Параллельные прямые на плоскости. Сумма углов треугольника.

Геометрическое место точек. Параллельные прямые на плоскости

Ш4.1.5(вп). Пусть A и B – точки плоскости. Найдите геометрическое место точек M этой плоскости, для которых: а) AM < BM;

б) ; в) ; г) , ; д) точки , и являются вершинами равнобедренного треугольника; е) – наибольший угол треугольника ; ж) – наименьший угол треугольника ; з) – средний по величине угол треугольника .

Ш3.2.18(т). В треугольнике ABC известны стороны AB = 4, BC = 5, CA = 7. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно биссектрисе угла BAC, пересекает в точке . Через проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла , которая пересекает в точке . И, наконец, через проходит прямая, перпендикулярная биссектрисе угла , которая пересекает в точке . Найдите длину отрезка .

Ш5.1.15(п). В треугольнике стороны и равны. На продолжении стороны за точку взята точка так, что . Докажите, что угол .

Ш5.1.19(п). Докажите, что если в треугольнике медиана, выходящая из вершины , в два раза меньше стороны , то .

Ш5.1.20(п). Докажите, что если – диаметр окружности, а – произвольная точка на окружности, не совпадающая с , то

Ш3.1.16(т). Можно ли два равнобедренных треугольника с равными боковыми сторонами расположить так, чтобы один лежал внутри другого?

Домашнее задание: Ш§4.1, §5.1 – теория. Задачи: Ш4.1.5(д, ж, з); 5.1.19, 5.1.20.

____________________________________________

1а. Геометрическое место точек

1. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.

2. Для двух данных различных точек плоскости A и B найдите геометрическое место точек C, для которых: а) АС 1/3 AB или ВС 1/3 АВ; б) АС 1/3 AB и ВС 1/3 АВ; в) угол АСВ – прямой;

г) угол АСВ – острый; д) угол АСВ – наименьший угол треугольника АВС

е) треугольник ABC остроугольный, а его угол А - средний по величине.

Домашнее задание:

3. С помощью циркуля и линейки постройте точку, равноудаленную от трёх данных точек.

4. Для двух данных различных точек плоскости A и B найдите геометрическое место точек C, для которых: а) АС > BC; б) АС 1/2 AB и ВС 1/2 АВ; в) АМ + МВ > AB; г) угол АСВ – тупой;

д) треугольник ABC прямоугольный.

е) треугольник ABC остроугольный, а его угол В - средний по величине.

__________________________

Параллельные прямые на плоскости. Сумма углов треугольника.

1. (Гор.1.135(2)) Кошка сидит на середине лестницы, прислонённой к стене. Концы лестницы начинают скользить по стене и полу. Какова траектория движения кошки?

2. (Ш5.1.10(в)) Докажите, что если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30°, то противолежащий этому углу катет в два раза меньше гипотенузы.

3. (Гор.1.138(2).(=Ш5000,186)) Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1, один из острых углов равен 15°. Найдите гипотенузу.

4. (А.334) Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.

5. (Гор.1.153(2)) На сторонах ВС и CD квадрата ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL. Докажите, что треугольник AKL правильный.

6. (Ш5.1.35) Биссектриса угла, смежного с углом С треугольника АВС, пересекает продолжение стороны АВ за точку В в точке D, а биссектриса угла, смежного с углом А, пересекает продолжение стороны ВС за точку В в точке Е. Известно, что DC = CA = АЕ. Найдите углы треугольника АВС.

7. (Гор.1.116(2)) Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между биссектрисами двух других углов.

8. (А.333) Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если угол А равен α.

9. (Ш5.1.31) Стороны треугольника АВС касаются некоторой окружности в точках К, Р и М, причём точка Р расположена на стороне АС. Найдите угол КРМ, если ÐАВС = 2α.

10. (Гор.1.117) Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между высотами, проведёнными из вершин двух других углов.

11. (Гор.1.154(2)) На каждой стороне правильного треугольника взято по точке. Стороны треугольника с вершинами в этих точках перпендикулярны сторонам исходного треугольника. В каком отношении каждая из взятых точек делит сторону исходного треугольника?

Домашнее задание

12. (Гор. 1.148(2)) На продолжениях гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС за точки А и В соответственно взяты точки К и М, причем АК = АС и ВМ = ВС. Найти МСК.

13. (Гор. 1.149(2)) В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузе АВ взяты точки К и М, причем АК = АС и ВМ = ВС. Найдите угол МСК.

14. (ФМЛ 2) Параллельные прямые АВ и CD пересечены прямой BD. Биссектрисы углов АВD и BDС пересекаются в точке К. Отрезок BD = 2KD. Найти ABD и BDC.

15. (Ш5.1.24) В треугольнике АВС сторона АВ = 2, а углы А и В равны соответственно 60º и 70º. На стороне АС взята точка D так, что AD = 1. Найдите углы треугольника BDC.

___________________________________