Метод Гаусса. 6 страница

.

;

А8. Вычислить:

.

А9. При каких значениях матрица не имеет обратную?

А10. Решить матричное уравнение:

.

А11. При каких значениях матрица имеет ранг, равный 1?

В1. Вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного, элемента какой-либо строки (столбца):

.

В2. Вычислить определитель приведением их методом Гаусса к треугольному виду.

а)

б)

В3. Умножить матрицы:

.

В4. При каких значениях матрицы перестановочны?

В5. Найти обратную матрицу:

.

В6. Найти ранг матрицы методом Гаусса:

.

В7. Решить методом Гаусса систему уравнений:

.

С1. Умножить матрицы:

.

С2. Решить матричным методом систему уравнений из задачи А6 (б).

С3. Решить методом Гаусса системы уравнений:

а) ,	б)
в) .

Решение типового варианта

А1. Вычислить определитель:

а) ; б) .

Определитель второго порядка вычисляется по формуле ( ). Поэтому:

а) ;

б) .

А2. Решить уравнение:

,

Отсюда следует: , .

А3. Вычислить определитель, пользуясь правилом треугольника:

.

По формуле () получим:

.

А4. Найти алгеброические дополнения элементов и определителя (см. задачу А3).

А5. Вычислить определитель, используя подходящее разложение по строке или столбцу:

Выберем четвертый столбец т.к. в нем содержится больше всего нулей и будем вычислять используя понятие алгебраическое дополнение.

А6. Решить систему уравнений с помощью правила Крамера.

а)

б)

а) Составим главный определитель системы из коэффициентов перед неизвестными

Составим вспомогательный определитель из главного путем замены первого столбца на столбец свободных членов

Составим вспомогательный определитель из главного путем замены второго столбца на столбец свободных членов

По формулам Крамера получим:

б) Составим главный определитель системы из коэффициентов перед неизвестными Данный определитель вычисляется любым известным нам способом.

Составим вспомогательный определитель из главного путем замены первого столбца на столбец свободных членов

Составим вспомогательный определитель из главного путем замены второго столбца на столбец свободных членов

Составим вспомогательный определитель из главного путем замены первого столбца на столбец свободных членов

По формулам Крамера получим:

А7. Найти матрицу , полученную путем преобразований матриц и :

.

;

А8. Вычислить:

Найдем , затем найдем

А9. При каких значениях матрица не имеет обратную?

Т.к матрица имеет себе обратную лишь только в том случае, когда ее определитель отличен от нуля, то ставится обратная задача: когда не будет обратной матрицы? Для этого надо вычислить определитель данной матрицы и приравнять его к нулю. Получим уравнение первой степени относительно λ , найдя λ его исключаем.

А10. Решить матричное уравнение:

Пусть

Получим уравнение . Чтобы найти Х надо обе части равенства умножить слева на обратную матрицу А: , т.к. , то

Найдем обратную матрицу : обратная матрица существует.

А11. При каких значениях матрица имеет ранг, равный 1?

Матрица имеет ранг, равный единице, если ее определитель второго порядка равен нулю, т.е. надо вычислить определитель , приравнять его к нулю и найти λ.

В1. Вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного,элемента какой-либо строки (столбца):

.

Рекомендуем выбрать какой –либо столбец, имеющий элемент -едиицу.

Для данного определителя выберем третий столбец для зануления.

К первой строке прибавим вторую; к третьей строке прибавим вторую, умноженную на три; к четвертой строке прибавим вторую, умноженную на 9.Т.о. получим определитель, где элементы, стоящие в третьем столбце, равны нулю, кроме одного.

Полученный определитель можно вычислять далее любым способом.

В2. Вычислить определитель приведением их методом Гаусса к треугольному виду.

а) Надо привести определитель к треугольному виду : все элементы расположенные ниже главной диагонали должны быть равны нулю. Для этого элемент должен быть .Т.к. такого нет, то поменяем местами первый и второй столбцы.

В3. Умножить матрицы:

А= В=

А×В=С=
=1×2+0×3+2×1=4

=1×7+0×2+2×(-3)=1

=1×1+0×(-4)+2×5=11

=0×2+(-1)×3+3×1=0

=0×7+(-1)×2+3×(-3)=-11

=0×1+(-1)×(-4)+3×5=19

=4×2+0×3+5×1=13

=4×7+0×2+5×(-3)=13

=4×1+0×(-4)+5×5=29

А×В= .

В4. При каких значениях матрицы перестановочны?

Матрицы перестановочны, если А×В= В×А

=

=

= 6+5 =3+ 4 = - 3 при = - матрицы А и В перестановочны.

В5. Найти обратную матрицу:

А=

Вычисляем определитель матрицы А:

detA= =-3≠0, значит, матрица А невырожденная. Находим алгебраические дополнения её элементов:

= =-1, = =-4, = =3,

= =-1, = =2, =- =0,

= =2, =- =-1, = =-3

Присоединенная матрица имеет вид

=

Следовательно,

=- ×

.

В6. Найти ранг матрицы методом Гаусса:

А=

Приводим матрицу А к ступенчатому виду:

Следовательно, ι (А) = 3.

В7. Решить методом Гаусса систему уравнений:

Составим расширенную матрицу системы и проведем необходимые элементарные преобразования строк:

Последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной:

Отсюда последовательно находим: . Система совместна и имеет единственное решение.

С1. Умножить матрицы:

С2. Решить матричным методом систему уравнений

Найдём определитель матрицы системы

detA= =-3≠0, значит, к системе применим матричный метод. Находим обратную матрицу :

=-

Запишем решение системы в матричной форме

=- × =- =

Следовательно, =2, =-5, =3.

С3. Решить методом Гаусса системы уравнений:

а)   Преобразуем расширенную матрицу системы:       (чтобы получить на диагонали элемент, отличный от нуля, приходится изменить порядок неизвестных)         Полученной матрице соответствует система     Система неопределенна (r = 3 < n = 5). Неизвестные , , – базисные, , - свободные. Последовательно находим: = -13 - 2; = -2 -9 +2= = -2(-13 -2) -9 +2=17 +6; = + 2 +4 - +1= =17 +6+2(-13 -2)+4 - +1= = -5 - +3 Полагая = u, = ѵ, получаем общее решение системы в виде = -u+5ѵ+3, =u, =17ѵ+6, =13ѵ-2, = ѵ   б) Преобразуем расширенную матрицу системы:             Здесь последовательно выполнили следующие преобразования: 3) Переставили первую и четвертую строки; первую строку, умноженную на 3,2,7, вычли поочередно из второй, третьей, четвертой строк, 4) Вторую строку разделили на 2; вторую строку, умноженную на 1, затем 5, вычли поочередно из третьей, затем четвертой строк. Последней матрице соответствует система     (Уравнение 0=0, соответствующее третьей строке матрицы, отброшено). Мы пришли к системе, содержащей противоречивое уравнение 0=9. Ранги основной матрицы системы и расширенной матрицы не равны. Система несовместима.

в) .   Однородная система всегда имеет решение. Если определитель основной матрицы системы равен нулю, то система имеет множество решений. Если же определитель не равен нулю, то система имеет единственное нулевое решение. С помощью элементарных преобразований получим:

Будем считать базисными переменными , а свободными . Имеем систему

Отсюда получим решение:

ЛИТЕРАТУРА

1.Шипачев, Виктор Семенович. Высшая математика : [учеб. для вузов] / В. С. Шипачев. - Изд. 8-е, стер. - М. : Высш. шк., 2007. - 479 с.