Построить платежные матрицы игр, эквивалентных следующим задачам линейного программирования (приведена одна из пары двойственных задач).

106. Предприятие может выпустить три вида продукции (А, Б и В), получая при этом прибыль, зависящую от спроса. Спрос в свою очередь может принимать одно из четырех состояний (I, II, III и VI). В следующей матрице элементы характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции и j-м состоянии спроса.

Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, считая состояние спроса полностью неопределенным, гарантируя при этом среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.

107. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую оно может сразу отправить потребителю (стратегия А), отправить на склад (стратегия Б), или подвергнуть дополнительной обработке (стратегия В) для длительного хранения.

В свою очередь потребитель может немедленно приобрести эту продукцию (стратегия I), приобрести ее в течение небольшого отрезка времени (II) или затребовать ее после длительного периода времени (III).

Если предприятие выберет стратегию А, то дополнительные затраты на хранение и обработку продукции не потребуются. Однако, если при этом потребитель примет стратегию II или тем более III, то предприятие потерпит убытки из-за порчи части продукции. Наоборот, если предприятие выберет стратегию В, а потребитель – стратегию I, то возникнут неоправданные расходы на консервацию продукции. Определить оптимальное соотношение между продукцией, отправленной потребителю на склад и на дополнительную обработку, руководствуясь «минимаксным критерием» (гарантированный средний уровень убытка), при следующей матрицы затрат:

108. Для игры 2 × 2, не имеющей седловой точки, может быть предложен следующий упрощенный прием определения оптимальной смешанной стратегии.

Вычтем из элементов 1-го столбца элементы 2-го столбца. Получим столбец , элементы которого по абсолютной величине пропорциональны вероятностям и оптимальной стратегии первого игрока. Аналогично определяется смешанная стратегия для второго игрока. Доказать справедливость этого правила.

109. Аналогично предыдущей задаче можно указать простое правило для игры 2 × m , также не имеющей седловой точки. Сущность его состоит в том, что выбираются произвольные две стратегии для второго игрока (имеющего m стратегий) и решается игра 2 × 2. Полученное решение для первого игрока оценивается против любой из оставшихся стратегий второго игрока. Если полученный «выигрыш» не меньше найденной цены игры 2 × 2 , то это и будет решением первой начальной игры. Если же будет получен меньший «выигрыш», то испытывается таким образом другая игра 2 × 2.

110-113.Пользуясь указанным в задаче 109 правилом, решить игры.

114-117.Рассмотрим игру 3×3 с тремя активными стратегиями для каждого из игроков (т.е. все и ). Если при этом игра не имеет седловой точки и доминирующих стратегий (последние вытекает из условий и ), то может быть указано упрощенное правило решения игры, аналогичное указанному в задаче 108. Вычитаем почленно 3-ю строку из 1-й и 2-й. В образовавшейся матрице вероятности стратегий для второго игрока пропорциональны абсолютным величинам миноров 3-й строки. Аналогично находится стратегия для первого игрока. Доказать это правило и решить с его помощью следующие задачи:

118. Доказать следующие два взаимно обратные утверждения:

1) если игра имеет седловую точку, то найдется элемент платежной матрицы, который будет наибольшим в столбце и наименьшим в строке, т.е. выполняется неравенство при всех i = 1, …,р и k = 1, ..., q;

2) если найдется элемент , удовлетворяющий указанным выше неравенствам, то игра имеет седловую точку.