Свойства функции распределения.
Пусть F(x) – функция распределения случайной величины
1) ;
2) ;
3) F(x) – неубывающая функция;
4) F(x) непрерывна слева;
5) .
Доказательство. Неравенства 1 следуют из того, что F(x) – вероятность. Событие , а , следовательно, свойства 2 следуют из равенств Если x < t, то . Следовательно, из свойства вероятности следует, что . Доказательство 4 опускаем. Докажем свойство 5. + = и события и несовместны, значит = + . Откуда следует .
3.2 Дискретные случайные величины
Случайные величины в дальнейшем будем обозначать большими латинскими буквами: X, Y, Z, … .
Случайная величина называется дискретной, если в результате испытания она может принять значение из конечного либо счетного множества возможных числовых значений. Будем пользоваться сокращением ДСВ для обозначения дискретной случайной величины.
Закон распределения ДСВ Х можно задать в виде функции, ставящей в соответствие каждому значению xi ее вероятность pi = P(X = xi), причем .
Когда различных значений ДСВ конечно и равно n, то ее закон распределения задается в виде таблицы ( ):
x1 | x2 | … | xn |
p1 | p2 | … | pn |
Очевидно, должно выполняться равенство .
Построим функцию распределения для ДВС. По определению
.
График функции распределения ДВС Рисунок 3.1 |
т.е. для любого действительного х значение F(x) численно равно вероятности наступления следующего события: в результате испытаний над X она приняла значение строго меньшее x. Эта функция является кусочно-постоянной (ступенчатой), ее график см. на рисунке 3.1.
Пример 3.1Х–число очков, выпавшее при однократном вбрасывании игрального кубика. Закон распределения Х имеет вид
… | |||
… |
Это так называемое равномерное дискретное распределение.
Пример 3.2Х – число успехов в схеме Бернулли. Пусть n – число испытаний, p – вероятность успеха, q=1–p. Тогда закон распределения случайной величины Х задается соответствием , i=1, …, n. Студенту предлагается доказать, что . Этот закон называется биномиальным и будем в дальнейшем обозначать B(n,p).
Пример 3.3Х – число обращений клиентов в сервисный центр по ремонту бытовой техники фирмы SONY (см. пример 1.2). Из практики следует, что закон распределения имеет вид , i = 0, 1, … . Это распределение называется распределением Пуассона и будем в дальнейшем обозначать P(l). Студенту предлагается доказать, что .
3.4 Непрерывные случайные величины
Будем рассматривать пространство элементарных событий как совокупность всех точек числовой оси. Случайная величина X называется непрерывно распределенной (или непрерывной), если ее функция распределения является непрерывной. Для непрерывной случайной величины примем сокращение НСВ.
Примеры.X – время безотказной работы телевизора (см. пример 1.3). X – рост взрослого человека.
Пусть X – НСВ. Найдем вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение a Î R. Докажем, что P(X = a)=0.
Так как , то .
Следовательно
= .
Заметим, что в случае ДСВ вероятность P(X = a) не всегда равна нулю.