По переменным напряжениям

По заданным геометрическим параметрам вала (рис. 4.18), крутящему моменту, размеру зубчатых колес требуется выполнить расчет вала на статическую прочность и выносливость. Направление сил, действующих на вал, определяется расположением сопряженных зубчатых колес, показанных на рисунке тонкими линиями.

Дано: T = 200 Нм; d₁ = 50 мм; d₂ = 130 мм;

l₁ = 50 мм; l₂ = 40 мм; l = 150 мм.

Решение. I. Определяем силы, действующие в цилиндрической прямозубой передаче и конической прямозубой передаче (рис. 4.18, а).

В цилиндрической прямозубой передаче

Н;

Н.

В конической прямозубой передаче

Н;

Н;

Н.

II. Определяем ориентировочные диаметры выходных концов вала из условия прочности при кручении:

,

где t_max – максимальное касательное напряжение; T_max – максимальный крутящий момент; [t] – допускаемое касательное напряжение, принимается в пределах [t] = 12-40 МПа; W_p ≈ 0,2d ³ – полярный момент сопротивления.

Для проектного расчета принимаем

.

Рис. 4.18

Откуда

.

Приняв [t] = 25 МПа, вычисляем диаметр выходного конца вала:

м.

Принимаем значение диаметра вала из стандартного ряда d_вых = 34 мм.

III. Определяем диаметр вала в опасном сечении по третьей теории прочности, так как при работе вал испытывает сложную деформацию изгиба с кручением.

1. Составляем расчетную схему вала со всеми действующими на него силами (рис. 4.18, б).

2. Определяем изгибающие моменты в вертикальной М^верт и в горизонтальной М ^гор плоскостях:

а) составляем расчетную схему от сил, действующих в вертикальной плоскости. Подшипники заменяем шарнирными опорами: одна подвижная, другая неподвижная (рис. 4.18, в).

Вычисляем величину опорных реакций:

; ;

Н.

;

Н.

Для проверки правильности определения опорных реакций составляем уравнение

;

б) составляем уравнения изгибающего момента в вертикальной плоскости М^верт:

участок I, 0 £ z₁ £ l₁ = 0,05 м:

Нм;

участок II, 0 £ z₂ £ (l - l₁ - l₂) = 0,06 м:

;

Нм;

Нм;

участок III, 0 £ z₃ £ 0,04 м:

;

Нм.

Эпюры М ^верт приведены на рис. 4.18, г;

в) составляем схему нагрузок в горизонтальной плоскости (рис. 4.18, д) и вычисляем величину опорных реакций. Силы рисуем вертикально, так как на расчетах это не отражается.

;

Н.

; ;

Н.

Составляем уравнения изгибающего момента в горизонтальной плоскости М ^гор:

участок I, 0 £ z₁ £ l₁ = 0,05 м:

;

;

Нм;

участок II, 0 £ z₂ £ (l - l₁ - l₂) = 0,06 м:

;

Нм;

Нм.

участок III, 0 £ z₃ £ 0,04 м:

;

Нм.

Эпюра изгибающего момента в горизонтальной плоскости М^гор приведена на рис. 4.18, е;

г) результирующую эпюру изгибающих моментов строим как геометрическую сумму ординат от моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях:

.

Вычисляем значения ординат М_рез в граничных сечениях:

;

Нм;

Нм;

.

Эпюра результирующего изгибающего момента - это ломаная линия в пространстве.

Для удобства изображения радиусы-векторы этой ломаной разворачивают в одну плоскость. Если эпюры М^верт и М^гор на каком-либо участке имеют вид треугольников с совпадающими вершинами, то на этом участке эпюра М_рез будет очерчена прямой линией. На остальных участках будет кривая с выпуклостью в сторону нулевой линии (4.18, ж);

д)строим эпюру крутящего момента (рис. 4.18, з). Вал имеет один участок – CD, на котором Нм.

е) значение приведенного момента вычисляем в характерных точках по третьей теории прочности:

;

;

Нм;

Нм;

.

Эпюра М_прив приведена на рис. 4.18, и. по эпюре М_прив устанавливается опасное сечение вала. В данном случае опасным является сечение, проходящее через точку С, т. е. под расположенное под цилиндрическим зубчатым колесом;

ж) подбираем диаметр вала. Материал вала находится в плоском напряженном состоянии от совместного действия изгиба с кручением. Условие прочности записываем в следующем виде:

,

где М_прив = 274,97 Нм – приведенный момент в опасном сечении вала; - осевой момент сопротивления; d – диаметр вала.

Материал вала при вращении испытывает действие переменных напряжений. Вначале определяют ориентировочный диаметр вала по некоторому условному допускаемому напряжению

,

где s_в - предел прочности материала; к - коэффициент запаса прочности, принимаемый равным 8—12.

Данный вал изготавливают из стали 45, для которой МПа:

МПа.

Вычисляем величину момента сопротивления:

м³ = 3,44 мм³.

см = 32,5 мм.

Полученный диаметр округляем до ближайшего стандартного. Принимаем d = 34 мм.

IV. Проверку прочности вала при переменных напряжениях производим по тем же нагрузкам, по которым был выполнен расчет на статическую прочность (см. п. III). Для расчета используем готовые эпюры (рис. 4.18, г, е). В опасном сечении (сечение, проходящее через точку С) имеем:

M_рез = 188,7 МПа;

М_кр= 200 МПа;

d = 34 мм.

Концентраторами напряжений в опасном сечении являются галтель, шпонка и напряженная посадка зубчатого колеса.

1. Вычисляем величину номинального напряжения от результирующего изгибающего момента M_рез:

МПа.

Вычисляем величину номинального напряжения от крутящего момента М_кр = Т.

МПа

Нормальные напряжения от изгибающего момента при вращении вала меняются по симметричному циклу:

МПа;

МПа;

МПа;

Касательные напряжения в нереверсивных валах меняются по отнулевому циклу:

МПа;

;

МПа;

МПа;

2. Устанавливаем величину пределов выносливости и коэффициентов:

а) пределы выносливости находим из табл. 4.30 для стали с пределом прочности МПа:

МПа; МПа;

Таблица 4.30

Марка стали	Диаметр заготовки, мм	Твердость НВ	sв	sт	s-1	t -1	ys	yt
МПа
	Любой						0,1 0,1	0,05
40Х	Любой						0,1 0,1 0,1	0,05 0,05 0,05
40ХН	Любой						0,1 0,1	0,05 0,05

б) коэффициенты влияния асимметрии цикла также находим из табл. 4.30:

.

в) концентраторами напряжений в опасном сечении являются галтель, шпонка и напряженная посадка зубчатого колеса. Из табл. 4.31 для стали 45 с МПа находим:

для галтели – k_s = 2,28; k_t = 2,37;

для шпонки – k_s = 2,01; k_t =1,88;

для посадки – k_s = 2,09; k_t = 1,71.

Для дальнейшего расчета принимаем k_s = 2,28; k_t = 2,37;

Таблица 4.31

sв, МПа	Галтель	Шпоночный паз	Посадка колец подшипников качения	Посадка деталей
напряженная	скользящая
ks	kt	ks	kt	ks	kt	ks	kt	ks	kt
	2,07	2,12	1,51	1,20	1,94	1,57	1,45	1,26	1,26	1,14
	2,12	2,18	1,64	1,37	2,15	1,71	1,61	1,39	1,40	1,23
	2,17	2,24	1,76	1,54	2,36	1,88	1,77	1,50	1,54	1,32
	2,23	2,30	1,89	1,71	2,58	1,99	1,94	1,60	1,68	1,49
	2,28	2,37	2,01	1,88	2,69	2,13	2,09	1,71	1,81	1,50
	2,34	2,42	2,14	2,05	3,00	2,29	2,26	1,81	1,96	1,59
	2,39	2,48	2,26	2,22	3,22	2,43	2,42	1,96	2,10	1,86

г) масштабные коэффициенты выбираем из табл. 4.32 для d = 34 мм и углеродистой стали:

k_M = 0,86; k_M’ = 0,8;

д) коэффициенты состояния поверхности выбираем из табл. 4.33 для чистовой обточки:

k_П = k_П’= 0,9.

Таблица 4.32

Диаметр вала, мм	Углеродистые стали	Легированные стали
kM	kM’	kM	kM’
20-30	0,91	0,89	0,83	0,89
30-50	0,86	0,80	0,75	0,80
50-70	0,86	0,75	0,69	0,75
70-100	0,74	0,73	0,66	0,73
100-150	0,69	0,69	0,61	0,69
150 ÷ 500	0,60	0,60	0,54	0,60

Таблица 4.33

Вид обработки	, МПа
Шлифование
Обточка чистовая	0,95	0,90	0,80
Обдирка	0,85	0,80	0,65
Необработанная поверхность	0,75	0,65	0,45

3. Вычисляем фактический основной коэффициент запаса прочности:

Коэффициент запаса прочности не вышел за допустимые пределы S₀ = 1,5-3, следовательно, диаметр пересчитывать не надо.