Квантование энергии в низкоразмерных структурах

При описании свойств классических объектов обычно рассматривается квазибесконечный образец, для которого, в силу строгой периодичности кристаллической структуры, удается получить выражения, правильно описывающие его свойства. Однако, учет наличия границы образца приводит к появлению дополнительных эффектов. Например, наличие локализованных поверхностных состояний в кристаллическом образце достаточно сильно влияет на его физические свойства. В то же время, большинство свойств объекта оказывается размерно-нечувствительными, что позволяет говорить об удельных параметрах, характеризующих не конкретный образец, а материал, из которого он изготовлен.

Все это справедливо, когда все геометрические размеры образца являются макроскопическими. Если уменьшать хотя бы один из его размеров, то после достижения определенного предела могут начать проявляться размерные эффекты. Так, при сильном уменьшении толщины пленочного образца L на регистрируемых значениях его электрофизических параметров может сказаться рассеяние носителей заряда на поверхности. При дальнейшем уменьшении L могут проявиться и другие размерные эффекты, связанные, например, с приближением значения L к такому параметру как длина свободного пробега носителей заряда. Однако все эти эффекты могут быть отнесены к классическим размерным эффектам, так как энергетический спектр носителей заряда при этом остается неизменным.

Ситуация принципиально меняется, если размер образца становится сравнимым с длиной волны де Бройля λ_DB носителей заряда, которая определяется выражением:

где p – импульс носителя заряда (электрона).

При выполнении условия L < λ_DB происходит существенная трансформация энергетического спектра, что приводит к возникновению принципиально новых, квантово-размерных эффектов. Структуры, в которых наблюдаются эти эффекты, называют квантово-размерными или структурами с пониженной размерностью. При этом в каждом конкретном случае расчет энергетического спектра электронов основан на решении уравнения Шредингера, в котором заданы форма и параметры ограничивающего движение электронов потенциала. Следует отметить, что для электрона в полупроводнике с эффективной массой от 0,1m₀ до m₀ длина волны де Бройля составляет единицы- десятки нанометров.

Электрон в потенциальной яме. Наиболее известной и самой простой с точки зрения решения является задача об электроне, находящемся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Решение уравнения Шредингера для электрона, движущегося в яме вдоль направления z, приводит к дискретизации энергии электрона E_n, каждому значению которой соответствует своя волновая функция Ψ_n (рис. 1.11а):

Практически поведение электрона в потенциальной яме аналогично его поведению в тонкой металлической (или полупроводниковой) пленке. То обстоятельство, что носители заряда сосредоточены в пленке и не выходят из нее в окружающую среду, означает, что пленка представляет собой потенциальную яму для электронов с глубиной, равной работе выхода, и шириной, равной толщине пленки. Типичные значения работы выхода в большинстве твердых тел имеют величину несколько электрон-вольт, т. е. на несколько порядков превышают характерную тепловую энергию носителей, равную при комнатной температуре примерно 0,026 эВ. Поэтому потенциальную яму в данном случае можно считать бесконечно глубокой. Такие системы часто называют структурами с двумерным электронным газом.

Рис. 1.11. Электрон в потенциальной яме: а) вид волновых функций для одномерной ямы;

б) зависимость энергии электрона от его импульса

Если учесть, что электрон может свободно двигаться параллельно поверхности пленки в плоскости (x, y), то составляющая энергии электрона, движущегося в этой плоскости, будет пропорциональна квадрату его импульса (рис.1.11б), а полная энергия будет описываться выражением:

где p_x и p_y – компоненты импульса электрона в плоскости (x, y).

Если движение носителей ограничено не в одном, а в двух направлениях, то в этом случае носители могут свободно двигаться лишь в одном направлении – вдоль нити (вдоль оси x). В поперечном сечении, т. е. в плоскости (y, z) энергия квантуется и принимает дискретные значения E_mn, определяемые двумя квантовыми числами m и n. Полный энергетический спектр электронов при этом также является дискретно-непрерывным, но лишь с одной непрерывной степенью свободы:

Данные системы называются одномерными электронными структурами или квантовыми нитями. Спектр квантовых нитей также представляет собой совокупность подзон пространственного квантования, но уже не двумерных, как в тонкой пленке, а одномерных.

Наконец, существуют технологические возможности создать квантовые структуры, напоминающие искусственные атомы, где движение ограничено во всех трех направлениях. Здесь энергетический спектр уже не содержит непрерывной компоненты, т. е. не состоит из подзон, а является чисто дискретными. Как и в атоме, он описывается тремя дискретными квантовыми числами (не считая спина) и может быть записан в виде E = E_lmn, причем, как и в атоме, энергетические уровни могут быть вырождены. Подобные системы носят название нульмерных электронных структур или квантовых точек.

Зависимости энергии электрона от его волнового вектора (законы дисперсии) для различных квантово-размерных структур приведены на рис. 1.12.

а) б)

в) г)

Рис. 1.12. Зависимости энергии электрона от волнового вектора для объемного материала (а), квантовой пленки (б), квантового шнура (в) и квантовой точки (г)

Электроны в периодическом поле кристалла. Наноструктуры, в которых проявляются рассмотренные выше квантово-размерные эффекты, в действительности являются твердотельными объектами, обычно имеющими кристаллическую решетку. Поэтому необходимо рассматривать движение электронов в периодическом поле кристалла, а не в вакууме. Для электрона в вакууме его энергия зависит от волнового вектора (импульса) согласно параболическому закону. В периодическом поле кристалла, как показывает зонная теория, на краях зон Бриллюэна происходит разрыв зависимости E(k) (рис.1.13а). В пределах каждой зоны Бриллюэна имеются множество разрешенных энергетических состояний для электронов, на границах же зон возникают области запрещенных значений энергии. Таким образом, для электронов, движущихся в кристалле, имеются разрешенные и запрещенные эоны энергий (рис 1.13б), что во многом определяет электропроводящие свойства кристаллов.

Все зоны Бриллюэна имеют электронные состояния, физически эквивалентные состояниям первой зоны Бриллюэна, что дает возможность представить весь спектр энергетических состояний кристалла в пределах одной, т. н. приведенной зоны Бриллюэна (рис. 1.13в).

а) б) в)

Рис. 1.13. Закон дисперсии E(k) для электронов в периодическом поле кристалла (а), зоны разрешенных и запрещенных энергий (б), закон дисперсии для приведенной зоны Бриллюэна (в)

В приведенной зоне Бриллюэна для анализа электрических и оптических свойств кристалла используются в основном только две верхние разрешенные зоны, а именно, валентная зона и зона проводимости, поскольку свободные носители заряда размещаются именно в этих зонах. На рис. 1.14а вверху изображена зависимость E(k) для электронов в зоне проводимости, внизу – зависимость E(k) для дырок в валентной зоне. Минимум зависимости E(k) для электронов, также как и максимум E(k) для дырок находится при k = 0 (это справедливо для т. н. «прямозонных» полупроводников). Вблизи дна зоны проводимости закон дисперсии E(k) может быть близок к квадратичному, однако в большинстве случаев дисперсионные зависимости имеют гораздо более сложный характер.

а) б)

Рис. 1.14. Дисперсионные зависимости E(k) для электронов и дырок в «прямозонном» полупроводнике: а) объемный полупроводник: б) двумерная тонкая пленка

Дисперсионные зависимости, приведенные на рис. 1.14а, справедливы для объемного полупроводника, в котором носители движутся без каких либо пространственных ограничений. При наличии таких ограничений, например, в тонкой пленке, характер дисперсионных зависимостей меняется из-за возникающих при этом квантово-размерных эффектов. Это проявляется в квантовании энергетических состояний при движении носителей в направлении, перпендикулярном поверхности пленки (рис. 1.14б). Ширина запрещенной зоны при этом увеличивается.

Туннельный эффект. Другим известным кваново-механическим эффектом является туннельный эффект, суть которого заключается в преодолении микрочастицей потенциального барьера в случае, когда ее энергия меньше высоты потенциального барьера. Энергия электрона при таком просачивании (туннелировании) через барьер остается неизменной. Туннельный эффект – явление исключительно квантовой природы, невозможное в классической механике и даже полностью противоречащее ей. Если частица с энергией Е налетает на потенциальный барьер высотой V₀ (рис 1.15а), то решение уравнения Шредингера для данной задачи показывает, что волновая функция ψ(x) отлична от нуля в области х > 0 (рис. 1.15б). Поскольку квадрат волновой функции ψ²(x) определяет плотность вероятности нахождения микрочастицы в области пространства с координатой х, то это означает, что частица может проникать на некоторое расстояние от границы барьера. Если толщина барьера конечна (рис. 1.15в), то частица может туннелировать через такой барьер. Вероятность туненелирования тем больше, чем меньше масса частицы и толщина потенциального барьера, а также чем меньше разность между энергией частицы E и высотой потенциального барьера V₀.

а) б) в)

Рис. 1.15. Схема туннельного эффекта (а), волновая функция микрочастицы для бесконечно широкого барьера (б) и для барьера конечной толщины (в)

Туннельный эффект проявляется в целом ряде физических явлений: альфа-распад ядер, туннельная ионизация атомов под воздействием внешнего электрического поля, процессы туннелирования электронов в туннельном диоде или на контакте металла с полупроводником, например, алюминия с кремнием n⁺-типа. Туннельный эффект положен в основу работы сканирующего туннельного микроскопа.

Резонансное туннелирование. Интересным с практической точки зрения является туннелирование электронов в область, в которой энергия электронов имеет дискретный характер, т. е. является квантово-размерной. В этом случае наблюдается т. н. «резонансное туннелирование». Чтобы объяснить его физическую сущность, рассмотрим двойной туннельный барьер, в котором промежуточный слой между двумя туннельными переходами является квантовой плоскостью. На (рис. 1.16а) показана энергетические диаграммы такой структуры. В крайних областях энергия электрона имеет непрерывный характер, через E_F обозначен уровень Ферми. В средней зоне энергия электронов дискретна, через E₀ обозначен один из таких дискретных энергетических уровней.

а) б) в)

Рис. 1.16. Двойной туннельный барьер при отсутствии напряжения (а) и при наличии напряжения (б), вольтамперная характеристика резонансно-туннельного диода (в)

При отсутствии напряжения ток через структуру равен нулю. Если приложить напряжение, то энергетическая диаграмма такой структуры изменится, как это показано на рис. 1.16б. Потенциальный барьер для электронов снижается, и они в принципе могут туннелировать из слоя слева (эмиттер) в слой справа (коллектор). Но если при этом уровень E₀ находится заметно выше уровня Ферми, то туннельный ток мал. Это обусловлено тем, что энергия электронов, которые способны туннелировать через барьер примерно равна E_F. Если напротив уровня Ферми E_F нет разрешенных энергетических уровней, то туннелирование практически не происходит и туннельный ток мал (начальная ветвь на рис. 1.16в).

При дальнейшем увеличении напряжения, дискретные энергетические уровни смещаются вниз и при некотором напряжении выполняется условие E₀ ≈ E_F, уровень Ферми попадает в резонанс с уровнями из зоны размерного квантования. Теперь электроны могут резонансным образом туннелировать в эту зону, затем выйти из нее, протуннелировав через второй барьер. Это приводит к резкому возрастанию туннельного тока через структуру. Данное явление и называется резонансным туннелированием. При дальнейшем повышении напряжения, туннельный ток резко падает, создавая, таким образом, область с отрицательным дифференциальным сопротивлением (рис. 1.16в). Если повышать напряжение дальше, то при совпадении уровня Ферми со следующим уровнем размерного квантования, эффект будет повторяться. Таким образом, можно наблюдать осцилляции туннельного тока. Расстояние между максимумами будет пропорционально расстоянию между уровнями в яме.