Оценка степени влияния факторов и получение регрессионных

уравнений на основе эксперимента с факторным планированием

Эксперименты с факторным планированием были подробно рассмотрены в курсе «Методы и средства исследования технологических процессов» [1]. Поэтому мы не будем здесь останавливаться на теоретических вопросах. Отметим лишь то, что методы факторного анализа позволяют, во-первых, оценить степень влияния используемых факторов и их взаимодействий и, во-вторых, получить приближенную модель процесса – регрессионное уравнение. В данной работе рассмотрим лишь пример применения факторного анализа.

Методика расчета

Рассмотрим факторный эксперимент типа «2³». Это означает, что мы имеем дело с тремя факторами (A, B, C) на двух уровнях: нижнем (0) и верхнем (1). Предлагаемые обозначения очень удобны для дальнейших расчетов.

Оценить влияние разводки в передней зоне вытяжного прибора (мм), вытяжки в передней зоне вытяжного прибора и нагрузки на переднюю вытяжную пару (кг) на «неровноту» ленты.

Таблица 3.

Нагрузка на переднюю вытяжную пару (кг)	Разводка в передней зоне вытяжного прибора, мм
32 (A0)	34 (A1)
Вытяжка в передней зоне вытяжного прибора	Вытяжка в передней зоне вытяжного прибора
12,6 (B0)	20,8 (B1)	12,6 (B0)	20,8 (B1)
	(1) 12,0 11,8 12,3	b 13,2 12,7 13,4	a 12,7 13,0 13,2	ab 13,9 13,7 14,4
	c 11,2 10,8 11,5	bc 11,7 11,9 12,1	ac 11,8 12,1 12,3	abc 12,2 12,6 12,8

Опишем алгоритм и результаты вычислений для приведенного в таблице варианта.

1. Вычисляем сумму значений в каждой ячейке:(1), a, b, ab, c, ac, bc, abc.

(1) = 36,1; a = 38,9; b = 39,3; ab = 42,0; c = 33,5; ac = 36,2; bc = 35,7; abc = 37,6 .

2. Вычисляем сумму значений всех ячеек:

S = (1) + a + b + ab + c + ac + bc + abc = 299,3 .

3. Вычисляем суммуквадратов всех значений в каждой ячейке:

Sk = 12,0² + 11,8² + 12,3² + 13,2² + … + 12,8² = 3750,03 .

4. Проводим оценку влияния всех факторов и их взаимодействий:

8A = - (1) + a – b + ab – c + ac – bc + abc= 10,1;

8B = - (1) - a + b + ab – c- ac + bc + abc = 9,9 ;

8AB = + (1) - a – b + ab + c - ac – bc + abc = - 0,9 ;

8C = - (1) - a – b - ab + c + ac + bc + abc = -13,3 ;

8AC = + (1) - a + b - ab – c + ac – bc + abc = -0,9 ;

8BC = + (1) + a – b - ab – c - ac + bc + abc = - 2,7 ;

8ABC = - (1) + a + b - ab + c - ac – bc + abc = - 0,7 .

5. Вычисляем «контрасты» для всех факторов:

6. Вычисляем контраст для ошибки:

= 1,413

7. Вычисляем величину ошибки:

где f = (r-1) 2³ – число степеней свободы.

8. Вычисляем расчетное значение критерия Фишера:

;

;

.

Табличное значение критерия Фишера для данного случая F^T_1,16= 4,49.

Если расчетное значение критерия больше табличного значит, данный фактор или взаимодействие факторов оказывает существенное влияние на выбранный критерий эффективности процесса. Если расчетное значение критерия меньше табличного значит, данный фактор или взаимодействие факторов не оказывает влияния на выбранный критерий.

В нашем случае существенное влияние оказывают все 3 фактора (А, В, С), а все взаимодействия существенного влияния не оказывают.

9. Определение коэффициентов линейной регрессионной модели, адекватно описывающей результаты эксперимента.

Зависимость имеет следующий вид:

Y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + a₁₂x₁x₂ + a₃x₃ + a₁₃x₁x₃ + a₂₃x₂x₃ + a₁₂₃x₁x₂x₃ .

Коэффициенты данной зависимости вычисляют следующим образом:

10. Проверка адекватности полученного регрессионного уравнения

В полученном уравнении переменные являются кодированными, т.е. изменяются в пределах от – 1 до + 1 при изменении исходных факторов в пределах, указанных в таблице. Кодированные значения факторов вычисляют следующим образом [1, 10]:

Для фактора А: x₁ = (X₁ – 33)/1; для фактора B: x₂ = (X₂ – 16,7)/4,1; для фактора C: x₃ = (X₃ – 9)/1;

Проверку правильности полученного уравнения осуществляют, подставляя кодированные значения переменных и сравнивая результаты расчетов со средними значениями для каждой ячейки таблицы. Результаты представляют в виде табл. 4:

Таблица 4. Проверка адекватности регрессионного уравнения

Ячейка	Значения переменных	Yэксп	Yрасч
(1)	-1, -1, -1	12,03	12,03
a	1, -1, -1	12,97	12,97
b	-1, 1, -1	13,1	13,1
ab	1, 1, -1	14,0	14,0
c	-1, -1, 1	11,17	11,17
ac	1, -1, 1	12,07	12,07
bc	-1, 1, 1	11,9	11,9
abc	1, 1, 1	12,53	12,53

11. Получение регрессионного уравнения в раскодированных значениях переменных.

В данном случае, с учетом кодировки, приведенной выше, регрессионное уравнение будет выглядеть следующим образом:

Y = a₀ + a₁ (x₁ – 33) + a₂ (x₂ – 16,7)/4,1 + a₁₂(x₁ – 33) (x₂ – 16,7)/4,1 + a₃ (x₃ – 9) + +a₁₃(x₁ – 33) (x₃ – 9) + a₂₃(x₂ – 16,7)/4,1 (x₃ – 9) + a₁₂₃(x₁ – 33)(x₂ – 16,7)/4,1 (x₃ – 9)

Раскрыв скобки, мы получим регрессионное уравнение в натуральных значениях переменных. Его также можно проверить на адекватность.