Метод Гаусса - Зайделя

В связи с тем, что на рассматриваемый нами объект действуют случайные помехи (процесс стохастический), будем дублировать в каждой запланированной точке эксперимент.

В начальной точке (2; -2; 1; 3; 1) проведем двадцать экспериментов и найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение единичного результата.

У1	У2	У3	У4	У5	Уср
21,614	21,071	17,271	21,886	17,814	19,6464
У6	У7	У8	У9	У10
19,986	20,529	18,629	19,443	17,000
У11	У12	У13	У14	У15
20,800	17,000	20,257	18,900	17,000
У16	У17	У18	У19	У20
20,257	22,157	18,357	20,800	22,157

;

,

где ² – дисперсия;

– среднее квадратическое отклонение;

n– число экспериментов.

σ² =3,217

σ=1,794

Зададимся числом дублей при одних и тех же параметрах x_i. Пусть число повторений в процессе проведения эксперимента равно пяти. Тогда найдем среднее квадратическое отклонение для числа экспериментов m=5.

1,794/5=0,359

Отсюда получим

Следовательно, изменение выходной величины у_iср должно быть

больше при различных значениях параметров х_i, т.е.

> ,

где Y_i –среднее значение критерия оптимальности i-ого цикла;

Y_i+1 –среднее значение критерия оптимальности (i+1) цикла.

Учитываем что, х_i может изменяться в пределах [-5;5]

Из начальной точки с координатами (2; -2; 1; 3; 1) с У_ср=19,6464 ищем минимум критерия поочередно по всем переменным. Используем прием последовательного сканирования, т.е. “шагаем” до первого лучшего значения критерия, применяя алгоритм х₁ⁱ⁺¹=хⁱ₁ h, где h – шаг. Знак «+» или «-» выбирается в зависимости от направления изменения критерия: нужно взять такой знак, при котором критерий уменьшается.

Необходимо выбрать шаг: класс точности промышленного прибора равного 0,5%, при изменении x в интервале [-5:5] получаем:

h_min= (10∙0,5)/100 = 0,05,

где h_min –минимальный шаг изменения x, который мы можем контролировать.

Соответственно шаг h должен быть больше h_min=0,05. Возьмем в первом цикле нашего поиска h=1. Условием окончания поиска будет являться малость изменения критерия оптимальности за один цикл:

>1,077,

где Y_i –среднее значение критерия оптимальности i-ого цикла;

Y_i+1 –среднее значение критерия оптимальности (i+1) цикла.

Так же условием окончания может быть невозможность улучшения критерия оптимальности ни по одной из переменных.

Таблица 1 – Цикл первый, h=1

X1	X2	X3	X4	X5	У1	У2	У3	У4	У5	Уср
	-2									19,6460
					23,629	26,614	24,986	22,000	22,543	23,9544
					17,800	16,986	18,343	15,900	18,343	17,4744	Улучшение
					14,900	15,986	14,629	13,543	13,271	14,4658
-1					19,157	16,714	18,343	19,157	16,171	17,9084	Ухудшение
	-3				16,171	17,529	15,900	16,714	14,543	16,1714
	-1				12,543	12,814	13,900	14,443	16,886	14,1172	Улучшение
					12,900	12,900	11,000	15,343	14,529	13,3344
					13,800	12,714	10,000	12,443	15,157	12,8228
					14,157	11,714	11,171	9,543	13,614	12,0398
					10,443	10,986	10,714	12,614	10,443	11,0400
					9,714	11,886	12,157	7,271	9,986	10,2028
					6,000	7,900	6,543	9,257	7,629	7,4658	Предел Х2
					-11,743	-9,843	-9,843	-13,914	-10,657	-11,2000	Улучшение
					33,071	33,071	33,343	29,271	33,343	32,4198
		-1			-33,729	-34,000	-28,843	-29,929	-31,286	-31,5574
		-2			-51,000	-49,914	-48,014	-46,657	-48,557	-48,8284	Улучшение
		-3			-61,657	-63,557	-61,114	-65,729	-65,729	-63,5572
		-4			-74,657	-78,729	-74,386	-74,386	-74,929	-75,4174
		-5			-85,929	-88,371	-87,557	-87,829	-88,914	-87,7200	Предел Х3
		-5			-91,743	-90,657	-91,743	-93,643	-92,014	-91,9600	Улучшение
					-78,929	-81,914	-81,100	-78,657	-78,114	-79,7428
					-95,557	-94,200	-94,200	-97,186	-95,829	-95,3944	Улучшение
					-96,557	-98,457	-94,657	-93,843	-94,929	-95,6886	Улучшение
			-1		-93,386	-98,000	-92,843	-92,843	-97,729	-94,9602	Ухудшение
			-2		-89,843	-92,286	-93,100	-92,286	-92,829	-92,0688	Ухудшение
		-5			-98,371	-99,729	-97,286	-99,729	-94,843	-97,9916	Улучшение
					-91,929	-96,000	-91,929	-95,729	-91,929	-93,5032	Ухудшение
				-1	-95,743	-94,657	-94,929	-94,929	-94,929	-95,0374	Ухудшение
				-2	-92,200	-93,286	-94,914	-94,643	-95,729	-94,1544	Ухудшение

На данном этапе цикл 1 при шаге h=1 заканчивается. Лучшая точка имеет координаты (0;5;-5;0;0), значение критерия у_ср= -97,9916. Следующий цикл заключается опять в поиске минимума функции по переменной x₁, затем по x₂ и далее по x₃, x₄ и x_5.

На следующем этапе уменьшаем шаг h до 0,5

Таблица 2 – Цикл второй, h=0,5

X1	X2	X3	X4	X5	У1	У2	У3	У4	У5	Уср
		-5			-98,371	-99,729	-97,286	-99,729	-94,843	-97,9916
-0,5					-96,493	-95,679	-96,221	-95,407	-97,85	-96,3300
0,5					-98,664	-95,136	-99,207	-94,864	-98,664	-97,3070
	4,5				-69,114	-71,557	-69,114	-70,2	-73,186	-70,6342
		-4,5			-90,407	-94,479	-90,136	-93,121	-89,864	-91,6014
		-5	-0,5		-96,493	-94,593	-98,121	-98,664	-98,936	-97,3614
			0,5		-94,593	-95,136	-96,221	-98,121	-97,036	-96,2214
		-5		-0,5	-95,95	-96,764	-97,579	-98,121	-98,664	-97,4156
				0,5	-95,407	-95,136	-95,95	-96,221	-97,307	-96,0042

Т.к. улучшений не наблюдается, для уточнения найденного критерия оптимальности уменьшим шаг h до 0,1.

Таблица 3 – Цикл третий, h=0,1

X1	X2	X3	X4	X5	У1	У2	У3	У4	У5	Уср
		-5			-98,371	-99,729	-97,286	-99,729	-94,843	-97,9916
0,1					-96,733	-99,719	-95,376	-97,547	-94,833	-96,8416
-0,1					-98,090	-96,190	-99,719	-94,833	-97,819	-97,3302
	4,9				-93,203	-92,660	-93,746	-93,746	-89,946	-92,6602
		-4,9			-97,633	-98,176	-98,719	-98,990	-96,276	-97,9588
		-5	0,1		-99,990	-96,733	-97,547	-99,447	-98,633	-98,4700	Улучшение
			-0,1		-99,719	-96,190	-96,733	-99,176	-99,176	-98,1988
			0,2		-99,689	-99,417	-96,160	-99,417	-98,874	-98,7114	Улучшение
			0,3		-99,910	-99,096	-99,096	-99,639	-95,839	-98,7160	Улучшение
			0,4		-99,026	-99,840	-97,397	-97,126	-95,497	-97,7772	Ухудшение
		-5	0,3	0,1	-98,271	-97,457	-95,829	-95,557	-99,357	-97,2942
				-0,1	-94,743	-94,743	-98,543	-96,643	-99,086	-96,7516

На данном этапе цикл 3 при шаге h=0,1 заканчивается. Лучшая точка имеет координаты (0;5;-5;0,3;0), значение критерия у_ср= - 98,7160.

=|-97,9916-(-98,7160)|=0,7244 < 1,077

Так как улучшений не наблюдается ни по одной из переменных, то на этом этапе можно считать, что поиск завершен.

Таким образом, получили точку (0;5;-5;0,3;0), которая является решением поставленной задачи, с критерием оптимальности у_ср= - 98,716.

Чтобы определить, является ли найденный экстремум глобальным или локальным, возьмем новую начальную точку (-2; 2;-1;-3;-1) и проведем заново весь поиск.

У1	У2	У3	У4	У5	Уср
11,714	9,814	9,814	13,343	9,543
У6	У7	У8	У9	У10
13,071	12,529	10,629	12,800	10,357
У11	У12	У13	У14	У15	9,4800
12,257	13,886	12,529	12,800	13,071
У16	У17	У18	У19	У20
11,171	10,900	13,071	13,886	9,814

σ²=1,893

σ=1,376

Среднее квадратическое отклонение для числа экспериментов m=5:

1,376/5=0,275

Из новой начальной точки (-2;2;-1;-3;-1) с у_cр=9,4800 ищем минимум критерия оптимальности по переменной х₁, х_2, х_3, х₄ и потом х_5.

Таблица 4 – Цикл первый, h=1

X1	X2	X3	X4	X5	У1	У2	У3	У4	У5	Уср
-2		-1	-3	-1						9,4800
-3					18,886	14,271	15,900	15,629	16,714	16,2800
-1					6,000	10,614	9,529	9,800	7,086	8,6058	Улучшение
					8,257	7,714	7,443	5,814	5,271	6,8999
					6,814	7,629	6,814	10,071	6,000	7,4656	Ухудшение
					13,529	10,543	14,071	14,614	13,257	13,2028
					-1,014	0,343	-1,829	-1,014	0,343	-0,6342	Улучшение
					-16,457	-12,386	-14,557	-14,829	-15,100	-14,6658
					-34,000	-29,929	-33,186	-33,729	-29,114	-31,9916	Предел Х2
		-2			-47,471	-48,014	-50,729	-49,914	-50,729	-49,3714	Улучшение
					-10,386	-12,829	-15,000	-12,014	-9,843	-12,0144
		-3			-65,729	-64,371	-61,114	-63,286	-62,471	-63,3942	Улучшение
		-4			-76,014	-76,829	-79,000	-77,100	-73,843	-76,5572	Улучшение
		-5			-87,557	-87,286	-85,114	-88,371	-88,371	-87,3398	Предел Х3
		-5	-4		-81,371	-77,843	-80,829	-82,186	-82,729	-80,9916
			-2		-92,286	-92,829	-93,100	-93,914	-92,829	-92,9916	Улучшение
			-1		-95,286	-98,000	-94,471	-92,843	-96,100	-95,3400
					-97,371	-96,286	-94,657	-97,643	-95,743	-96,3400
					-93,386	-94,471	-93,114	-96,100	-93,929	-94,2000	Ухудшение
		-5		-2	-91,929	-95,729	-93,557	-93,286	-93,557	-93,6116
					-98,914	-97,557	-96,743	-94,843	-95,929	-96,7972	Улучшение
					-95,200	-95,471	-96,557	-97,100	-94,114	-95,6884	Ухудшение

На данном этапе цикл 1 при шаге h=1 заканчивается. Лучшая точка имеет координаты (0;5;-5;0;0), значение критерия у_ср= -96,7972

Таблица 5 – Цикл второй, h=0,5

X1	X2	X3	X4	X5	У1	У2	У3	У4	У5	Уср
		-5								-96,7972
-0,5					-94,864	-98,936	-97,036	-94,593	-95,950	-96,2758
0,5					-99,479	-97,036	-97,579	-95,679	-98,121	-97,5788	Улучшение
					-94,929	-94,386	-96,286	-94,657	-96,014	-95,2544	Ухудшение
0,5	4,5				-73,750	-72,393	-71,850	-69,136	-73,207	-72,0672	Ухудшение
0,5		-4,5			-89,886	-92,871	-93,686	-90,492	-89,886	-91,3642	Ухудшение
0,5		-5	-0,5		-95,429	-98,957	-98,143	-97,871	-95,700	-97,2200	Ухудшение
			0,5		-96,514	-99,229	-96,514	-98,143	-98,957	-97,8714	Улучшение
					-95,674	-93,864	-97,936	-94,679	-98,750	-96,1986	Ухудшение
0,5		-5	0,5	-0,5	-98,707	-94,636	-98,164	-95,721	-99,250	-97,2956
				0,5	-94,364	-94,093	-95,993	-98,436	-94,093	-95,3958

На данном этапе цикл 2 при шаге h=0,5 заканчивается. Лучшая точка имеет координаты (0,5;5;-5;0,5;0), значение критерия у_ср= -97,8714

=|-96,7972-(-97,8714)|=1,0742 > 0,825

Проверим на следующем этапе с меньшим шагом не является ли полученная точка искомым экстремумом. Уменьшим шаг h до 0,1.

Таблица 6 – Цикл третий, h=0,1

X1	X2	X3	X4	X5	У1	У2	У3	У4	У5	Уср
0,5		-5	0,5							-97,8714
0,4					-94,976	-97,419	-98,233	-97,690	-95,519	-96,7674
0,6					-96,947	-98,847	-96,404	-96,947	-97,219	-97,2728
0,5	4,9				-93,246	-92,160	-89,174	-89,989	-88,903	-90,6944
0,5		-4,9			-93,604	-97,676	-98,490	-94,961	-97,947	-96,5356
0,5		-5	0,4		-97,147	-98,776	-97,147	-98,233	-96,876	-97,6358
			0,6		-96,133	-97,490	-98,033	-98,576	-99,119	-97,8702
0,5		-5	0,5	-0,1	-97,319	-94,604	-98,133	-97,861	96,233	-58,3368
				0,1	-95,690	-98,676	-95,961	-97,861	-98,404	-97,3184

Т.к. улучшений не наблюдается, для уточнения найденного критерия оптимальности уменьшим шаг h до h_min=0,05

Таблица 7 – Цикл четвертый, h=0,05

X1	X2	X3	X4	X5	У1	У2	У3	У4	У5	Уср
0,5		-5	0,5							-97,8714
0,45					-98,733	-94,390	-95,748	-96,019	-95,748	-96,1276
0,55					-95,919	-96,733	-96,190	-97,547	-97,547	-96,7872
0,5	4,95				-92,151	-95,679	-92,965	-94,322	-91,879	-93,3992
0,5		-4,95			-94,926	-97,369	-96,012	-97,640	-97,912	-96,7718
0,5		-5	0,45		-99,005	-94,933	-99,276	-97,647	-97,105	-97,5932
			0,55		-98,090	-98,905	-97,005	-98,090	-96,733	-97,7646
0,5		-5	0,5	-0,05	-98,412	-98,683	-96,783	-98,412	-94,340	-97,3260
				0,05	-95,155	-97,326	-99,498	-95,426	-97,055	-96,8920

Так как улучшений не наблюдается ни по одной из переменных, то на этом этапе можно считать, что поиск завершен.

Таким образом, получили точку (0,5;5;-5;0,5;0), которая является решением поставленной задачи, с критерием оптимальности у_ср= -97,8714.

После проведения поисков методом Гаусса-Зайделя из двух различных начальных точек получили, что исследуемая функция является многоэкстремальной, имеет несколько минимумов. По методу Гаусса-Зайделя, первый минимум находится в точке (0;5;-5;0,3;0) со значением критерия у_ср= - 98,716, второй – в точке (0,5;5;-5;0,5;0) с у_ср= -97,8714. Следовательно, можно сделать вывод о том, что найденный минимум локальный.

.