Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами

Учебная задача: формирование умений в исследовании функции на четность (нечетность), периодичность, монотонность элементарными средствами.

В результате студент:

Знает

- определение четной (нечетной) функции;

- свойство графика четной (нечетной) функции;

- определение периодической функции;

- понятие периода функции, наименьшего положительного (главного) периода функции;

- план исследования функции на периодичность;

- определение возрастающей (убывающей) функции на промежутке;

- понятие монотонной функции;

Имеет представление

- об элементарных функциях, которые являются четными (нечетными), периодическими;

- о промежутках монотонности элементарных функций;

Умеет

- на основе определения или соответственных свойств элементарных функций исследовать функцию на четность (нечетность);

- исследовать функцию на периодичность;

- находить наименьший положительный период функции;

- исследовать функцию на монотонность, используя различные способы сравнения значений функции.

Подготовка к занятию:

Подготовить ответы на вопросы:

а) Какая функция называется чётной/нечётной? Привести примеры чётных/нечётных функций.

б) Какой особенностью обладает область определения чётной/нечётной функции?

в) Какой особенностью обладает график чётной/нечётной функции?

г) Какая функция называется периодической? Привести примеры периодических функций.

д) Какая функция называется возрастающей/убывающей на некотором промежутке?

Содержание занятия:

Определение: Функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru называется чётной/нечётной, если для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru из области определения этой функции выполняется равенство Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru / Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

В определении чётной/нечётной функции неявно содержится условие, что если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru принадлежит области определения функции, то и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru также принадлежит области определения этой функции. Это условие говорит о симметричности области определения чётной/нечётной функции относительно нуля. Поэтому установить чётность/нечётность функции можно, действуя по следующему плану:

1) Найти область определения функции и проверить её симметричность относительно нуля.

2) Если область определения функции симметрична относительно нуля, то найти значение Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и сравнить его с Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и с Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru из области определения.

3) Сделать вывод.

Пример 1.Исследуйте функцию на чётность/нечётность:

а) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru.

Решение: Функция определена на множестве Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , симметричном относительно нуля. Найдём Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru : Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru из области определения. Следовательно, данная функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

б) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru.

Решение: Область определения данной функции находится из неравенства Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Промежуток, заданный неравенством Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , несимметричен относительно нуля. Значит, данная функция не относится ни к чётным, ни к нечётным.

Ответ: функция не относится ни к чётным, ни к нечётным.

в) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru.

Решение: Функция определена на множестве всех действительных чисел, а оно симметрично относительно нуля. Найдём Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru : Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Очевидно, что равенства Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru или Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru не могут выполняться для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , т.е. существуют такие Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , что Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Поэтому данная функция не является чётной и не является нечётной.

Ответ: функция не является чётной и не является нечётной.

Для определения чётности/нечётности функции можно использовать соответствующие свойства входящих в неё элементарных функций.

Пример 2.Исследуйте функцию на чётность/нечётность:Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru.

Решение: Функция определена на множестве Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , где Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , симметричном относительно нуля. Данная функция есть произведение двух элементарных функций Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ruиИсследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru,первая из которыхявляется чётной, а вторая – нечётной. Поэтому Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , т.е. заданная функцияявляется нечётной.

Ответ: функция нечётная.

Легко убедиться в том, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Действительно, пусть Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru – произвольная точка графика функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , т.е. Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru – верное равенство. Если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru является чётной функцией, то существует Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и верно Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , а это означает, что точка Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru - симметричная точке Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru относительно оси ординат, также принадлежит графику функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru является нечётной функцией, то существует Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и верно Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , а это означает, что точка Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru - симметричная точке Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru относительно начала координат, также принадлежит графику функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Функции, не являющиеся чётными или нечётными, называются функциями общего вида.

Определение: Функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru называется периодической, если существует такое число Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , что для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru из области определения этой функции выполняется равенство Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Число Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru называется периодом функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

В определении периодической функции неявно содержится условие, что если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru принадлежит области определения функции, то и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru также принадлежат области определения этой функции.

Докажем, что из выполнимости равенства Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru следует выполнимость равенства Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Действительно, равенство Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru выполняется для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , тогда возьмём в качестве Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru число Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , получим: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Аналогично можно установить, что если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru – период функции, то Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , …, Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , … - также периоды функции, т.е. периодическая функция имеет бесконечно много периодов. Обычно ставится задача об отыскании наименьшего положительного (главного) периода функции (если он существует).

Итак, устанавливая периодичность функции, следует проверять следующие условия:

1) Для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru из области определения функции числа Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru также принадлежат области определения функции.

2) Для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru из области определения функции выполняется равенство Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Пример 3. Установите, является ли функция периодической:

а) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Решение: Предположим, что Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru – период функции. Тогда, согласно определению, для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru из области определения этой функции (множества всех действительных чисел) выполняется равенство Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Далее можно рассуждать двумя способами.

Способ 1. Решим полученное уравнение относительно Т:

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru

Решим отдельно первое уравнение совокупности:

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru

Из уравнения Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru получим: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru тогда, Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru т.е. Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru – не число, а функция от Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Из уравнения Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru находим: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Среди чисел Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , наименьшим положительным является число Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Проверим, не является ли оно периодом функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

1) Очевидно, что для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru числа Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru принадлежат области определения данной функции.

2) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , так как элементарная функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru является периодической с периодом 2p.

Поскольку все требования определения периодической функции выполняются, то функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru периодическая.

Способ 2. Поскольку равенство Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru должно выполняться для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru из области определения функции, то оно выполняется и для Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , то получим следующее уравнение относительно Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru : Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Решая его, находим: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru Среди чисел Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru содержится число Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Проверка показывает (см. способ 1), что число Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru - действительно период функции. Таким образом, функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru периодическая.

Ответ: функция периодическая.

В рассмотренном примере число Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru не является наименьшим положительным периодом функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Как хорошо видно из способа 2 среди возможных периодов Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru наименьшим положительным является число Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . К такому же выводу мы бы пришли и в способе 1, если бы решили отдельно уравнение Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Докажем, что Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru - период функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

1) Очевидно, что для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru числа Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru принадлежат области определения данной функции.

2) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , так как Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

б) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Решение: Если предположить, что у данной функции существует период Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , то для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , должно выполняться равенство Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . После упрощений получим: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , или Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Очевидно, что число вида Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , периодом заданной функции не является, поэтому Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Тогда последнее уравнение равносильно уравнению Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . В левой части его стоит число, в правой – функция от Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , т.е. Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru можно найти только как функцию от Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . А это значит, что не существует такого фиксированного числа Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , для которого равенство Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru выполняется при любом Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Следовательно, функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru не является периодической.

Ответ: функция не является периодической.

в) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Решение: Область определения данной функции задаётся неравенством Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . При Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Поэтому, учитывая периодичность функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , можно утверждать, что для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и верно равенство Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Но число Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru не может являться периодом данной функции, так как, например, при Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru число Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , значит, не принадлежит области определения функции. Вообще, для любого числа Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru обязательно найдётся число Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , такое, что Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , либо Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru не принадлежит области определения функции. В качестве такого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru можно взять, например, Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Таким образом, функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru не является периодической.

Ответ: функция не является периодической.

Приведённые примеры показывают, что все требования определения периодической функции существенны.

Таким образом, при исследовании функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru на периодичность можно действовать по следующему плану:

1) Предположить, что число Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru – период функции, и записать равенство, которое должно выполняться для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru из области определения: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

2) Решить полученное уравнение относительно Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . При этом возможны два способа:

а) Решать уравнение для произвольного значения Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Если уравнение будет иметь только корни, зависящие от Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ( Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru – функция от Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ), или единственный корень Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , то в этом случае делается вывод, что функция не является периодической. Если уравнение имеет корни, не зависящие от Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и отличные от нуля, то возможные значения периода следует искать среди этих корней.

б) Решать уравнение для конкретного значения Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru (например, Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ). Если уравнение Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru имеет корни, то среди них нужно искать возможные значения периода. В противном случае функция не имеет периода.

3) Из найденных корней уравнения выбрать наименьшее положительное число и проверить, по определению, не является ли оно периодом функции. Если является, то сделать вывод. Если нет, то проверять на период следующий по величине корень и т.д. до тех пор, пока не найдётся число, являющееся периодом функции.

4) Сделать вывод.

Заметим, что способ а) удобнее применять в тех случаях, когда требуется доказать, что функция не является периодической.

Возможны и другие способы установления периодичности функции.

Пример 4. Найдите наименьший положительный период функции

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Решение: Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, поэтому для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru числа Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru также принадлежат области определения функции, где Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru – период функции (если он существует).

Учитывая пример 3 (а), можно утверждать, что функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru - периодическая с наименьшим положительным периодом Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Аналогично доказывается, что функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru является периодической с наименьшим положительным периодом Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Тогда легко убедиться в том, что функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru имеет период Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Но является ли Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru наименьшим положительным периодом данной функции? Проверим это, выполнив преобразования:

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru

Функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru периодическая с наименьшим положительным периодом Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Так как для любого Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , то наименьший положительный период данной функции равен Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Ответ: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Определение: Функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru называется возрастающей/убывающей на некотором промежутке (подмножестве области определения этой функции), если для любых Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru из этого промежутка из неравенства Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru следует неравенство Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru / Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

При исследовании функции на монотонность сравнить значения Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru можно разными способами. Например, можно использовать свойства неравенств, или составить разность Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и определить её знак, или при условии Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru составить частное Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и сравнить его с единицей, или использовать свойство монотонности элементарных функций и т.д.

Пример 5. Исследуйте функцию на монотонность: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Решение: Функция определена для всех действительных чисел. Возьмём произвольные числа Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Пусть Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Рассмотрим разность Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Второй множитель при любых действительных значениях Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru положителен. Поэтому, учитывая, что Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , получаем Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Таким образом, Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , а это означает, что данная функция возрастает на всей области определения.

Указанный ответ также можно было получить, учитывая тот факт, что данная функция является суммой двух элементарных функций, которые возрастают на всём множестве действительных чисел.

Ответ: функция возрастает на всём множестве действительных чисел.

Если в задаче требуется найти промежутки монотонности функции, то сначала рассматриваются любые значения Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru из области определения функции, а при сравнении Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru обнаруживается, что результат будет зависеть от того, из какого промежутка области определения берутся Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Таким образом и определяются промежутки исследования функции на монотонность.

Пример 6. Исследуйте функцию на возрастание и убывание на основе определения: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru Решение: Область определения функции – любое действительное число. Пусть Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru - любые два значения аргумента и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Учитывая тот факт, что данная функция приводится к виду Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , воспользуемся свойствами неравенств. Вычтем из обеих частей неравенства Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru по 2. Получаем Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Далее, для возведения обеих частей неравенства в квадрат, следует рассмотреть два отдельных случая:

если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , то если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , то

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

тогда Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . тогда Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Прибавим к обеим частям по 1:

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

т.е. Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . т.е. Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Значит функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru Значит функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru

убывает. возрастает.

Ответ: на промежутке Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru функция убывает, а на промежутке Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru возрастает.

Пример 7. Укажите промежутки монотонного изменения функции

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Решение: Монотонность данной функции определяется монотонностью двух функций: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Первая из этих функций возрастает на всём множестве действительных чисел, а вторая приводится к виду Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и, следовательно, при Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru убывает, а при Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru возрастает. Поэтому получим:

 
  Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru

а) если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , то Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , а) если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , то Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

тогда Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , т.е. Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . тогда Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , т.е. Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Значит функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru Значит функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru

убывает. возрастает.

Ответ: на промежутке Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru функция убывает, а на промежутке Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru возрастает.

Упражнения к занятию:

1.Определите чётной или нечётной функцией является:

1) сумма (разность) двух чётных функций; 2) сумма (разность) двух нечётных функций; 3) произведение (частное) двух чётных функций; 4) произведение (частное) двух нечётных функций; 5) произведение (частное) чётной и нечётной функций.

2.Исследуйте функцию на чётность/нечётность:

1) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 2) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 3) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 4) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ;

5) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 6) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

3. Покажите, что любую функцию Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , определённую на всех действительных значениях аргумента, можно представить в виде суммы чётной функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и нечётной функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

4. Докажите, что:

1) период функций Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru равен Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , где Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru – некоторое положительное число;

2) период функций Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru равен Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , где Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru – некоторое положительное число.

5. Какие из следующих функций являются периодическими?

1) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 2) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 3) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 4) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ;

5) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 6) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 7) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Найдите наименьшие положительные периоды функций.

6. Исследуйте функции на возрастание и убывание на основе определения:

1) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru на Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 2) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru на Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 3) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru на Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

7. Докажите, что:

1) если функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru возрастает (убывает) на данном промежутке, то функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru возрастает (убывает) на этом промежутке, где Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru – некоторое действительное число;

2) если функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru возрастает (убывает) на данном промежутке, то функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru возрастает (убывает) при Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и убывает (возрастает) при Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru на этом промежутке, где Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru – некоторое действительное число;

3) если функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru возрастает (убывает) и сохраняет знак на данном промежутке, то функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru убывает (возрастает) на этом промежутке;

4) если функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru возрастают (убывают) на данном промежутке, то функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru возрастает (убывает) на этом промежутке.

8. Исследуйте функции на возрастание и убывание на основе утверждений, сформулированных в № 7:

1) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , где Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 2) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 3) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

9. Укажите промежутки монотонного изменения каждой из следующих функций:

1) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 2) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 3) Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

10. Докажите, что:

1) если чётная функция, определённая на всём множестве действительных чисел, в интервале Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru возрастает (убывает), то в интервале Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru она убывает (возрастает);

2) если нечётная функция, определённая на всём множестве действительных чисел, в интервале Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru возрастает (убывает), то в интервале Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru она возрастает (убывает).

Ответы: 2. 1), 2), 6) чётные; 3), 4), 5) нечётные; 3. Указание: Рассмотрите функции: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 5. 1), 2), 4), 6), 7) периодические с периодами Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 3), 5) непериодические; 6. 3) Указание: Примените метод «от противного»; 9. 1) промежутки возрастания Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , промежутки убывания Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; 2) промежутки возрастания Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ;

3) промежутки возрастания Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , промежутки убывания Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Занятие № 3

Построение графиков функций с помощью преобразований графиков основных элементарных функций.

Учебная задача: освоить правила построения графиков функций вида Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru с помощью преобразований графиков основных элементарных функций.

В результате студент:

Знает

- свойства основных элементарных функции;

- с помощью каких преобразований из графика функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru получается график функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ;

- мнемоническое правило;

Имеет представление

- о возможном порядке выполнения преобразований над графиком функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru для получения графика функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ;

- о возможном порядке построения графика функции вида Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru на основе рассмотрения вспомогательной системы координат;

Умеет

- строить графики основных элементарных функций;

- обосновывать преобразования, выполняемые над графиком функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ;

- строить график функции вида Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , на основе графика функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ;

- строить график функции вида Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru на основе графика функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ;

- строить график функции вида Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru на основе графика функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Подготовка к занятию:

Повторить вид графиков элементарных функций.

Содержание занятия:

К числу элементарных функций относятся:

- линейная: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

- квадратичная: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

- степенная: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

- показательная: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

- логарифмическая: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

- тригонометрические: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ,

- обратные тригонометрические функции: Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Новая функция может быть получена из какой-либо более простой функции с помощью действий над аргументом или над самой функцией. Например, любую функцию вида Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru можно рассматривать как функцию, полученную из основной функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; функцию вида Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru - как функцию, полученную из основной функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Тогда график новой функции получается из графика основной функции с помощью некоторых преобразований.

Правило 1.Чтобы построить график функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , надо построить график функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , а затем все точки этого графика сдвинуть вдоль оси Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru на Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru единиц: верх, если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; вниз, если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Действительно, сравнивая значения функций Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru при одних и тех же значениях аргумента, можно заметить, что возможны два случая:

- если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , то значения функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru больше значений функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru на Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru единиц, следовательно, график функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru получается из графика функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru параллельным переносом (сдвигом) его на Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru единиц вверх вдоль оси Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ;

- если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , то значения функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru меньше значений функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru на Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru единиц, следовательно, график функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru получается из графика функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru параллельным переносом (сдвигом) его на Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru единиц вдоль вниз оси Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Далее легко доказывается, что при соответствующем параллельном переносе вдоль оси Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru образ любой точки Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , принадлежащей графику функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , есть точка Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , принадлежащая графику функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , а также обратно.

Таким образом, графики функций вида Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru при постоянном значении Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и различных значениях Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru представляют собой семейство параллельных прямых, наклоненных к оси абсцисс под одинаковым углом, тангенс которого равен Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . Графики функций вида Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru - семейство парабол, ветви которых направлены вверх и координаты вершины Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Правило 2.Чтобы построить график функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , надо построить график функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , а затем все точки этого графика сдвинуть вдоль оси Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru на Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru единиц: влево, если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; вправо, если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Действительно, сравнивая значения аргумента при одинаковых значениях функций Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , можно заметить, что возможны два случая:

- если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , то функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru принимает значения, равные значениям функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , при меньших на Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru единиц значениях аргумента, следовательно, график функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru получается из графика функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru параллельным переносом (сдвигом) его на Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru единиц влево вдоль оси Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ;

если Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , то функция Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru принимает значения, равные значениям функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , при больших на Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru единиц значениях аргумента, следовательно, график функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru получается из графика функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru параллельным переносом (сдвигом) его на Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru единиц вправо вдоль оси Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ;

Далее легко доказывается, что при соответствующем параллельном переносе вдоль оси Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru образ любой точки Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , принадлежащей графику функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , есть точка Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , принадлежащая графику функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , а также обратно.

Таким образом, графики функций вида Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru представляют собой семейство парабол, ветви которых направлены вверх и координаты вершины Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru . В итоге графики функций вида Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru - семейство парабол, ветви которых направлены вверх и координаты вершины Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Правило 3. Чтобы построить график функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , надо построить график функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , а затем все точки этого графика отразить от оси Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

К указанному выводу легко прийти, сравнивая значения функций Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru при одних и тех же значениях аргумента.

Далее, легко доказывается, что при симметрии относительно оси Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru образ любой точки Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , принадлежащей графику функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , есть точка Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , принадлежащая графику функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , а также обратно.

Таким образом, графики функций вида Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru - семейство парабол, ветви которых направлены вниз и координаты вершины Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Правило 4. Чтобы построить график функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , надо построить график функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , а затем все точки этого графика отразить от оси Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

К указанному выводу легко прийти, сравнивая значения аргумента при одинаковых значениях функций Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru и Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Далее, легко доказывается, что при симметрии относительно оси Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru образ любой точки Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , принадлежащей графику функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , есть точка Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , принадлежащая графику функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , а также обратно.

Правило 5. График функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , где Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru , получается из графика функции Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru растяжением в Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru раз вдоль оси Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru при Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru ; сжатием в Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru раз при Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами - student2.ru .

Наши рекомендации