Задачи для самостоятельной и индивидуальной работы

2.1.1. Координата тела массой m = 1 кг, движущегося прямолинейно, изменяется от времени по закону y = at² – bt³, где а = 2 м/с²,
b = 1 м/с³. Определите силу F, действующую на тело в конце второй секунды движения.

Ответ: F = m(2a – 6bt) = -8 Н.

2.1.2. Координаты х и y тела массой m = 2 кг изменяются во времени по следующим законам соответственно: х = А₁ – В₁t + C₁t², y = A₂ +
+ D₂t³, где С₁ = 2 м/с², D₂ = 2 м/с³. Определите ускорение а тела и силу F, действующую на тело в начале шестой секунды.

Ответ: ; F = 120 Н.

2.1.3. Зависимость координаты тела массой 2 кг задана уравнением
х = Acoswt, где А = 2 см, w = 2p рад/с. Определите ускорение тела через
t = 0,5 с после начала движения и силу, действующую на тело.

Ответ: а = 0,8 м/с²; F = 1,6 Н.

2.1.4. Зависимость координаты тела массой m = 0,5 кг, движущегося прямолинейно, задана уравнением х = А + Вt – Ct² + Dt³, где B = 1 м/с,
С = 5 м/с² и D = 5 м/с³. Определите импульс тела и действующую на него силу через t = 10 с после начала движения.

Ответ: р = 2200 (кг×м)/с; F = 145 Н.

2.1.5. Тело массой m = 2 кг движется так, что его координаты y и z изменяются во времени. Зависимость y(t) задана соотношением
у = В₁t + C₁t², зависимость z(t) определяется выражением z = В₂t - C₂t², где В₁ = 2 м/с; С₁ = 4 м/с²; В₂ = 1 м/с; С₂ = 2 м/с²; (х = const). Определите импульс р тела в конце третьей секунды движения.

Ответ: р = 49 (кг×м)/с.

2.1.6. По поверхности льда пущена шайба, которая, пройдя путь
s = 400 м, остановилась через t = 40 с. Определите коэффициент трения m шайбы об лед.

Ответ: m = 2s/(gt²) = 0,05.

2.1.7. После включения тормозной системы тепловоз массой
m = 100 т прошел путь s = 200 м до полной остановки за время t = 40 с. Определите силу торможения.

Ответ: .

2.1.8. При выключении двигателя автомобиль, движущийся со скоростью v = 54 км/ч, проехал по инерции путь s = 100 м. Определите коэффициент трения m автомобиля о поверхность дороги.

Ответ: .

2.1.9. Поезд массой m = 150 т двигался со скоростью v = 72 км/ч. При торможении до полной остановки поезд прошел путь s = 500 м. Определите силу F сопротивления движению.

Ответ: .

2.1.10. Пущенная по поверхности льда шайба со скоростью v = 30 м/с остановилась через время t = 50 с. Определите силу F сопротивления движению и коэффициент трения m, если масса шайбы m = 500 г.

Ответ: ; .

2.1.11.Тело массой m = 3 кг брошено под углом a = 60° к горизонту с начальной скоростью v₀ = 20 м/с. Определите, на сколько изменился импульс тела в верхней точке траектории по сравнению с начальным импульсом р₀= mv₀.

Ответ: Dр = mv₀×sina » 52 (кг×м)/с.

2.1.12.Материальная точка массой m = 2 кг, двигаясь равномерно по окружности, проходит путь, равный длинам двух с половиной окружностей, т.е. s = 2,5×2pR. Определите, сколько раз в течение всего времени движения изменение импульса точки становится равным удвоенному значению ее начального импульса. Определите изменение импульса точки, если она прошла три четверти окружности радиусом R = 1 м за
Dt = 6 с.

Ответ: N = 3; Dр = р₂ – р₁; .

2.1.13.Мячик массой m = 400 г упруго ударяется о неподвижную вертикальную стенку со скоростью v₀ = 20 м/с, которая направлена под углом b = 60° к поверхности стенки. Определите изменение импульса Dp мячика и импульс р_ст, полученный стенкой в результате соударения.

Ответ: Dр =2mv₀×sinb = 13,8 (кг×м)/с; р_ст = -13,8 (кг×м)/с.

2.1.14.Тело массой m = 4 кг брошено горизонтально с некоторой начальной скоростью с высоты h = 45 м. Определите изменение
импульса Dр тела за время его движения, а также импульс силы F×Dt, действующей на тело за это время. (Силой сопротивления воздуха пренебрегаем, g = 10 м/с²).

Ответ: ; F×Dt = Dр = 120 (кг×м)/с.

2.1.15.Шарик массой m = 200 г упал свободно с высоты h = 5 м на горизонтальную массивную плиту и отскочил от нее вверх после упругого удара. Определите импульс, полученный плитой при ударе шарика, а также среднюю силу, действующую на шарик при ударе, длящемся в течение времени Dt = 0,1 с (g = 10 м/с²).

Ответ: ; F_ср = 40 Н.

2.1.15.= 5 vр

2.1.16.Космический корабль имеет массу m = 3 т. При движении расход горючего в единицу времени составляет Dm = 0,3 кг, при этом из его двигателей вырывается струя газа со скоростью v = 900 м/с. Определите ускорение, с которым движется корабль.

Ответ: .

2.1.17.При маневрировании космического корабля из его двигателей вырывается струя газов со скоростью v = 850 м/с, при этом расход горючего составляет Dm/Dt = 0,25 кг/с. Определите реактивную силу двигателей корабля.

Ответ: .

2.1.18.Вертолет массой m = 3 т с ротором, диаметр которого
d = 15 м, находится в воздухе над одной и той же точкой поверхности Земли («висит» в воздухе). С какой скоростью ротор отбрасывает вертикально вниз струю воздуха, если считать, что диаметр струи приблизительно равен диаметру вращающегося ротора? (Плотность воздуха
r = 1,32 кг/м³).

Ответ: .

2.1.19.Вертолет с ротором, диаметр которого d = 14 м, находится в воздухе над одной и той же точкой поверхности Земли. Ротор отбрасывает вертикально вниз струю воздуха со скоростью v = 10 м/с. Определите, какая масса воздуха ежесекундно отбрасывается ротором вертолета вертикально вниз (считайте, что диаметр струи приблизительно равен диаметру вращающегося ротора; плотность воздуха
r = 1,32 кг/м³).

Ответ: .

2.1.20.Ракета массой 1,5 т, запущенная вертикально вверх с поверхности Земли, поднимается с ускорением а = 1,5g. Определите скорость струи газов, вырывающихся из сопла, если расход горючего составляет Dm/Dt = 25 кг/с.

Ответ: .

2.1.21.Грузы массой М = 10 кг и m = 5 кг при помощи нерастяжимой нити подвешены на блоке (рис. 2.26). С каким ускорением a относительно Земли нужно двигать блок в вертикальном направлении, чтобы ускорения грузов относительно Земли были направлены в одну сторону? Грузы передвигаются по вертикали.

Ответ: a ³ g(M - m)/(2m) = 4,9 м/с².

2.1.22.Катер массой m = 1,5 т, трогаясь с места, в течение некоторого времени достигает скорости v = 5 м/с (движение катера происходит в спокойной воде). Сила тяги мотора постоянна и равна F = 10³ Н. Принимая, что сила сопротивления F_сопр движению катера пропорцио­наль­на скорости (F_сопр = k×v, где k = 100 кг/с), определите время, за которое катер достигает указанной скорости.

Ответ: .

2.1.23.При движении в воздухе пули массой m = 20 г ее скорость уменьшилась от v₀ = 700 м/с до v = 100 м/с за время Dt = 1 с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости, определите коэффициент сопротивления движению k (Действием силы тяжести пренебрегаем).

Ответ: .

2.1.24.Снаряд массой m = 20 кг выпущен из орудия вертикально вверх со скоростью v₀ = 700 м/с. Определите время подъема снаряда на
высоту, равную половине максимальной высоты, считая силу сопротивления пропорциональной скорости движения (коэффициент сопротивления движению k = 0,2 кг/c).

Ответ: .

2.1.25.С большой высоты на Землю сброшен груз массой m = 20 кг.
Принимая, что сила сопротивления воздуха движению груза изменяется пропорционально скорости, определите, через какой промежуток времени Dt ускорение движения груза будет равно одной трети ускорения свободного падения. (Коэффициент сопротивления движению
k = 10 кг/с).

Ответ: .

2.2.1.Под действием некоторой силы тележка, двигаясь из состояния покоя, прошла путь s₁ = 0,4 м. Когда на тележку положили груз массой m = 0,2 кг, то под действием той же силы за тоже время тележка прошла из состояния покоя путь s₂ = 0,2 м. Какова масса m₀ тележки, если мы трением пренебрегаем?

Ответ: .

2.2.2. Тело начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол a = 45°. Пройдя по ней расстояние s = 0,355 м, тело приобрело скорость v = 2 м/c. Определите коэффициент трения m тела о плоскость (g » 10 м/с²).

Ответ: .

Шарик, прикрепленный к нити, движется в горизонтальной плоскости по окружности с постоянной скоростью (конический маятник). Расстояние от точки подвеса до горизонтальной плоскости равно h. Определите период T колебания (обращения) шарика.

Ответ: .

2.2.4. В нижней точке мертвой петли реактивный самолет движется со скоростью v = 1200 км/час. Определите, какую нагрузку k_нагр (отношение прижимающей силы к гравитационной) испытывает летчик, если радиус петли R = 1 км.

Ответ: .

2.2.5. Груз на нити, вращаясь с частотой n = 1 об/с, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом R = 10 см. Какой угол a образует нить с вертикалью?

Ответ: .

2.2.6.Барабан стиральной машины наполнен мокрым бельем и враща­ется с частотой n = 1200 об/мин. Во сколько раз центростреми­тельная сила F_ц к моменту отрыва капли воды от ткани больше силы тяжести F_тяж = mg, действующей на каплю, если капля находится на расстоянии R = 0,3 м от оси вращения.

Ответ: .

2.2.7.В вертикальной плоскости вращается груз массой m = 2 кг с частотой n = 2 об/с. Шнур, на котором подвешен груз, может выдержать нагрузку F_пред = 320 Н. Выдержит ли шнур натяжения в те моменты, когда груз проходит через высшую и низшую точки окружности? Определите максимальную и минимальную силы натяжения шнура, если его длина l = 1 м.

Ответ: , F_max > F_пред;

, F_min < F_пред.

2.2.8.Поезд движется по закруглению радиусом R = 500 м. Ширина железнодорожной колеи d = 152,4 см. Наружный рельс расположен на
h = 12 см выше внутреннего. При какой скорости v движения поезда на закруглении колеса не оказывают давления на внутренний рельс.

Ответ: .