Вычисление длин линий и дирекционных углов по координатам начала и конца линии

Прямая и обратная геодезические задачи

Вычислительная обработка результатов измерений на местности, проводимая при составлении планов, решение ряда землеустроительных задач, подготовка данных для выноса проектов в натуру непосредственно связаны с прямой и обратной геодезическими задачами на координаты.

Прямая геодезическая задача. Сущность данной задачи (рис.2) в следующем: по известным координатам точки 1 (x1, y1), линии 1-2, дирекционному углу этой линии а1-2 и ее горизонтальному проложению d1-2 требуется определить координаты точки 2.

Вычисление длин линий и дирекционных углов по координатам начала и конца линии - student2.ru

Рис. 2. Прямая и обратная геодезические задачи

Проведя через точки 1 и 2 линии, параллельные координатным осям, получим прямоугольный треугольник 1-2'-2, в котором известны гипотенуза d1-2 и острый угол r = a1-2. Катеты этого треугольника есть приращения координат Δx и Δy, которые могут быть получены по формулам:

Δx = d1-2 cos a1-2 ; Δy = d1-2 sin a1-2 ; (1)

Контроль: d = Вычисление длин линий и дирекционных углов по координатам начала и конца линии - student2.ru .

Следует помнить, что в общем случае знаки приращений координат зависят от четверти, определяемой дирекционным углом заданного направления (см. табл. 1).

Тогда координаты искомой точки 2 определятся по формулам:

x2 = x1 + Δx; y2 = y1 + Δy;

или

x2 = x1 + d1-2 cos a1-2 ; y2 = y1 + d1-2 sin a1-2 .

Приращения координат и координаты искомой точки вычисляются с точностью, соответствующей точности измерения горизонтальной длины линии.

Обратная геодезическая задача. По известным координатам точек 3 (x3, y3) и 4 (x4, y4) требуется определить горизонтальное проложение стороны d3-4 и дирекционный угол направления a3-4.

Согласно рис.2 и формуле (1) можно записать

Δx = x4 - x3; Δy = y4 - y3.

По найденным значениям приращений координат Δx и Δy, решая прямоугольный треугольник, вычисляют табличный угол:

tg r = Вычисление длин линий и дирекционных углов по координатам начала и конца линии - student2.ru ,

отсюда

r = arctg Вычисление длин линий и дирекционных углов по координатам начала и конца линии - student2.ru .

По знакам приращений координат Δx и Δy определяют, в какой четверти находится данное направление. Затем, руководствуясь соотношением между табличным и дирекционным углами (см. табл. 1), находят дирекционный угол направления. Например, в рассматриваемом случае знаки приращений координат показывают, что направление 3-4 находится в IV четверти, тогда

a3-4.= 360° - r.

Зная дирекционный угол направления и приращения координат, определяют горизонтальное проложение стороны

d3-4 = Вычисление длин линий и дирекционных углов по координатам начала и конца линии - student2.ru = Вычисление длин линий и дирекционных углов по координатам начала и конца линии - student2.ru = Вычисление длин линий и дирекционных углов по координатам начала и конца линии - student2.ru .

По этой формуле значение горизонтального проложения стороны определяется трижды; сходимость результатов служит надежным контролем решения задачи. Наибольшее внимание при решении обратной задачи следует уделять вычислению приращений координат Δx и Δy

Вычисление длин линий и дирекционных углов по координатам начала и конца линии

Название отрезков линий Название концов отрезков Координаты (м) Длина линии (м) Дирекционный угол a°
Хм Ум ОГЗ Через ГУ По карте
1-2            
2-3            
3-4            
4-1            

Наши рекомендации