Приклад розрахунку вала на міцність і жорсткість

Поставимо перед собою задачу підібрати діаметр для суцільного стального вала круглого поперечного перерізу, навантаженого так, як зображено на рисунку 55.

Рисунок 55. Навантаження вала

При цьому приймаємо такі значення параметрів навантажень, розмірів та допустимих величин:

1,5 кН⋅м, а = 0,4 м;

1,8 кН⋅м, в = 0,8 м;

1,8 кН⋅м, с = 0,6 м;

[τ] = 80МПа = 80⋅ кПа;

[θ] = 1 град/м;

G = 8⋅ МПа = 8 кПа.

1) Визначаємо крутні моменти, що діють на окремих ділянках вала. При цьому почнемо з вільного кінця вала, тому що там прикладено відомий момент, у той час, як на лівому кінці в жорсткому закріплені вала виникає невідомий нам спочатку реактивний момент. Позначимо окремі ділянки вала І, ІІ, ІІІ. Використовуючи метод перерізів, знайдемо значення крутних моментів на кожній ділянці вала. Побудову епюр крутних моментів Т зображено на рисунку 56 б).

Рисунок 56. Схема для розрахунку вала:

а) вигляд навантаження вала,

б) графік розподілу крутних моментів.

2) Визначимо діаметр вала з умови міцності (93):

При цьому згадаємо, що круглого поперечного перерізу полярний момент опору визначається, як відомо, виразом:

. (104)

Тоді, перетворюючи та узагальнюючи останні два вирази, можна записати:

= ≈ 0,48 м = 48 мм. (105)

3) Тепер визначимо діаметр вала з умови жорсткості.

, (106)

де – полярний момент інерції запишеться як . Перетворюючи ці залежності, отримаємо:

= ≈ 5,9⋅ м = 59 мм. (107)

Реальний розмір діаметр вибираємо з цих двох розрахунків як максимальне значення тобто d = 59 мм. У цьому випадку він буде задовольняти як розрахунку на міцність, так і розрахунку на жорсткість.

Контрольні запитання

1. Що таке кручення?

2. Охарактеризуйте деформації при крученні.

ЗГИН

Згин –це вид деформації, який виникає при прикладенні до стержня пар сил, які утворюють моменти в площинах, що проходять через вісь стержня.

Стержень, який працює на згин називають балкою.

Вільний, не опертий кінець балки, називають консоль.

Розрахунок балки

На рисунку 57 зображена розрахункова схема балки, що розташована вздовж координатної осі x і навантаженої силою F, разом із епюрою згинальних моментів по її довжині.

Рисунок 57. До розрахунку балки на міцність

Умова міцності балки при згині:

σ_зг = М_mах / W_z ≤ [σ], (108)

де σ_зг – напруження балки при згині.

Максимальний згинальний момент М_mах у перерізі балки, дє прикладена сила F, визначається за співвідношенням:

M_max = R₁·a = R₂·b = F·a·b / (a + b). (109)

Тут R₁, R₂ – реакції опор 1, 2 балки,

R₁ = F · b / (a + b); R₂ = F · a / (a + b). (110)

Осьовий момент опору W_z балки залежить від конфігурації та розмірів перерізу балки. Для розповсюджених форм перерізів деталей момент опору визначають за формулами:

круглий переріз діаметром d

W_z = π·d ³/32 ≈ 0,1d ³; (111)

прямокутний переріз із розмірами b x h (сторона з розміром h пер­пендикулярна до нейтральної осі y–y перерізу, тобто вздовж осі z):

W_z = b·h²/6; (112)

момент опору перерізів кутників, швелерів, двотаврів визначається з таблиць, що наведені у держстандартах на ці профілі.

Допустиме напруження за умовою статичної міцності

[σ] = σ_T / [s], (113)

де σ_T – границя текучості матеріалу балки;

[s] = 1,5...2,5 – допустимий коефіцієнт запасу міцності.

Вирази (108), (113) можна використати для перевірних розрахунків балок із відомими розмірами, навантажених за схемою, що зображена на рисунку 57.