Исследование функции на четность и на периодичность

Правило Лопиталя. исследование Функции.

Правило Лопиталя расскрытия неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя).

Если или (то есть, если предел отношения в точке приводит к неопределенности вида или ) и предел существует, то

.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Замечание:

1) Неопределенности вида или можно раскрыть по правилу Лопиталя, предворительно преобразовав их к виду или .

Пример 4:

Пример 5:

Пример 6: Таким образом, .

Полное исследование функции

Полное исследование функции проводится по следующей схеме:

1. Нахождение области определения функции;

2. Нахождение точек разрыва, вертикальных и горизонтальных асимптот графика функции;

3. Нахождение (по возможности) точек пересечения графика функции с осями координат;

4. Исследование функции на четность и на периодичность;

5. Нахождение интервалов монотонности и экстремумов функции;

6. Нахождение интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика функции;

7. Нахождение наклонной асимптоты графика функции;

8. Построение графика функции.

Пример 7:Исследовать функцию и построить ее график.

Нахождение области определения функции

Если функция задана только законом соответствия

(то есть область определения не указана), то за область определения функции берется множество { имеет смысл}. - область изменения (множество значений) функции.

1. Область определения функции: { имеет смысл} .

Нахождение точек разрыва, вертикальных и горизонтальных асимптот графика функции.

По определению непрерывности функции в точке, функция будет непрерывной в точке , если .

Если в точке функция не определена или не является непрерывной ( то есть не выполняется равенство ),

то точка называется точкой разрыва.

Так как функция является элементарной, то она непрерывна в своей области определения, то есть в интервалах

и . - точка разрыва.

Находим пределы функции на концах интервалов и :

Точка - точка разрыва II рода и прямая является вертикальной асимптотой графика функции при и ;

функция не имеет горизонтальную асимптоту.

3. Нахождение (по возможности) точек пересечения графика функции с осями координат

Для нахождения точки пересечения графика функции с осью Ох пологаем , а для нахождения точки пересечения с осью Оу полагаем х=0:

,следовательно - точка пересечения графика с осью Ох;

, следовательно - точка пересечения графика с осью Оу.

Исследование функции на четность и на периодичность

Функция называется четной (нечетной), если имеет место равенство ( ).

Область определения четной или нечетной функции- симметрична относительно начала координат.

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной функции симметрична относительно начала координат

Функция не обладает четностью (не является ни четной и ни нечетной), так как ее область определения -не симметрична относительно начала координат ( но ).

График функции не является симметричным относительно оси и относительно начала координат О(0;0).

Функция называется периодической, если для некоторого числа имеет место равенство .

=>

функция непериодична.