставке r будет равна R_n. Решая (2.10.3) относительно Р, получим:

где п необязательно целое число лет.

Пример 2.19.Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 2,14 тыс. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14% годовых и начисляются обыкновенные проценты с приближенным числом дней?

Обозначая R_n = 2,14, п = 180/360 = 0,5, r =0,14 и используя математическое дисконтирование, получим:

P = 2,14 / (1 + 0,5 ∙ 0,14) = 2 тыс. руб.