Плотность распределения вероятности НВС.
Ранее говорилось, что функция распределения задает закон распределения случайной величины. Для НСВ удобнее закон распределения задавать при помощи плотности распределения вероятности. Плотностью распределения вероятности НСВ Х называется предел (если он существует)
.
Таким образом, плотность распределения является первообразной для функции распределения.
Свойства плотности вероятности.
1. Плотность вероятности является неотрицательной функцией.
Действительно, производная неубывающей функции неотрицательна.
2. . Это следует из того, что плотность распределения является первообразной для функции распределения.
3. . Это следует из формулы Ньютона-Лейбница:
4. . Это свойство называется свойством нормировки.
Действительно, .
Пример 3.4Случайная величина Х называется равномерно распределенной на отрезке [a, b], если ее плотность распределения имеет вид
В дальнейшем равномерное распределение будем обозначать R(a, b).
Рисунок 3.2 |
График плотности и функции распределения приведены на следующих рисунке 3.2.
Пример 3.5Экспоненциальное (или показательное) распределение имеет плотность распределения вида
В дальнейшем показательное распределение будем обозначать E(l).
Из практики известно, что время безотказной работы телевизора распределено по показательному закону. Смысл параметра l в том, что число 1/l равно среднему времени безотказной работы телевизора.
.
Рисунок 3.3 |
3.3 Числовые характеристики случайных величин
Числовые характеристики ДСВ. Пусть дана ДСВ X своим законом распределения xi ® pi. Математическим ожиданием ДВС X называется число . М.о. – сокращение словосочетания “математическое ожидание”.
Смысл математического ожидания заключается в следующем: это вероятностное среднее значение случайной величины.
Дисперсией ДСВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения ДСВ от ее математического ожидания:
Смысл дисперсии в том, что она является мерой рассеяния значений случайной величины от математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс значений от математического ожидания.
Сренеквадратическим отклонением случайной величины Х называется число . С.к.о. – сокращение словосочетания “Сренеквадратическое отклонение”.
Эта величина более точно характеризует степень рассеяния значений случайной величины от математического ожидания, чем дисперсия. Обоснуйте почему?
Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Пусть имеется НСВ X с плотностью распределения f(x).
Математическим ожиданием НСВ X называется число .
Дисперсией НСВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
.
Сренеквадратическим отклонением случайной величины Х называется число .
Смыслы м.о., дисперсии, с.к.о. для НСВ те же, что и для ДСВ.