Методическое обеспечение проектирования и функционирования логистических цепей

Практически каждая стадия проектирования и функционирования логистических цепей требует применения определенного методического обеспечения, с помощью которого реализуются задачи, стоящие перед проектировщиками и службой логистики предприятия. Методическое обеспечение представляет собой комплекс разработанных и используемых на практике методов, методик, моделей и алгоритмов решения задач. При этом математическая формулировка любой задачи оптимального управления включает в себя, как правило, два элемента – математическую модель объекта и критерий управления.

Под математической моделью понимают систему математических соотношений, описывающих поведение объекта управления и те условия (возмущения, ограничения, изменения), в которых он функционирует. Для представления модели в аналитической форме необходимо знать физическую природу управляемого объекта, его структуру и конструктивные особенности. Модель, как правило, в той или иной степени не может учитывать ряд детальных явлений, происходящих в управляемом объекте, но одновременно может использоваться для определения управляющих воздействий при различных соотношениях значений параметров объекта. Если характеристики управляемого объекта подвержены изменениям, то соответствие модели объекту должно непрерывно проверяться и уточняться на основе информации о состоянии объекта. Применяя принятую модель на практике, осуществляют различные управляющие воздействия с получением и фиксацией реакции модели на эти воздействия, что дает возможность выбрать те из них, которые в наибольшей степени удовлетворяют оптимальному критерию управления.

Рассмотрим, прежде всего, комплекс методического обеспечения, используемого на стадии проектирования логистических цепей, когда формируется перечень задач, которые необходимо включить в конкретный проект, устанавливаются продолжительность и очередность их решения, сроки начала и окончания реализации определенных задач, а также взаимосвязь решаемых задач.

Одним из распространенных методов, используемых на проектной стадии, являются построение диаграммы Гантта, которая представляет собой перечень задач, решаемых при реализации конкретного проекта в масштабе времени. Для этого на оси времени каждая задача, подлежащая решению, изображается отрезком, пропорциональным продолжительности ее решения. Задачи нумеруются в порядке очередности их решения с указанием сроков начала и окончания реализации. При этом начало решения следующей задачи, может фиксироваться не в точке окончания решения предыдущей задачи, а раньше, когда исходная информация (промежуточный результат) предыдущей задачи дает возможность начать решение последующей задачи (рис. 9.5).

Промежуток времени между началом решения первой задачи и окончанием решения заключительной задачи конкретного проекта представляет собой общую продолжительность реализации проекта в целом. Таким образом, рассчитывается общее время реализации проекта и место каждой задачи в проекте в интервале времени. Преимущества данного метода состоит в том, что он наглядно демонстрирует весь комплекс задач разрабатываемого проекта, последовательность их решения и сроки (начало и окончание) реализации в одной плоскости. Однако, такое изображение не показывает взаимодействие решаемых задач при реализации проекта в целом.

Метод управления проектом с применением диаграммы Гантта наиболее эффективно используется при проектировании функциональных логистических цепей в подсистемах логистики, где достаточно точно определена последовательность осуществления процедур и операций. Одновременно продолжительность проведения функциональных процедур и операций (их трудоемкость) также может быть рассчитана с достаточной степенью точности. Кроме этого, функциональные логистические цепи имеют замкнутый характер, что позволяет выявить внутренние взаимосвязи процедур и операций, решаемых задач (комплекса задач), на которые не оказывают влияния факторы внешней среды.

Другой, более эффективный метод, используемый на проектной стадии, носит название метода ПОТО (программная оценка технологического обзора). Для реализации проекта с применением этого метода, как правило, привлекаются определенные трудовые ресурсы различных подразделений предприятия, включающие специалистов службы логистики различных профилей и квалификации, а сам проект состоит из выполнения значительного числа процедур и операций, которые представляют собой решение комплекса взаимосвязанных задач.

Метод ПОТО, как метод управления проектом, используется в тех случаях, когда можно определить начальную и конечную стадии решения задачи (комплекса задач) или выполнения процедуры (операции). При этом допускается применение календарного планирования реализации различных задач, определяя для каждой из них начальные и конечные даты исполнения, а также общую продолжительность выполнения проекта. Данный метод позволяет определить также перечень задач, которые являются критическими, и несоблюдение сроков выполнения которых по сравнению с первоначально запланированными сроками приводит к несоблюдению срока выполнения проекта в целом.

Метод ПОТО основан на построении сетевого графика, в котором задачи изображаются стрелками, имеющими начальную и конечную стадии выполнения, называемые событиями и представленные в виде кружков (узлов), а также на определении последовательности решения задачи (путь). При этом задачи группируются вокруг узлов, позволяя тем самым учитывать последовательность их выполнения, например, задача не может быть выполнена, пока не будут завершены решения всех предыдущих задач. Классический вариант построения графика ПОТО (сетевого графика) с ограниченным количеством решаемых задач представлен на рис. 9.6.

В приведенном на рис. 9.6. варианте задачи Б и В могут быть реализованы только после решения задачи А. Одновременно решение задачи Д не зависит от результатов решения задач В, Г и Е, она решается параллельно с ними, но в качестве исходной базы должна иметь решение задачи В. В свою очередь, задача З может быть реализована только после выполнения всех предыдущих задач – А, Б, В, Г, Д, Е.

В сетевом графике ПОТО предусматривается введение, так называемых, фиктивных задач, включаемых в схемы с целью ликвидации неувязок в последовательности выполнения задач при реализации сложных проектов. Так, например, если в задаче В предшествует решение задач А и Б, а задаче Г – только задача Б, то требуется ввести некую фиктивную задачу (рис. 9.7).

При построении сетевого графика очевидно существование нескольких путей реализации проекта с различной степенью важности (приоритетности). На практике принято считать путь с самым продолжительным временем реализации проекта, который определяет минимальный срок выполнения всего проекта, критическим путем. На языке теории графов минимальное время реализации проекта соответствует длине критического пути, соединяющего начальную и конечную вершины. С позиции контроля, инструментом которого, в том числе, является сетевое планирование, оно должно определять (по мере последовательности реализации задач) появление нового критического пути. При невыполнении срока решения отдельных задач – существующий путь, который ранее не являлся критическим, может стать им.

Порядок построения сетевых графиков состоит в следующем. Прежде всего, определяется полный перечень задач, составляющих данный проект. Далее, устанавливается последовательность решения задач – для каждой задачи определяется предшествующая задача, так называемый, непосредственный предшественник, и срок ее выполнения. При этом выявляются задачи, решение которых можно осуществить параллельно с другими задачами. Таким образом, рассчитываются «цепочки» решаемых задач, которые увязываются между собой по продолжительности реализации, а также определяется начало и окончание реализации всего проекта.

После построения сетевого графика для определения критического пути рассчитываются самые ранние и самые поздние даты начала и окончания решения каждой задачи. При этом самая ранняя дата начала решения задачи совпадает с самой ранней датой окончания решения непосредственно предшествующих задач. Самая ранняя дата начала выполнения первой задачи (задач) обычно принимается за 0 отсчета времени или совпадает с датой начала реализации проекта.

Использование на практике метода ПОТО предполагает проведение следующих предварительных работ: во-первых, определение стратегической цели, которую необходимо достигнуть при реализации конкретного проекта; во-вторых, установление комплекса задач, которые необходимо реализовать для успешного выполнения всего проекта; в-третьих, выявление соответствующих необходимых и достаточных наличных ресурсов (трудовых, материальных, финансовых), за счет которых реализуется проект; в-четвертых, определение общей последовательности реализации комплекса задач; в-пятых, формирование отдельных задач и групп задач проекта по соответствующим подсистемам, блокам, комплексам задач; в-шестых, установление системы учета времени, в которой определяются сроки выполнения задач проекта.

На основе результатов проведения предварительных работ календарное планирование реализации проекта может осуществляться в зависимости от различных критерием, в частности, сроков выполнения проекта. Так, при заданных ресурсах метод ПОТО обеспечивает календарное планирование, минимальную продолжительность реализации проекта, определение критического пути. Если дата окончания выполнения проекта прогнозируется в достаточно отдаленном будущем, то, как правило, сокращают по возможности сроки решения задач, расположенных на критическом пути. В качестве альтернативных вариантов используются: выделение дополнительных ресурсов (соответственно, увеличиваются издержки); изменение способов и методов решения задач; перераспределение ресурсов при реализации задач – от решения некритических задач к выполняемым критическим задачам.

При использовании того или иного варианта сокращения сроков реализации проекта возникает необходимость перерасчета исходных данных сетевого графика с применением различных методов моделирования. Если сокращение сроков реализации задач осуществляется путем выделения дополнительных ресурсов, то это сокращение, как правило, меняется линейно и обратно пропорционально к производительным затратам. Однако, начиная с некоторого уровня выделения дополнительных затрат, продолжительность реализации задач может изменить эту зависимость на противоположную.

Следовательно, необходим поиск оптимального соотношения между минимизацией сроков реализации задач (комплекса задач) и используемыми ресурсами. Возможность установления такого оптимального соотношения появляется при установлении календарного графика для использования каждого вида ресурса, например, учета неравномерности поставки материально-технических ресурсов. Поэтому график ПОТО корректируется по мере реализации проекта при проведении сравнения между запланированным и текущим бюджетом, между запланированными и действительными сроками реализации комплекса задач или отдельных задач проекта. Сетевой график может быть скорректирован также в зависимости от поступления новых данных, влияющих как на трудоемкость, так и на сроки выполнения отдельных задач.

В качестве недостатков метода ПОТО можно отметить следующее: в некоторых случаях сетевой график имеет ограниченное использование в связи с тем, что по определенным сверхсложным научно-исследовательским разработкам (например, при проектировании макрологистических цепей) невозможно заранее определить последовательность и сроки решения задач; ограниченное использование сетевого графика имеет место в случаях, когда установление последующего перечня задач, подлежащих решению, зависит от результатов реализации предыдущих задач. Наиболее эффективно метод ПОТО может быть использован при проектировании микрологистических цепей на конкретных предприятиях.

При проектировании функциональных логистических цепей и в некоторых случаях микрологистических цепей возможно использование комбинированного метода – диаграммы Гантта и метода ПОТО, который заключается в построении сетевого графика в масштабе времени. Однако такой подход на практике имеет ограниченное применение, к нему прибегают при проектировании, в основном, простых цепей и цепей средней сложности. Объясняется это тем, что все недостатки диаграммы Гантта (громоздкость, невозможность управления сложными программами) сохраняются при использовании комбинированного метода.

Существует еще один метод, применяемый при проектировании логистических цепей, который носит название метода критического пути. Данный метод идентичен методу ПОТО (его можно считать модификацией построения классического сетевого графика). Главной отличительной особенностью этого метода является изображение задач узлами, а изображение связи между ними стрелками. Таким образом, в методе критического пути отпадает необходимость введения фиктивных задач.

Рассмотренные методы проектирования логистических цепей в той или иной степени осуществляют целый ряд процедур, состоящих из: детализации задач (начальные и конечные даты, стоимость привлеченных ресурсов); детализация наличных и привлеченных ресурсов (материальных, трудовых, финансовых); распределение задач по различным подсистемам (материально-техническое снабжение, складское и транспортное хозяйство, сбытовая деятельность) и ресурсам (нормы расхода материалов, трудоемкость выполняемых процедур и операций); составление сетевых графиков с определением критического пути – времени реализации проекта в целом; построения диаграмм Гантта или Гантта-ПОТО; построение диаграмм Гантта параллельно с использованием ресурсов; составление перечня запланированных задач на календарный период.

При проектировании логистических цепей на практике достаточно часто возникают события, наступление которых невозможно точно рассчитать. В этих случаях используются методы принятия решений в условиях неопределенности. Формальная постановка задачи принятия решений в условиях неопределенности реализует следующие процедуры.

1. Определяется множество всех возможных ситуаций, которые влияют на экономический результат соответствующих решений по конкретному проекту. При этом набор ситуаций должен представлять собой полную группу событий:

(9.2)

(9.3)

где - пространство всех элементарных исходов (вероятности неизвестны).

2. Составляется перечень анализируемых альтернативных решений, для которых экономический результат зависит от складывающейся внешней ситуации из множества .

3. Определяется ожидаемый позитивный результат а_ij для случаев, когда будет принято решение Х₁ из множества указанных выше альтернатив, а внешняя ситуация представлена событием из множества ситуаций, влияющих на экономический результат, который может быть представлен в виде матрицы А=(а_ij), называемой матрицей полезностей:

(9.4.)

Таким образом, для формализованной постановки задачи принятия решения в условиях неопределенности требуется выбрать одну наилучшую для конкретного проекта из рассматриваемых альтернатив .

Один из подходов в познании неопределенностей состоит в привлечении аппарата линий уровней, характеризующих отношение реализуемого проекта к неопределенности получения экономического результата. Особенность такого аппарата заключается в следующем. Пусть требуется сравнить решение Х₀ с некоторой другой альтернативой, которая в ситуации дает экономический результат V^*, менее позитивный по сравнению с результатом решения (рис. 9.8). Другими словами, решение Х₀ сравнивается с альтернативой, которая представлена некоторой точкой, расположенной на линии, параллельной оси «0U» и проходящей через точку с координатами (0, V^*).

Комментируя рис. 9.8, отмечаем, что в данном случае: (V₀ – V^*) – заданная величина потерь при наступлении события ; (U^* – U⁰) – требуемая проектом компенсация соответствующих возможных потерь при наступлении события ; Х^* - альтернатива, эквивалентная решению Х₀ представленная кривая – линия уровня, определяющая все точки, для которых соответствующие альтернативы эквивалентны Х₀(…) (в пределах предпочтений конкретного проекта). При этом, если предпочтения проекта задаются корректно (соответствующее отношение предпочтений является транзитивным или, по крайней мере, не допускает циклов), то найдется единственная точка Х^*, лежащая на линии, которая характеризуется следующими положениями.

1. Любая другая альтернатива, представленная точкой на линии, расположенной левее Х^*, будет для данного проекта более негативной, чем решение Х₀.

2. Любая другая альтернатива, представленная точкой на линии, расположенной правее Х^*, будет для данного проекта более позитивной, чем решение Х₀.

Таким образом, для любого решения Х₀ при его сравнении с альтернативой всегда найдется эквивалентная альтернатива, при которой в конкретном проекте реализуется «баланс» между возможной потерей (V₀ – V^*) в случае наступления неблагоприятного события ( ) и требуемой проектом соответствующей минимальной компенсации (U₀ – U^*) в случае наступления благоприятного события ( ). Наконец, поскольку величина V^* была произвольной, то эквивалентные по отношению к Х₀ альтернативы для данного проекта, аналогичные Х^*, имеются при любом значении V^*. Соединяя все такие эквивалентные (по отношению к решению Х₀) точки, получаем линию, представляющую одну из линий уровней для данного проекта: все точки этой линии эквивалентны Х₀ в пределах предпочтений проекта.

Необходимо отметить, что точка Х₀ была произвольной в пространстве (UxV), поэтому можно говорить о семействе таких линий уровня применительно к конкретному проекту, не привязываясь к отдельному решению Х₀ (рис. 9.9). При этом все решения, лежащие на одной и той же линии (линии данного уровня) являются эквивалентными между собой для данного проекта. Кроме того, чем дальше от начала координат проходит линия, тем более предпочтительные решения она представляет.

На формальном уровне соответствующее семейство линий в двумерном пространстве (UxV) задают на основе параметрического задания таких линий уровня. А именно, под линией уровня К понимают линию, определяемую отношением:

(9.6)

где К – параметр, характеризующий отдельную линию семейства;

f(U;V) – функция двух переменных, определенная в пространстве (UxV) и характеризующая отношение проекта к неопределенности экономического результата, причем задаваемая таким образом, чтобы большим значениям К соответствовала линия уровня из этого семейства с большим предпочтением для данного проекта.

Таким образом, на формальном уровне задача оптимального выбора решения в условиях неопределенности применительно к двумерному пространству (UхV) для случая, когда экономический результат решения зависит от двух возможных случайных событий , может быть представлена как следующая задача оптимизации:

(9.7)

Окончательно, в общем случае, когда модель задачи принятия решения в условиях неопределенности учитывает произвольное число возможных случайных событий , влияющих на экономический результат, соответствующая задача выбора наилучшего решения из заданного множества альтернатив представляется в виде следующей задачи оптимизации:

(9.8)

где - функция n переменных, аргументом которой являются n-мерные векторы-строки соответствующей матрицы полезностей. При этом указанная функция задается таким образом, что линия уровня К (в n-мерном пространстве соответствующие плоскости), определяемые равенством:

(9.9)

при больших значениях параметра К соответствовали более предпочтительным решениям для конкретного проекта. В противном случае (например, для матрицы рисков или потерь) решается аналогичная задача минимизации.

Методы, применяемые при принятии решений в условиях неопределенности, можно классифицировать на две группы в зависимости от критериев, по которым принимаются решения – классические критерии и производные критерии (табл. 9.4).

Таблица 9.4

Критерии принятия решений в условиях неопределенности

Критерии	Наименование критериев
Классические критерии	максиминный критерий оптимистический критерий нейтральный критерий критерий Сэвиджа
Производные критерии	критерий Гурвица критерий произведений критерий Геймейера модифицированный критерий Геймейера критерий наиболее вероятного исхода

Рассмотрим поочередно критерии принятия решений в условиях неопределенности, их определения и соответствующие характеристики. Так, группа классических критериев включает в себя следующие критерии.

Максиминный критерий (ММ-критерий или критерий Вальда) характеризуется крайней пессимистической позицией отношения реализуемого проекта к неопределенности экономического результата. При таком подходе при сравнении альтернативных решений за основу принимаются их самые неблагоприятные результаты при возможных ситуациях развития внешних событий, не зависящих от реализуемого проекта при анализируемом решении. Соответственно, при таком подходе функция, задающая семейство линий уровня, определяется равенством:

(9.10)

Применительно к обозначениям, принятым для матрицы полезностей, задача нахождения наилучшего решения по этому критерию формализуется следующим образом. Пусть i – вариант возможного решения проекта (i=1,2…m); j – вариант возможной ситуации (j=1,2…n); а_ij – экономический эффект по проекту, если будет принято решение i, а ситуация сложится j-ая; А= (а_ij) – матрица полезностей. Определяется целевая функция критерия:

(9.11)

где (9.12)

Оптимистический критерий (или Н-критерий) характеризуется крайне оптимистической позицией отношения проекта к неопределенности экономического результата. При таком подходе при сравнении альтернативных решений за основу принимаются их соответствующие самые благоприятные результаты среди возможных ситуаций для внешних событий, не зависящих от реализации проекта. Соответственно, при таком подходе функция, задающая семейство линий уровня, определяется равенством:

(9.13)

Применительно к обозначениям, принятым для матрицы полезностей, задача нахождения наилучшего решения по этому критерию формализуется следующим образом. Пусть i – вариант возможного решения проекта (i=1,2…m); j – вариант возможной ситуации (j=1,2…n); а_ij – экономический эффект по проекту, если будет принято решение i, а ситуация сложится j-ая; А= (а_ij) – матрица полезностей. Определяется целевая функция критерия:

(9.14)

где (9.15)

Нейтральный критерий (N-критерий) характеризуется нейтральной или средневзвешенной позицией отношения проекта к возможным значениям экономических результатов при различных случайных ситуациях. При этом удельные веса для соответствующих результатов (вероятности наступления обусловливающих их событий) принимаются в проекте априори, равными между собой (равными 1/n). При таком подходе при сравнении альтернативных решений за основу принимается среднее арифметическое значение экономического эффекта по всем возможным ситуациям, не зависящим от проекта. Соответственно, при таком подходе функция, задающая семейство линий уровня, определяется равенством:

(9.16)

Применительно к обозначениям, принятым для матрицы полезностей, задача нахождения наилучшего решения по этому критерию формализуется следующим образом. Пусть i – вариант возможного решения проекта (i=1,2…m); j – вариант возможной ситуации (j=1,2…n); а_ij – экономический эффект по проекту, если будет принято решение i, а ситуация сложится j-ая; А= (а_ij) – матрица полезностей. Определяется целевая функция критерия:

(9.17)

где (9.18)

Критерий Сэвиджа (S-критерий) характеризуется крайне пессимистической позицией отношения проекта к возможным потерям вследствие отсутствия достоверных сведений о том, какая из ситуаций, влияющих на экономический результат, будет иметь место в конкретном случае. При S-критерии указанная крайне осторожная позиция проекта (аналогичная позиции ММ-критерия) реализуется применительно к матрице рисков или потерь, а не применительно к матрице полезностей, как это имеет место в ММ-критерии. Свой выбор проект реализует на основе анализа матрицы потерь (L), которая строится по матрице полезностей следующим образом. Сначала определяется условное решение Х_у, соответствующее, так называемой, утопической точке в поле полезности: это – вектор-строка, для которой элемент, соответствующий ситуации , определяется как максимально возможный экономический эффект в этой ситуации (его можно было бы реализовать, если иметь информацию о том, что наступит именно событие из всех, влияющих на экономический результат). Таким образом

(9.19)

где .

При этом для матрицы потерь L=(l_ij) в каждой ее i-той строке выписываются потери, обусловленные решением Х_i относительно условного утопического решения . Далее, анализируя полученную матрицу потерь L при сравнении альтернативных решений, за основу принимаются их соответствующие самые неблагоприятные результаты для возможных потерь при различных ситуациях развития событий , не зависящих от проекта. Соответственно, при таком подходе функция, задающая семейство линий уровня, определяется равенством:

(9.20)

Причем задача нахождения наилучшего решения формально рассматривается как задача минимизации значения этой функции на множестве анализируемых решений {X_i}. Применительно к обозначениям, принятым для матрицы полезностей, задача нахождения наилучшего решения по этому критерию формализуется следующим образом. Пусть i – вариант возможного решения проекта (i=1,2…m); j – вариант возможной ситуации (j=1,2…n); а_ij – экономический эффект по проекту, если будет принято решение i, а ситуация сложится j-ая; А= (а_ij) – матрица полезностей; L=(l_ij) – соответствующая матрица рисков и потерь. Определяется целевая функция критерия:

(9.21)

где (9.22)

(9.23)

К произвольным критериям относятся критерии, которые в той или иной степени модифицируют или обобщают классические критерии. Так, критерий Гурвица (HW-критерий) характеризуется взвешенной позицией «пессимизма-оптимизма» отношения проекта к неопределенности экономического результата. При таком подходе при сравнении альтернатив за основу принимаются только следующие их результаты для возможных реализаций событий, не зависящих от реализации проекта: самый неблагоприятный, самый благоприятный. Эти результаты учитываются с определенными удельными весами, выбираемыми непосредственно проектом и характеризующими его отношение к риску. По данному криетрию оценивается одновременно крайний пессимизм (ММ-критерий) и крайний оптимизм (H-критерий). Соответственно, при таком подходе функция, задающая семейство линий уровня, определяется равенством:

(9.24)

где с(0≤с≤1) – удельный вес, с которым учитывается оценка классического ММ-критерия; (1-с) – удельный вес, с которым учитывается оценка классического Н-критерия.

Применительно к обозначениям, принятым для матрицы полезностей, задача нахождения наилучшего решения при сравнении альтернатив в условиях неопределенности формализуется как следующая задача оптимизации. Пусть i – вариант возможного решения проекта (i=1,2…m); j – вариант возможной ситуации (j=1,2…n); а_ij – экономический эффект по проекту, если будет принято решение i, а ситуация сложится j-ая; А= (а_ij) – матрица полезностей. Определяется целевая функция критерия:

(9.25)

где , (9.26)

где с – соответствующий коэффициент удельного веса.

Критерий произведений (Р-критерий) характеризуется значительно менее пессимистической позицией отношения проекта к неопределенности экономического результата, чем, например, при ММ-критерии, но более пессимистической, чем при N-критерии. Классический нейтральный критерий, учитывающий все возможные экономические результаты (а не только крайние), приводит к простейшему линейному «балансу» между потерями в одной из ситуаций, не зависящей от проекта, и соответствующей компенсацией в другой ситуации.

Сравнивая некоторое решение Х₀ с иными, приходим к выводу, что если в одной из ситуаций (например, ), ожидается потеря некоторой величины (по отношению к Х₀), а в другой – компенсация именно такой же величины, то соответствующее решение принимается эквивалентным решению Х₀. Для многих проектов такой простейший линейный «баланс» может оказаться неприемлемым: чем больше величина ожидаемых потерь в одной из ситуаций, тем более значительной должна быть компенсация, требуемая проектом, в другой ситуации. Такую особенность позволяет учитывать критерий произведений (Р-критерий) согласно которому при нахождении параметра К_i, характеризующего линии уровня для решения Х_i, элементы матрицы полезностей соответствующей строки перемножаются, а не суммируются, как при N-критерии. Естественно, что при этом необходимо учитывать следующее ограничение.

Предполагается, что все элементы соответствующей матрицы полезностей являются положительными:

(9.27)

При этом если указанное условие не выполняется для исходной матрицы полезностей, то предварительно ее модифицируют, добавляя ко всем элементам матрицы одно и то же минимально возможное приемлемое число а, такое, чтобы требуемое ограничение было удовлетворено. Другими словами, используют преобразование всех элементов матрицы полезностей к виду a_ij + a. При этом следует иметь в виду, что оптимальный выбор может зависеть от a. Соответственно, при таком подходе учитываются все возможные результаты событий, не зависящих от проекта, причем функция, задающая семейство линий уровня, определяется равенством:

(9.28)

Применительно к обозначениям, принятым для матрицы полезностей, задача нахождения наилучшего решения формализуется как следующая задача оптимизации. Пусть i – вариант возможного решения проекта (i=1,2…m); j – вариант возможной ситуации (j=1,2…n); а_ij – экономический эффект по проекту, если будет принято решение i, а ситуация сложится j-ая; А= (а_ij) – матрица полезностей. Определяется целевая функция критерия:

(9.29)

где (9.30)

Критерий Гермейера (G-критерий) характеризует позицию отношения проекта к неопределенности экономического результата, которая в определенном смысле обладает некоторой эластичностью. Этот критерий ориентирован на отрицательные значения элементов векторов-строк матрицы полезностей, характеризующих анализируемые решения. В экономических приложениях, когда речь идет о затратах, это условие обычно легко удовлетворяется, например, при учете издержек относительно идеальной безрисковой ситуации. Таким образом, рассматриваемый G-критерий ориентирован на величины потерь, что применительно к матрице полезностей обусловливает следующее ограничение.

Предполагается, что:

a_ij < 0 (9.31)

В противном случае можно перейти к модифицированной матрице с помощью преобразования всех ее элементов к виду a_ij–a (следует учитывать, что оптимальный выбор может зависеть от а). При таком подходе при сравнении альтернатив решение принимается на основе самого большего «вклада» в средние ожидаемые потери каждого решения – если через q_j обозначить вероятности внешних случайных событий , то величина представляет средние ожидаемые потери применительно к решению Х_i (здесь a_ij – уже элементы матрицы потерь). В этой сумме отдельное слагаемое

(9.32)

характеризует самый большой (по модулю) «вклад» в средние ожидаемые потери применительно к Х_i. Ориентация на этот показатель при данном подходе учета внешних событий, не зависящих от проекта и влияющих на экономический результат, приведет к следующей функции, задающей семейство линий уровня:

(9.33)

Ориентация на данный показатель требует дополнительной информации, позволяющей определить или оценить соответствующий самый большой (по модулю) «вклад» в указанные потери. Итак, задача нахождения наилучшего решения формализуется как следующая задача оптимизации. Пусть i – вариант возможного решения (i=1,2…m); j – вариант возможной ситуации (j=1,2…n); q_i – вероятность ситуации ; а_ij – экономический эффект по проекту, если будет принято решение i, и ситуация сложится j-ая; причем все а_ij <0.

Определяется целевая функция критерия:

(9.34)