Расчеты при начислении простых процентов

Наращение по простой ставке процентов (i)

Пусть задана исходная (или современная, настоящая — present value — PV) стоимость денег и осуществляется ее наращение, или рост, т.е. процесс увеличения стоимости денег за счет начисления процентов.

Наращенную (будущую) сумму денег через определенный пе­риод обозначим FV (от англ. future value); число процентных пе­риодов, т.е. периодов начисления процентов, — n; ставку процен­тов за период — i.

Тогда простые декурсивные (обычные) проценты вычисляют­ся следующим образом:

(от англ. Interest) — сумма процентных денег, начисленных за единицу времени;

— сумма процентных денег, начисленных за все (n) процентные периоды.

Процесс наращения суммы денег за счет начисления простых про­центов выглядит как арифметическая прогрессия: ; ; ; и т.д. с первым членом PV и разностью и аналитически для п периодов может быть выражен:

, (1)

где

При этом ситуация, где п — число процентных периодов, i — ставка за период, выглядит так:

n — срок финансовой операции;

i — ставка за период; проценты начисляются весь срок по ис­течении данного периода.

Такого вида вычисления встречаются редко. Для подобных рас-, четов чаще пользуются формулой (2), где аналитически выражен принцип расчета для случаев, когда задана годовая ставка i, а срок операции выражен в днях, реже — в месяцах. Обозначим срок опе­рации через t (от англ. time — время). Для перевода срока финансо­вой операции в доли от года используют уравнивающий знамена­тель Y (от англ. year — год), обозначающий продолжительность года, выраженную в тех же единицах, что и t. Отношение t/Y под­ставим вместо n в (1). Получим формулу, которая наиболее часто используется и является разновидностью формулы (1):

. (2)

Заметим, что t и У в случае измерения их в днях могут быть выражены точно или приближенно.

В зависимости от сочетания t и Y, измеренных по-разному, на практике встречаются следующие способы расчетов:

1) t и У измерены точно — это значит начислить точные про­центы с фактическим сроком операции. Для определения / здесь пользуются специальной таблицей порядковых номеров дней в году: из номера дня окончания операции вычитают день ее начала (если день выдачи и день погашения ссуды считаются за 1);

2) если t измерено точно, а Y — приближенно. Этот способ ис­пользуется для вычисления обыкновенных (коммерческих) про­центов с фактическим сроком операции. Поскольку при вычисле­нии в выражении t/Y знаменатель меньше, чем при расчетах в случае 1, т.е. 360 по сравнению с 365, то размер начисленных про­центов при прочих равных условиях соответственно будет несколь­ко большим — на 1,3889 %.

В России по такому принципу ведутся все банковские опера­ции;

3) когда t и У измерены приближенно. Этот способ применяется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с при­ближенным сроком операции при некоторых видах расчетов с населением.

При обслуживании текущих счетов банки сталкиваются с непрерывной цепью поступлений и расходований средств, а также с необходимостью начисления процентов на постоянно меняющу­юся сумму.

Дисконтирование

(простые проценты)

В практике ФЭР может возникнуть и обратная (по отношению к наращению) задача: по известной сумме FV определить объем размещенных средств РV.

Вычисление РУ наоснове FV называется ДИСКОНТИРОВА­НИЕМ.

В этих расчетах величина PV называется приведенной или со­временной стоимостью суммы FV, а при операции наращения сум­ма FV выступает как будущая стоимость величины PV.

Следует иметь в виду, что привести стоимость денег можно к любому нужному моменту времени, не обязательно к началу фи­нансовой операции. Кроме того, с помощью дисконтирования определяют современную стоимость денег независимо от того, действительно ли совершалась кредитная операция и можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.

Прямой расчет FV при ставке i рассмотренный выше (форму­лы (1), (2)), соответствует правилу декурсивных (обычных) про­центов и называется НАРАЩИВАНИЕМ «СО СТА».

Из формул наращивания процентов «со 100» производится обратное действие, или расчет денежных средств, предоставляе­мых в долг (величины PV). Это действие, помимо дисконтирова­ния, называется УЧЕТОМ «НА 100»:

,

.

Если в формулу (2) вместо PV подставить , то разница между современной и будущей стоимостью (доход) FV — PV = I составит:

, или .

Такой способ начисления дохода называется МАТЕМАТИ­ЧЕСКИМ ДИСКОНТИРОВАНИЕМ, или УЧЕТОМ.

На практике чаще используется так называемый КОММЕР­ЧЕСКИЙ УЧЕТ (БАНКОВСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ) по ставке d, который называется антисипативным (авансовым) расчетом или просто учетом.

Банковский учет дисконтной ценной бумаги заключается для владельца в досрочной ее реализации, а для банка — в приобрете­нии по цене ниже номинала и определении ее стоимости на мо­мент досрочной реализации)

Используя номинал векселя (FV), дисконтную ставку (d), время, оставшееся до срока погашения (t), вычисляют дисконт (Discount — (D)) — скидку с номинала, т.е. разницу между FV и PV:

.

Затем рассчитывают выкупную стоимость векселя до срока погашения.

.4. Расчеты при начислении сложных процентов

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием сложных процентов. Принципиальное их отли­чие от простых в том, что база для исчисления процентного пла­тежа (дисконта) меняется на протяжении всего срока финансовой операции за счет периодического присоединения (снятия) начис­ленного ранее дохода (скидки), в то время как база при использо­вании простых процентов остается неизменной.

Расчеты по правилу сложных процентов часто называют НА­ЧИСЛЕНИЕМ ПРОЦЕНТОВ НА ПРОЦЕНТЫ, а процедуру присоединения начисленных процентов — их РЕИНВЕСТИРО­ВАНИЕМ, или КАПИТАЛИЗАЦИЕЙ.

Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением. Как правило, сложные проценты применя­ются в средне- и долгосрочных финансовых операциях. Но в лю­бом случае,если начисленные проценты (например, по вкладу) капитализируются, расчеты итоговой наращенной суммы следует вести по формулам сложных процентов, а также при:

Наращение по сложной ставке процентов (i)

Если расчет осуществляется по ставке декурсивных процентов i, то формулу для определения наращенной суммы через n перио­дов можно вывести, прослеживая путь наращивания с учетом ка­питализации процентов в конце каждого из n периодов.

- FV к концу n-го периода,

где i — ставка процентов за период;

n — срок финансовой операции и число процентных периодов, так как проценты исчисляются по истечении каждого отрезка срока.

Согласно общей теории статистики, если известны цепные тем­пы роста, то чтобы получить базисный, надо перемножить все имеющиеся цепные темпы роста. Ставка процента за период — цепной темп прироста; 1 +i — цепной темп роста. Поскольку мы рассматриваем постоянную ставку за период, т.е. темпы роста по­стоянны, то общий базисный темп роста за весь период имеет вид:

.

Выражение называют коэффициентом (множителем) наращения.

Мы обозначили множитель наращения

.

Следовательно, множитель наращения показывает, во сколь­ко раз увеличилась начальная сумма денег при заданных услови­ях (n, i).