Теорема о существовании наклонных асимптот
Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела
limx® +Ґf(x)/x = k, limx® +Ґ(f(x)-kx) = b.
Доказательство.
Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид
f(x) = kx+b+a(x),
тогда
limx® +Ґf(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,
limx® +Ґ(f(x)-kx) = limx® +Ґ(b+a(x)) = b.
Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.
1. Множества и операции над ними.
2. Аксиоматика множества действительных чисел.
3. Границы числовых множеств. Теорема о гранях.
4. Понятия последовательности, её предела, сходимости и расходимости.
5. Общие свойства пределов последовательностей.
6. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.
7. Бесконечно малые последовательности и их свойства.
8. Бесконечно большие последовательности и их свойства.
9. Предельный переход в арифметических операциях для последовательностей.
10. Неопределенные выражения.
11. Теорема о пределе монотонной последовательности.
12. Число е.
13. Нахождение некоторых стандартных пределов.
14. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. О – символика.
15. Лемма о вложенных отрезках.
16. Принцип выбора в R и в Ṝ.
17. Критерий Коши для числовой последовательности. Фундаментальные последовательности.
18. Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.
19. Существование верхнего и нижнего пределов последовательности.
20. Нижний и верхний пределы и сходимость последовательности.
21. Отображения и их основные типы.
22. Обратимые и обратные функции. Теорема о существовании обратной для монотонной функции.
23. Различные формы определения предела функции по Коши.
24. Односторонние пределы функции.
25. Эквивалентность определений функций по Гейне и по Коши.
26. Общие свойства пределов функций. Предельный переход и арифметические операции.
27. Неравенства и предельный переход для функций.
28. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
29. Теорема о пределе композиции функций.
30. Вычисление 
.
31. О-символика для функций.
32. Эквивалентность функций.
33. Пределы монотонных функций. Верхний и нижний пределы функции.
34. Некоторые замечательные пределы для функций.
35. КритерийКоши существования предела функции.
36. Различные формы определения непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва.
37. Локальные свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности композиции функций.
38. Теоремы о существовании корня и о промежуточных значениях непрерывной функции.
39. 1-ая теорема Вейерштрасса (об ограничености непрерывной функции).
40. 2-ая теорема Вейерштрасса (об экстремальных значениях непрерывной функции). Теорема о непрерывности обратной функции.
41. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора и следствие из неё.
42. Определение и непрерывность степенной функции с иррациональным показателем. Теорема о непрерывности элементарной функции.
43. Определение и условия дифференцируемости функции в точке.
44. Геометрический смысл производной и дифференциала.
45. Односторонние и бесконечные производные.
46. Дифференцирование арифметической комбинации функций.
47. Производная композиции и обратной функции.
48. Вычисление табличных производных.
49. Гиперболические функции и их производные.
50. Производные высших порядков.
51. Формула Лейбница.
52. Дифференциалы высших порядков.
53. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Теорема Ферма.
54. Теорема Ролля.
55. Теорема Лагранжа о конечных приращениях и следствия из неё.
56. Обобщённая формула конечных приращений.
57. Правило Лопиталя.
58. Формула Тейлора для многочлена и произвольной функции.
59. Локальная формула Тейлора. Единственность.
60. Представление остаточного члена формула Тейлора в формах Лагранжа и Коши.
61. Разложение по формуле Маклорена важнейших элементарных функций.
62. Примеры приложений формулы Тейлора.
63. Условия монотонности дифференцируемой функции.
64. Достаточное условие локального экстремума функции в терминах 1-ой производной.
65. Достаточное условие локального экстремума в терминах высших производных.
66. Различные определения выпуклости функции.
67. Аналитические условия выпуклости функции.
68. Необходимое условие перегиба функции.
69. Достаточные условия перегиба.
70. Асимптоты графика функции. Порядок построения графика функции