Решение дополнительной задачи 1
Постановка задачи
Совхозу установлены закупочные цены и площади посева зерновых культур:
· Пшеница – 1600 га;
· Кукуруза – 2200 га;
· Ячмень – 500 га;
· Рожь – 200 га;
· Просо – 150 га.
Совхоз располагает 4 участками, средняя урожайность культур на них определена для двух уровней затрат.
| Культуры | Урожайность на участке, ц/га | Закуп. цены, руб/ц | Затраты средств, руб/га | ||||||
| Пшеница | 35/40 | 25/28 | 20/25 | 15/20 | 6,5 | 50/80 | 40/49 | 40/60 | 40/95 |
| Кукуруза | 60/75 | 40/50 | 30/35 | 50/60 | 5,0 | 80/105 | 90/150 | 70/80 | 65/80 |
| Ячмень | 30/40 | 20/27 | 15/20 | 15/17 | 4,3 | 50/85 | 40/53 | 40/70 | 45/50 |
| Рожь | 25/30 | 30/37 | 20/23 | 15/20 | 7,0 | 50/60 | 38/57 | 45/55 | 40/57 |
| Просо | 40/50 | 20/28 | 15/20 | 10/13 | 7,2 | 60/98 | 50/60 | 50/90 | 50/66 |
Размеры участков: соответственно 1200, 2100, 650, 800 га.
Требуется составить оптимальный план посева зерновых культур по участкам. Показать, как изменится решение, если весь второй участок засеять пшеницей с нижним уровнем затрат; ограничена общая сумма затрат.
Описание модели
Обозначим через XijL площадь, отведённую под i-й вид культуры на j-м участке для нижнего уровня затрат, а через XijH – площадь, отведённую под i-й вид культуры на j-м участке для верхнего уровня затрат. Так, выражение X23H=100 будет обозначать, что на 3-м участке отведено 100 га под кукурузу с верхним уровнем затрат.
Обозначим полный урожай i-го вида культуры через Gi.
где UijL и UijH – урожайность i-го вида культуры на j-м участке.
Тогда прибыль от продажи урожая i-го вида культуры будет составлять:
где Pi – это закупочная цена i-го вида зерна.
Затраты для i-го вида культур:
где RijL и RijH – это нижний и верхний уровень затрат для i-го вида зерновой культуры на j-м участке.
Теперь у нас есть все необходимые обозначения, чтобы определить критерий задачи: в данном случае нужно максимизировать прибыль (доход минус расход):
Далее нужно ввести ограничения модели. Ограничениями будут являться установленные площади посева и площади участков:
Решение задачи в LINDO
Решение основной задачи
Расчёты будем проводить в пакете LINDO. Для этого приведём описанные выше условия к виду, пригодному для ввода в программу:
Max 177.5X11L+122.5X12L+90X13L+57.5X14L+180X11H+133X12H+102.5X13H+35X14H+
220X21L+110X22L+80X23L+185X24L+270X21H+100X22H+95X23H+220X24H+
79X31L+46X32L+24.5X33L+19.5X34L+87X31H+63.1X32H+16X33H+23.1X34H+
125X41L+172X42L+95X43L+65X44L+150X41H+202X42H+106X43H+83X44H+
228X51L+94X52L+58X53L+22X54L+262X51H+141.6X52H+54X53H+27.6X54H
ST
!Установленные площади посевов
X11L+X11H+X12L+X12H+X13L+X13H+X14L+X14H=1600
X21L+X21H+X22L+X22H+X23L+X23H+X24L+X24H=2200
X31L+X31H+X32L+X32H+X33L+X33H+X34L+X34H=500
X41L+X41H+X42L+X42H+X43L+X43H+X44L+X44H=200
X51L+X51H+X52L+X52H+X53L+X53H+X54L+X54H=150
!Ограничения по площадям участков
X11L+X11H+X21L+X21H+X31L+X31H+X41L+X41H+X51L+X51H<=1200
X12L+X12H+X22L+X22H+X32L+X32H+X42L+X42H+X52L+X52H<=2100
X13L+X13H+X23L+X23H+X33L+X33H+X43L+X43H+X53L+X53H<=650
X14L+X14H+X24L+X24H+X34L+X34H+X44L+X44H+X54L+X54H<=800
End
При этом коэффициенты при XijL и XijH подставлены в модель уже пересчитанные из начального условия для сокращения модели.
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 20
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 814315.0
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X11L 0.000000 100.000000
X12L 0.000000 10.500000
X13L 0.000000 12.500000
X14L 0.000000 170.000000
X11H 0.000000 97.500000
X12H 1250.000000 0.000000
X13H 350.000000 0.000000
X14H 0.000000 192.500000
X21L 0.000000 50.000000
X22L 0.000000 15.500000
X23L 0.000000 15.000000
X24L 0.000000 35.000000
X21H 1200.000000 0.000000
X22H 0.000000 25.500000
X23H 200.000000 0.000000
X24H 800.000000 0.000000
X31L 0.000000 128.600006
X32L 0.000000 17.100000
X33L 0.000000 8.100000
X34L 0.000000 138.100006
X31H 0.000000 120.599998
X32H 500.000000 0.000000
X33H 0.000000 16.600000
X34H 0.000000 134.500000
X41L 0.000000 221.500000
X42L 0.000000 30.000000
X43L 0.000000 76.500000
X44L 0.000000 231.500000
X41H 0.000000 196.500000
X42H 200.000000 0.000000
X43H 0.000000 65.500000
X44H 0.000000 213.500000
X51L 0.000000 58.099998
X52L 0.000000 47.599998
X53L 0.000000 53.099998
X54L 0.000000 214.100006
X51H 0.000000 24.100000
X52H 150.000000 0.000000
X53H 0.000000 57.099998
X54H 0.000000 208.500000
Представим полученное решение в виде таблицы:
| Культуры | Участки | Затраты на посев | Урожай | Прибыль от продажи | Доход | |||
| Пшеница | — | — | ||||||
| Кукуруза | — | |||||||
| Ячмень | — | — | — | |||||
| Рожь | — | — | — | |||||
| Просо | — | — | — | |||||
| Итого |
При посеве во всех случаях используется верхний уровень затрат.
Решение дополнительной задачи 1
Вводится дополнительное условие: Ячмень можно сеять только на 3-м и на 4-м участках. В обозначениях данной модели это будет выглядеть так:
X31L=0.
X32L=0.
X31H=0.
X32H=0.
После добавления этого выражения в условие и решения модели получим следующий ответ (нулевые значения опущены):
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 807940.0
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X12H 1600.000000 0.000000
X22L 150.000000 0.000000
X21H 1200.000000 0.000000
X23H 50.000000 0.000000
X24H 800.000000 0.000000
X33L 500.000000 0.000000
X42H 200.000000 0.000000
X52H 150.000000 0.000000
Представим полученное решение в виде таблицы:
| Культуры | Участки | Затраты на посев | Урожай | Прибыль от продажи | Доход | ||||||
| Пшеница | |||||||||||
| Кукуруза | 150 | ||||||||||
| Ячмень | 500 | ||||||||||
| Рожь | |||||||||||
| Просо | |||||||||||
| Итого | |||||||||||
При этом кукурузу на втором участке, а также ячмень на третьем следует сеять при нижнем уровне затрат. В этом решении суммарные затраты на посев меньше, но также меньше прибыль и чистый доход.