Существование плоскости a , проходящей через две параллельные прямые а и b, следует из определения параллельных прямых

ВВЕДЕНИЕ

Первое, дошедшее до нас, научное изложение геометрии содержится в труде «Начала», составленном древнегреческим ученым Евклидом, жившим в III веке до нашей эры в городе Александрии. Именно Евклидом была сделана первая попытка дать аксиоматическое изложение геометрии. Впервые научная система аксиом Евклида была сформулирована Д. Гильбертом (1862-1943) в конце CIC века.

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» – объемный, пространственный и «метрео» – измерять.

Представление о геометрических телах, изучаемых в стереометрии, дают окружающие нас предметы. В отличие от реальных предметов геометрические тела являются воображаемыми объектами. Изучая свойства геометрических тел, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.

Схема построения геометрии

Перечисляются основные неопределяемые понятия.

Формулируются свойства основных понятий - аксиомы.

Определяются другие геометрические понятия.

Формулируются и доказываются свойства геометрических понятий - теоремы.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние.

Определение: Аксиомой называется предложение, не требующее доказательства.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, известных нам по курсу планиметрии, и аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

I. Аксиомы принадлежности

I₁. Существуют хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.

Обозначение:

А, В, С, D – точки;

а, b, с – прямые;

a , b , g – плоскости;

А Î а – точка А принадлежит прямой а, прямая а проходит через точку А;

Е Ï а – точка Е не принадлежит прямой а;

С Î a – точка С принадлежит плоскости a , плоскость a проходит через точку С;

Е Ï a – точка Е не принадлежит плоскости a .

Вывод: Существуют точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие прямой, существуют точки, принадлежащие плоскости и не принадлежащие плоскости.

I₂. Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Обозначение: а = АВ

Вывод: Прямые, имеющие две различные общие точки, совпадают.

I₃. Прямая, проходящая через две любые точки плоскости, лежит в этой плоскости.

Обозначение:

а Ì a – плоскость a проходит через прямую а;

b Ë a – плоскость a не проходит через прямую b.

I₄. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Обозначение: a = АВС

Вывод: Плоскости, имеющие три различные общие точки, совпадают.

I₅. Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечением является прямая.

Обозначение: М Î a , М Î b , a ¹ b , a ìüb = l.

II. Аксиомы расстояния

II₁. Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В. Расстояние АВ равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.

Обозначение: АВ ³ 0.

II₂. Расстояние от А до В равно расстоянию от В до А.

Обозначение: АВ = ВА.

II₃. Для любых трех точек А, В, С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С.

Обозначение: АС £ АВ + ВС .

III. Аксиомы порядка

III₁. Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от точки О точек прямой р на два непустых множества так, что для любых двух точек А и В, принадлежащим разным множествам, точка О лежит между точками А и В; если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой и точкой О.

III₂. Для любого расстояния а на заданном луче с началом О существует одна и только одна точка А, расстояние от которой до точки О равно а.

III₃. Если точка С лежит между точками А и В, то точки А, В, С принадлежат одной прямой.

III₄. Любая прямая р, лежащая в плоскости a, разбивает множество не принадлежащих ей точек этой плоскости на два непустых множества так, что любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р; любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены прямой р.

IV. Аксиома подвижности плоскости

Если точки А, В, А₁, В₁ лежат в плоскости a, причем АВ > 0 и АВ = А₁В₁, то существует два и только два перемещения этой плоскости, каждое из которых отображает точку А на точку А₁ а точку В на точку В₁.

V. Аксиома параллельных

Через точку А проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой р.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Следствие 1: Через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость.

Дано: М, а, М Ï а

Доказать:

1. ;

2. .

Доказательство:

1. Выберем на прямой а точки А и В (аксиома I₁): АÎ а, ВÎ а.

Через точки М, А, В проходит плоскость a (аксиома I₄): a = МАВ.

Так как точки А, В принадлежат плоскости a , то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I₃): а Ì a .

Следовательно, существует плоскость a , проходящая через прямую а и не принадлежащую ей точку М: .

2. Плоскость a содержит прямую а и точку М, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I₄).

Следствие 2: Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость.

Дано: а, b, а ´ b

Доказать:

1. ;

2. .

Доказательство:

1. Обозначим точку пересечения прямых а и b: .

Выберем на прямой а точку А, на прямой b точку В (аксиома I₁): АÎ а, ВÎ b.

Через точки М, А, В проходит плоскость a (аксиома I₄): a = МАВ.

Так как точки А, М принадлежат плоскости a , то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I₃): АМ = а Ì a .

Так как точки В, М принадлежат плоскости a , то прямая b принадлежит плоскости a (аксиома I₃): ВМ = b Ì a .

Следовательно, существует плоскость a , проходящая через две пересекающиеся прямые а и b: .

2. Плоскость a содержит прямые а и b, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I₄).

Определение: Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или совпадают.

Следствие 3: Через две параллельные прямые можно провести одну и только одну плоскость.

Дано: а, b,

Доказать:

1. ;

2. .

Доказательство:

Существование плоскости a , проходящей через две параллельные прямые а и b, следует из определения параллельных прямых.

2. Предположим, что существует другая плоскость, содержащая прямые а и b. Выберем на прямой а точку А, на прямой b точки В и М (аксиома I₁): АÎа, ВÎb, МÎb. Получили, что через точки А, В, М проходят две плоскости, что противоречит аксиоме I₄. Следовательно, предположение не верно, плоскость а – единственная.

Упражнения:

1. Прочитать запись и сделать схематический рисунок:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

2. По рисунку назвать:

a) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DВ, АВ, ЕС;

b) точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ;

c) точки, лежащие в плоскостях АDВ и DВС;

d) прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и DСВ, АВD и СDА, РDС и АВС.

3. По рисунку назвать:

a) точки, лежащие в плоскостях DСС₁ и ВQС;

b) плоскости, в которых лежит прямая АА₁;

c) точки пересечения прямой МК с плоскостью АВD, прямых DК и ВР с плоскостью А₁В₁С₁;

d) прямые, по которым пересекаются плоскости АА₁В₁ и АСD, РВ₁С₁ и АВС;

e) точки пересечения прямых МК и DС, В₁С₁ и ВР, С₁М и DС.

3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ