Метод Гаусса. 1 страница

Пусть дана система №9. Идея метода состоит в следующем: пусть коэффициент при в первом уравнении системы №1 .

1) Исключим неизвестное из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого прежде всего разделим обе части уравнения сист-мы№1 на коэффициент . Получим новую систему, равносильную данной.

2) Умножим первое уравнение на и вычтем его из второго уравнения системы; затем умножим первое уравнение на и вычтем его из третьего уравнения и т. д. В результате этого шага приходим к системе вида №2:

, где ---(10)

3) Исключим из всех уравнений системы №2, кроме первого и второго. Для этого разделим обе части второго уравнения системы №2 на ; затем умножим второе уравнение последовательно на и вычтем поочередно из соответствующих уравнений, кроме 1-го и 2-го.

4) Продолжая этот процесс далее, мы придем либо к системе вида:

--- (11) в случае ее совместности, либо к системе вида:

---(12)

5) система вида (11) называется ступенчатой, система вида (12) – треугольной. В случае системы (12) из последнего уравнения определяется , подставляется в предыдущее уравнение системы (12), определяем неизвестное и т. д. из 1-го уравнения найдем неизвестное.

В случае системы (11) имеем систему совместную, но не определенную, которая имеет множество решений. Выделяем базисный минор и базисные неизвестные, остальные неизвестные назовем свободные и приведем систему (11) к виду (12).

Все выше указанные описания на практике производят над матрицами, составленными из коэффициентов перед неизвестными и столбца свободных коэффициентов.

Пример 22: 1) Исследовать систему, и в случае ее совместности найти решение

Решение: ~ ~

~

- свободные переменные

последней матрице соответствует система

равносильная исходной

Вариант 1

А1. Вычислить определитель:

а) б) .

А2. Решить уравнение:

.

А3. Вычислить определитель, пользуясь правилом треугольника:

.

А4. Найти алгеброические дополнения элементов и определителя (см. задачу А3).

А5. Вычислить определитель, используя подходящее разложение по строке или столбцу: .

А6. Решить систему уравнений с помощью правила Крамера.

а)

б)

А7. Найти матрицу , полученную путем преобразований матриц и :

.

;

А8. Вычислить: .

А9. При каких значениях матрица не имеет обратную?

А10. Решить матричное уравнение:

А11. При каких значениях матрица имеет ранг, равный 1?

В1. Вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного, элемента какой-либо строки (столбца):

.

В2. Вычислить определитель приведением их методом Гаусса к треугольному виду.

а)

б)

В3. Умножить матрицы:

В4. При каких значениях матрицы перестановочны?

В5. Найти обратную матрицу:

В6. Найти ранг матрицы методом Гаусса:

В7. Решить методом Гаусса систему уравнений:

.

С1. Умножить матрицы:

.

С2. Решить матричным методом систему уравнений из задачи А6 (б).

Найдём определитель матрицы системы

detA= =-3≠0, значит, к системе применим матричный метод. Находим обратную матрицу :

=-

Запишем решение системы в матричной форме

=- × =- =

Следовательно, =2, =-5, =3.

С3. Решить методом Гаусса системы уравнений:

а)   Преобразуем расширенную матрицу системы:       (чтобы получить на диагонали элемент, отличный от нуля, приходится изменить порядок неизвестных)         Полученной матрице соответствует система     Система неопределенна (r = 3 < n = 5). Неизвестные , , – базисные, , - свободные. Последовательно находим: = -13 - 2; = -2 -9 +2= = -2(-13 -2) -9 +2=17 +6; = + 2 +4 - +1= =17 +6+2(-13 -2)+4 - +1= = -5 - +3 Полагая = u, = ѵ, получаем общее решение системы в виде = -u+5ѵ+3, =u, =17ѵ+6, =13ѵ-2, = ѵ   б) Преобразуем расширенную матрицу системы:           Здесь последовательно выполнили следующие преобразования: 1) Переставили первую и четвертую строки; первую строку, умноженную на 3,2,7, вычли поочередно из второй, третьей, четвертой строк, 2) Вторую строку разделили на 2; вторую строку, умноженную на 1, затем 5, вычли поочередно из третьей, затем четвертой строк. Последней матрице соответствует система     (Уравнение 0=0, соответствующее третьей строке матрицы, отброшено). Мы пришли к системе, содержащей противоречивое уравнение 0=9. Ранги основной матрицы системы и расширенной матрицы не равны. Система несовместима.

в) . Однородная система всегда имеет решение. Если определитель основной матрицы системы равен нулю, то система имеет множество решений. Если же определитель не равен нулю, то система имеет единственное нулевое решение. С помощью элементарных преобразований получим:

Будем считать базисными переменными , а свободными . Имеем систему

Отсюда получим решение:

Вариант 2

А1. Вычислить определитель:

а) б) .

А2. Решить уравнение:

.

А3. Вычислить определитель, пользуясь правилом треугольника:

.

А4. Найти алгеброические дополнения элементов и определителя (см. задачу А3).

А5. Вычислить определитель, используя подходящее разложение по строке или столбцу:

.

А6. Решить систему уравнений с помощью правила Крамера.

а)

б)

А7. Найти матрицу , полученную путем преобразований матриц и :

.

;

А8. Вычислить:

.

А9. При каких значениях матрица не имеет обратную?

А10. Решить матричное уравнение:

.

А11. При каких значениях матрица имеет ранг, равный 1?

В1. Вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного, элемента какой-либо строки (столбца):

.

В2. Вычислить определитель приведением их методом Гаусса к треугольному виду.

а)

б)

В3. Умножить матрицы:

.

В4. При каких значениях матрицы перестановочны?

В5. Найти обратную матрицу:

.

В6. Найти ранг матрицы методом Гаусса:

.

В7. Решить методом Гаусса систему уравнений:

.

С1. Умножить матрицы:

* .

С2. Решить матричным методом систему уравнений из задачи А6 (б).

С3. Решить методом Гаусса системы уравнений:

а) ,	б)
в) .

Вариант 3

А1. Вычислить определитель:

а) б) .

А2. Решить уравнение:

.

А3. Вычислить определитель, пользуясь правилом треугольника:

.

А4. Найти алгеброические дополнения элементов и определителя (см. задачу А3).

А5. Вычислить определитель, используя подходящее разложение по строке или столбцу:

.

А6. Решить систему уравнений с помощью правила Крамера.

а)

б)

А7. Найти матрицу , полученную путем преобразований матриц и :

.

;

А8. Вычислить:

.

А9. При каких значениях матрица не имеет обратную?

А10. Решить матричное уравнение:

.

А11. При каких значениях матрица имеет ранг, равный 1?

В1. Вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного, элемента какой-либо строки (столбца):

.

В2. Вычислить определитель приведением их методом Гаусса к треугольному виду.

а)

б)

В3. Умножить матрицы:

.

В4. При каких значениях матрицы перестановочны?

В5. Найти обратную матрицу:

.

В6. Найти ранг матрицы методом Гаусса:

.

В7. Решить методом Гаусса систему уравнений:

.

С1. Умножить матрицы:

.

С2. Решить матричным методом систему уравнений из задачи А6 (б).

С3. Решить методом Гаусса системы уравнений:

а) ,	б)
в) .

Вариант 4

А1. Вычислить определитель:

а) б) .

А2. Решить уравнение:

.

А3. Вычислить определитель, пользуясь правилом треугольника:

.

А4. Найти алгеброические дополнения элементов и определителя (см. задачу А3).

А5. Вычислить определитель, используя подходящее разложение по строке или столбцу:

.

А6. Решить систему уравнений с помощью правила Крамера.

а)

б)

А7. Найти матрицу , полученную путем преобразований матриц и :

.

;

А8. Вычислить:

.

А9. При каких значениях матрица не имеет обратную?

А10. Решить матричное уравнение:

.

А11. При каких значениях матрица имеет ранг, равный 1?

В1. Вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного, элемента какой-либо строки (столбца):

.

В2. Вычислить определитель приведением их методом Гаусса к треугольному виду.

а)

б)

В3. Умножить матрицы:

.

В4. При каких значениях матрицы перестановочны?