Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость
Знакочередующиеся ряды.
+-(U1 - U2 + U3 - U4 +U5 - …) Такой ряд, где Ui >0 - знакочередующийся. Рассмотрим знак +, это не нарушит общности. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда.
Теорема Лейбница.
Если в знакочер ряде абс. величины членов убывают, т.е. в ряде (*) U1 < .. <Ui и общий член стремится к 0, то ряд сх-ся. Причём его сумма по абс величине < его первого члена. А остаток ряда rn по модулю <1го из отбрасываемых членов.
▲Пусть n-пробег посл-ть чётных чисел, т.е. n=2m. Тогда S2m – частичная сумма = (U1 –U2) +(U3-U4)+..+(U2m-1 – U2m). Данная сумма должна быть положит. и возрастающей.
Абсолютная сходимость.
Теорема(достаточный признак сходимости).
Если ряд составленный из абс. величин членов данного ряда сх-ся, то сходится и данный ряд.
▲ Sn = U1+..+Un Обозначим, Sn+ - сумма всех положительных членов до Un+1; Sn- - сумма модулей отрицательных эл-ов до Un+1
Sn = Sn+ - Sn- σn = /U1/ + .. + /Un/ σn = Sn+ - Sn- По усл. т-мы lim (n→∞) σn = σ. Sn+ ≤ σn < σ
Sn-≤ σn < σ. Отсюда следует, что Sn+ и Sn- также имеют lim => предел имеет и величина Sn при n→∞▲
Замечание. Этот достаточный признак не явл. необходимым, т.е ряд Σ(n=1 ∞) Un может
сходиться и тогда, когда расходится ряд Σ(n=1 ∞) /Un/.
Ряд абсолютной величины, члены кот обр-ют сх. ряд наз-ся абсолютно сходящимся.
Если ряд сходится, а ряд образован из абс. величин его членов расх., то такой ряд наз-ся неабсолютно(условно) сходящимся.
Абс. сх-ся ряды как и обычные конечные суммыобладают переместительным свойством: при любой перемене мест членов абс сх-ся ряда он остаётся абс сх-ся и с той же суммой.
Это свойство отсутствует у неабсол сх-ся рядов. Переставляя члены такого ряда можно добиться, чтобы сумма ряда изменилась.
По усл. т-мы скобки полож. и сумма возрастает. S2m = U1 – [(U2 – U3) + ..+(U2m-2 – U2m-1) + U2m] Сумма в [] полож-на и из послед. рав-ва получаем S2m < U1 (для любого m). Т.е. S2m – возраст. и огр-ая сверхупосл-ть и поэтому она имеет lim. Lim(m→∞) S2m = S S<U1
Пусть n=2m +1. S2m+1 = S2m +U2m+1. Возьмём предел от правой и левой части при m→∞: Lim(m→∞) S2m+1 = Lim(m→∞) S2m = S. Sn имеет lim = S<U1. (при чёт и нечётн)
Рассмотрим остаток ряда rn = +-(Un+1 - Un+2 - Un+3 ..). Представл. собой ряд, кот удовл условиям теоремы Лейбница, поэтому его сумма /rn / <Un+1 ▲
Выводы: т-ма Лейбница когда она применима позволяет не только установить сходимость, но и установить погрешность допускаемую при отбрасывании энных членов ряда начиная с некоторого.
2) если бесконечный, то Σ(n=1 ∞) (F(n+1) – F(n)) расх-ся
С этим рядом сравним ряд Σ(n=1 ∞) Un. По т-ме Лагранжа (ф-ла конечных приращений Лагранжа) общий член ряда (*)F(n+1) – F(n) представляется в виде F(n+1) – F(n) = f(n+Ө), где 0<Ө<1
так что вследствии монотонности ф-ии f(x) получаем Un+1 = f(n+1) < F(n+1) – F(n) < f(n) =Un В случае сх-ти ряда (*) по т-ме 1 сравнения сходится ряд Σ (n=1 ∞) Un+1 => сх-ся и Σ (n=1 ∞) Un
Пусть ряд (*) расх-ся, то расх-ся Σ (n=1 ∞) Un+1 , т.к члены ряда (*) > членов ряда Un+1 и ряд Σ (n=1 ∞) Un расходится.
Перемножение абсолютно сходящихся рядов.
Абс сх-ся ряды можно перемножать. S’ = U1 + .. + Un (1) S’’ = V1 + .. + Vn (2) Произведение будет представлять собой ряд, образованный из всевозможных пар произв-ия членов (1) и (2) ряда
(u1v1)+(u1v2+v1u2)+(u1v3+u2v2+u3v1)+…+(u1vn-1+u2vn-2+…+v2un-2+v1un-1)+… В любой группе членов сумма индексов постоянна.
Теорема.
Если ряды (1) и (2) абсолютно сходятся то их произведение есть также абсолютно сходящиеся ряд, сумма S которой равна произведению сумм рядов сомножителей.
Функциональные ряды.
Общ. опред. Перейдём к рассм-ю рядов, членами кот. явл-ся ф-ии незав. пер-ых х. Такие ряды наз-ся функцион-ми. U1(х)+U2(х)+..+Un(х) (А). Ряд (А) для оних зн-ий х сх-ся, а для др-х – расх-ся. Зн-ие х=х0 при кот. числ. ряд U1(х0)+U2(х0)+.. сх-ся наз-ся точкой точкой сх-ти. Совокупность любых точек сх-ти ряда наз-ся областью сходимости ряда(ряд сходится в этой области). Сумма ряда явл-ся некот. ф-ей от х опр-ой в обл-ти сх-ти, обозн. f(х)= U1(х)+U2(х)+..+Un(х)+.. Говорят, что ряд сх-ся ф-ей f(x).
Равномерная сх-сть функц-ой посл-ти и рядов.
Пусть на мн-ве X задана посл-ть ф-ий fn(x) (n=1,2,..) Посл-ть ф-ий наз-ся сходящейся на мн-ве ч, если при любом xcX посл-ть {fn(x)} cх-ся (поточечная сх-сть)
Определение.Функц. посл-ть fn(x) (n=1,2,..) наз-ся равномерно-сходящейся к ф-ии f на мн-ве X, если дл кажд.
ε>0 существует такой номер n0, такой, что любой x из X и всех номеров n>n0 выполняется неравенство |fn(x)-f(x)|<ε0. Очевидно, что если последовательность fn(x) – равномерно сходящаяся на множестве X то она просто сходится, если сходящаяся равномерно, то записываем fn(x)(двойные стрелки вправо,
Теорема(признак равномерной сходимости «Вейерштрасса»).
Если числовой ряд ∑(n=1, ∞)αn, αn≥0 – сходится и для всех x из X и любому n=1,2,… выполняется неравенство: |un(x)|≤αn, то ряд ∑(n=1, ∞)un(x) сходится на множестве X абсолютно и равномерно. Док-во: Абсолютная сходимость ряда ∑(n=1, ∞)un(x) следует из 1) неравенства |un(x)|≤αn 2) признака сравнения 3) из сходимости ряда ∑(n=1, ∞)αn. Докажем равномерную сходимость ряда: для этого выпишем остатки: rn(x) – остаток ряда ∑(n=1, ∞)un(x). Пусть εn остаток ряда ∑(n=1, ∞)αn, тогда рассмотрим: |rn(x)|=|∑(k=n+1, ∞)uk|. Модуль суммы меньше суммы модулей |∑(k=n+1, ∞)uk|≤∑(k=n+1, ∞)|uk|≤∑(n=1, ∞)αn=εn. Так как ряд ∑(n=1, ∞)αn сходится, то его остаток при n→∞ стремится к 0, то есть εn→0 при n→∞. Это означает , что для любого ε>0 существует номер N, такой, что любому n>N сумма ∑(k=n+1, ∞)αk<ε, отсюда, что при всех тех же условиях |rn(x)|<ε для любого x из X.
Степенные ряды.
Определение. Степенным рядом называется функция ряд вида a0+a(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+… Члены которого это произведения постоянных a0,a1,…,an на степенные функции с целыми показательными степеней от разности x-x0, a0,a1,…,an коэффициенты степенного ряда, при x0=0 следует степенной ряд по степеням x.
а0+а1х2+а2х2+…+аnxn+… всякий степен. ряд заменой х1=х-х0 может быть сведен к ст.ряду второго вида. аnxn-n-й член ряда. а0-0-й член ряда. ст.ряды обладают некоторыми св-ми.
Теорема Абеля .
Интервал и радиус сходимости ст.ряда. Рассмотри ст.ряд а0+а1х+а2х2+…+аnxn+…(*) Если ст.ряд (*) сходится при х-х0≠0, то он сходится и причем абсолютно, при любом х принад-ем (-(х0),(х0)), то есть удов. усл. (х)<(х0) Док-во: (от 0 до ∞)∑ аnх0n →его общий член ряда аnх0n →0 при n →∞ (при чем ряд с полож.) Т.к. аnх0n →0 при n →∞ →все члены ряда ограничены, то есть Э постоянное положительное число М, что при любом n (аnх0n) < М перепишем ряд (*) следующим образом: а0+а1х0 (х/х0)+а2х02 (х/х0)2+…+(аnx0n) (х/х0)n +…
на члены данного ряда (аnх0n)<M, составим: (а0)+(а1х0) (х/х0)+(а2х02) (х/х0)2+…+(аnx0n) (х/х0)n +… каждый член геометрического ряда > члена данного ряда М+М (х/х0)+М (х/х0)2+…+М (х/х0)n +… если (х)<(х0) То (х/х0)<1 Геом.прогрессия сходится Значит сходится ряд а0+а1х+а2х2 +… Следствие: Если ст.ряд (*) расходится при х=х0, то он расходится при любом х> х0 (по абсолютной величине) Док-во: если бы он сходился при каком-то х, то он был бы абсолютно