Приклад аналітичного розрахунку прогнозних оцінок

Лабораторна робота №7.

Тема: Методика прогнозування параметрів складних економічних систем на основі еталонів» (багатовимірна лінійна екстраполяція).

Мета: Реалізація завдання із автоматизації розрахунків оцінок вихідних характеристик економічних систем, об’єктів, на основі значень параметрів схожих еталонних систем, прототипів.

Теоретичні відомості

Алгоритм багатовимірної лінійної екстраполяції опишемо на прикладі рішення задачі оптимального проектування - типової задачі, яка потребує екстраполяції. Ця задача полягає у визначенні параметрів, що доставляють екстремум призначеному критерієм якості системи в заданій ситуації. Під ситуацією розуміємо, наприклад, вихідні дані для проектування: умови роботи системи – обмеження на окремі її характеристики, технологія виробництва ін.

Залежність оптимальних параметрів системи від ситуації, в якій проводиться оптимізація, як правило, буває невідомою. Тому будь-які зміни в ситуації, типові для процесу проектування, призводять до необхідності проведення нових оптимальних розрахунків для уточнення параметрів системи. Такий спосіб коригування оптимальних параметрів значно подовжує процес проектування, оскільки кожен розрахунок, як правило, вимагає великих витрат часу. При цьому виникає задача оцінки оптимальних параметрів за інформацією, яка накопичена в результаті проектування аналогічних систем або виконання розрахунків на оптимальність в ряді аналогічних ситуацій. При цьому передбачається, що процес знаходження параметрів, близьких до оптимальних в новій ситуації, повинен відбуватися без проведення трудомісткої процедури багатопараметричної оптимізації.

Розглянемо можливість вирішення цього завдання методом багатовимірної лінійної екстраполяції [1].

Нехай ефективність проекту визначається скалярною функцією двох векторних аргументів та

(6.1)

представляє собою критерій якості проектованого об'єкта, де - вектор параметрів об’єкту і - вектор ситуації, визначає змінюється в процесі проектування специфіку цього об'єкта та його середовища, які слід враховувати при оптимальному проектуванні.

Для невеликої кількості ситуацій відомі значення векторів оптимальних рішень для критерію якості , тобто передбачається вирішеною разів оптимізаційна задача

. (6.2)

де — область зміни параметрів об'єкта, що залежить в загальному випадку від ситуації .

Ставиться завдання знаходження (без проведення трудомісткої оптимізації) вектора , близького в певному сенсі до вектору , оптимальному в новій заданої ситуації .

Нехай функція

(6.3)

позначає невідому залежність оптимальних параметрів системи від ситуації. Тоді рішення задачі (6.2) можна розглядати як результати спостережень цієї невідомої функції

(6.4)

де символ позначає відповідність.

Отже, завдання зводиться до відновлення невідомої векторної функції векторного аргументу по кінцевому числу значень аргументу і відповідних йому значень вектора .

Множину векторів можливих ситуацій позначимо через , а відповідну множину векторів рішень - через .

Вибір способу вирішення поставленого завдання, очевидно, залежить від кількості наявної інформації про відновлюваної функції. Якщо число спостережень досить велика в порівнянні з розмірністю вектора ситуації, завдання можна вирішити - кратним застосуванням різних методів апроксимації: методу найменших квадратів, методу потенційних функцій і т.д. Якщо число спостережень порівнянною з розмірністю вектора ситуації і досить для побудови базису в просторі , можна побудувати лінійну модель функції (6.3).

В роботі реалізовано випадок [1], коли число еталонів об’єктів мале та недостатнє для побудови навіть лінійної моделі рівняння

, (6.5)

, (6.6)

де - розмірність вектора параметрів проектної ситуації .

Для рішення задачі використана наступна процедура:

- будується лінійна модель функції (6.5) на підпросторах , що утворені еталонами (6.4);

- вводиться гіпотеза для визначення лінійної функції на просторах и . При цьому рівняння для елементів векторних підпросторів (гіперплощин) та мають вигляд

; (6.7)

(6.8)

Вважаючи рішення оптимальним, використовується це визначення замість символу .

Модель функції (6.3) на підпросторах та будуємо, вводячи наступну гіпотезу 1, – перетворення лінійне. Для того, щоб задовольнялася відповідність (6.4), стосовно [1], вважаємо

(6.9)

При цьому задача відновлення функції (6.3) зводиться до визначення оператора перетворення на основі прийнятої гіпотези про лінійність перетворення . В силу обмеження задача допускає незлічену множину рішень. Для усунення такої неоднозначності рішення вводиться додаткова гіпотеза «близькості» варіантів.

Попередньо вводимо строго випуклу скалярну функцію, яку назвемо функцією близькості:

, (6.10)

де .

Кожній парі ситуацій и ця функція ставить у відповідність число, що характеризує віддаленість (близькість) однієї ситуації від іншої.

Відповідно до гіпотези 2,кожному вектору ставиться у відповідність такий вектор , котрий забезпечує мінімум функції близькості (10). Наприклад, якщо функцію близькості вибрати у вигляді

, (6.11)

Рисунок 1. Схема методу лінійної екстраполяції.

то гіпотеза 2 набуває чіткого геометричного змісту: кожному вектору ситуацій ставиться увідповідність його ортогональна проекція на лінійний підпростір .

Параметри , що визначають вектор , найближчий у відповідності з функцією (10) до вектору , знаходиться з системи рівнянь

(6.12)

Алгоритм відновлення функції (6.3) наступний:

1) перетворимо за допомогою гіпотези 2;

2) відображуємо за допомогою гіпотези 1;

3) Ототожнюємо .

Рівняння для підпростору ситуацій має вигляд:

(6.13)

При цьому функція близькості дорівнює

. (6.14)

Далі мінімізуємо квадратичну форму (7.14), вирішуємо систему рівнянь, в результаті чого знаходимо параметри .

Аналогічного результату можна досягти поворотом підпростору проектних ситуацій. Здійснюючи поворот підпростору ситуацій, введемо параметр для ситуації . Тоді запис підпростору ситуацій прийме вигляд

(6.15)

Функцію близькості запишемо в наступній формі:

(6.16)

Мінімізуючи функцію близькості, знайдемо параметри и . При деяких та можна звести функцію близькості, а отже, і похибку екстраполяції до нуля.

В багатовимірному випадку формули (6.15) та (6.16) будуть мати наступний вигляд:

(6.17)

(6.18)

Для мінімізації функції (6.18) знаходимо похідні та і прирівнюємо їх нулю. В результаті отримаємо систему з лінійних рівнянь відносно , . Рішення екстраполяційної задачі у випадку повороту підпростору проектних ситуацій отримаємо по формулі

. (6.19)

Склад роботи

1. Вивчити сутність методу лінійної екстраполяції.

2. Опрацювати процедуру лінійної екстраполяції, реалізовану засобами Excel для підготовленої системи прототипів. Вивчити структуру математичної моделі із реалізації методу у середовищі Excel.

3. Використовуючи засоби Excel реалізувати процедуру екстраполяції для набору прототипів, еталонних систем, підготовлених студентом особисто.

4. Подати результати оціночних розрахунків таблицею, дослідити залежність вихідних характеристик систем, або умов функціонування, від значень визначених вхідних.

5. Виконати екстраполяційний розрахунок аналітично для двох змінних на еталонів.

Студент самостійно готує завдання для розрахунків за процедурою лінійної екстраполяції (3-5 прототипів економічних об’єктів з 4- 8 параметрами, умовами розрахунків тощо) і узгоджує з викладачем.

Методика виконання оціночних розрахунків вихідних параметрів методом екстраполяції:

1. Дослідити процедуру метода екстраполяції для вказаних зразків.

2. Перейти на лист «Самостійна робота».

3. Ввести в комірки D7-D12 та N7-N12 значення параметрів прототипів, підготовані самостійно.

4. Розрахувати оціночні значення вихідних параметрів нових об’єктів, що проектуються, задаючи умови розрахунків в комірки E2-N2.

5. Виконати екстраполяційні розрахунки для 4 - 6 варіантів.

6. Підготувати звіт за результатами розрахунків на основі лінійної екстраполяції.

Зміст та призначення завдання екстраполяційного прогнозування.

Необхідно розрахувати очікувані, прогнозні оцінки результуючих показників нового варіанта системи за відомими значеннями показників та умов використання кількох варіантів – еталонів.

Такі завдання можуть бути використані, наприклад, для отримання наступного:

- розрахунку прогнозу заданої системи при відсутності достатньої кількості статистичних даних (про параметри еталонів, проектів ін.);

- розрахунку раціональних оцінок параметрів управління (вихідних характеристик проектів, технічних систем, соціальних потреб тощо) в нових умовах при відомих аналогічних завданнях (еталонні ситуації),

- отримання орієнтовних значень вартості та термінів виконання проектів;

- відновлення невідомих характеристик технічних та організаційних систем;

- оцінки кадрового потенціалу та необхідних ресурсів для зростання;

- оцінки достовірності зібраних статистичних даних ін.

Приклад аналітичного розрахунку прогнозних оцінок