Роль моделей при синтезе алгоритмов управления

Учет отмеченной выше классификации целесообразен также при оценке роли моделей в синтезе алгоритмов управления и выборе рациональных управляющих воздействий. Попытаемся сначала рассмотреть эту проблему с позиций теории множеств. Удобно объект управления, заместителем которого в наших рассуждениях будет служить модель объекта М_о, отражающая существующие знания о нем, управляющее устройство Y и систему управления в целом С рассматривать в виде пересечения двух множеств (рис. 1, а)

. (1)

Очевидно, охваченной управлением следует считать ту часть объекта, элементы которой принадлежат одновременно также управляющему устройству. Следует отметить, что большинство металлургических объектов являются управляемыми существенно неполно. Совершенствование систем управления возможно как за счет получения новых знаний об объекте — расширение множества М_о до М'_о (рис. 1. а), так и за счет совершенствования управляющих устройств (алгоритмов) — расширение множества Y до Y'.

Однако и в этом случае задача сводится к увеличению числа элементов объекта, охваченных управлением, то есть к повешению количества информации об объекте. Резервы совершенствования систем управления в связи с отмеченным выше весьма велики. Следует подчеркнуть большую роль в этом процессе моделей объекта более широких (рис. 1, а), чем это необходимо, исходя из требований и критериев существующей системы управления (рис. 1, б). В последнее время ценность так называемых «накопленных» или «познавательных» моделей начинает осознаваться все более четко.

Модель же, построенная исходя из требований конкретного критерия управления и полностью подчиненная задачам определенной системы управления теряет свои эвристические свойства и может использоваться лишь для параметрической настройки системы, входя по существу в управляющий алгоритм (рис. 1, б). При этом мы имеем дело с вырожденным случаем, сводящимся к универсаль­ному множеству, что подтверждается приводимыми ниже рассуждениями.

Обозначим усеченную модель, полученную в соответст­вии с требованиями конкретного критерия и алгоритма уп­равления через M_о1. Если

; (2)

; (3)

; (4)

I=C₁=Y (5)

где I — универсальное множество, т. е. такое множество, в котором полностью содержится любое другое множество, то

(6)

т. е. общая часть множества I и множества M_о1 с самим множеством M_о1.

Таким образом, свойства всей системы определяются выбранной моделью.

Свойства управляющего устройства Y в этом случае качественно не изменяют свойств системы, не расширяют множества С₁ если остаются в силе условия (4), (5). Использование модели полностью подчиненной требованиям каким-либо об­разом выбранного критерия управления целесообразно лишь для случая определенной фиксированной структуры систе­мы и выбранного алгоритма управления при параметриче­ской настройке системы управления, когда задача дальнейшего развития системы не ставится, поскольку такая модель новой информации о направлениях структурного совершенствования системы дать не может.

Если объединение множеств Мо и Y рассматривать как совокупность знаний об объекте и управляющем устройстве , то для случая (рис. 1, б) имеем

(7)

где I=C₁=Y. Таким образом объединение состоит из тех же элементов, что и I=C₁ т. е. свойства системы знаний от свойств М_О1 не зависят. Такая модель не открывает путей совершенствования системы С₁, так как она сама полу­чена исходя из требований алгоритма управления Y и по существу является входящей в него.

Таким образом, показана целесообразность тесной увяз­ки задач исследования и управления, использования для этого моделей разных уровней сложности. При этом для синтеза алгоритма управления, определения эффективных управляющих воздействий и совершенствования системы управления необходима модель объекта более широкая, чем модель — для функционирования этой системы. Мо­дель же, полученная исходя из требований конкретного кри­терия управления, может использоваться только для пара­метрической настройки алгоритма управления, являясь его основой. Для определения путей дальнейшего совершенст­вования системы такая модель непригодна.

Остановимся теперь на более простом и конкретном слу­чае — задаче аналитического конструирования закона (ал­горитма) регулирования. Рассмотрим структурную схему (рис. 2) одноконтурной системы автоматического регули­рования с отрицательной обратной связью.

Здесь W_o(p) и W_oc(p) — передаточные функции (модели) прямого канала (объекта управления) и канала обратной связи (регуля­тора).

Для простоты будем считать, что чувствительный элемент и регулирующий орган включены в состав объекта, а исполнительный механизм — в состав регулятора.

Связи между входами и выходами для звеньев прямо­го и обратного каналов описываются следующими урав­нениями:

Исключив отсюда х_ос(р), получим

(8)

Учитывая, что передаточная функция рассматриваемой замкнутой системы W_c (p) = у(р)/х(р), имеем

(9)

Из этого выражения видно, что если известна переда­точная функция (модель) объекта W_о(p) то, задавшись требуемыми свойствами системы W_c(p), можно в явном ви­де найти закон регулирования

(10)

Таким образом, при известной модели объекта задача аналитического синтеза регулятора решается весьма про­сто, естественно, если получаемая передаточная функция физически реализуема. Задача существенно осложняется, если математическое описание характеристик объекта от­сутствует. Закон регулирования в этом случае может быть определен лишь весьма приближенно с использованием по­исковых методов и лишь для сравнительно простых объек­тов, чаще всего одноконтурных. Для сложных же много­связных объектов есть опасность навязывания им алгорит­мов управления не согласованных с их внутренними свойст­вами (физическим механизмом), что может привести к не­рациональным затратам управляющих воздействий или да­же к ухудшению функционирования объекта.

Теоретически синтезировать передаточную функцию си­стемы с обратной связью, не зная передаточной функции прямого канала, можно лишь в следующем предельном случае. Представим передаточную функцию прямого кана­ла в виде произведения

Wо(p) =k₁W₁ (р)

где k₁ — коэффи­циент передачи этого звена;

Тогда формула оператора зам­кнутой системы (9) перепишется следующим образом

Устремив коэффициент передачи k₁ в бесконечность, по­лучаем соотношение

(11)

которое носит название предельного свойства обратной свя­зи и позволяет сделать вывод, что при достаточно большом усилении в прямом канале свойства системы с отрицатель­ной обратной связью практически полностью определяются лишь свойствами обратной связи и не зависят от характе­ристик прямого канала, естественно, если система при этом остается устойчивой. Системы, синтезируемые с использо­ванием указанного свойства, называют системами с нуле­вой ошибкой или нулевой чувствительностью.

К числу реально осуществимых систем такого рода относятся высо­коточные измерительные системы компенсационного типа(автоматические потенциометры и мосты) и решающие блоки аналоговых вычислительных машин, в основу синте­за которых положено предельное свойство отрицательной обратной связи (11). Так коэффициент усиления совре­менных усилителей 'постоянного тока третьего поколения, на которых строятся решающие элементы, до­стигает 10⁸, т. е. соотношение (11) выполняется с весьма высокой сте­пенью приближения.

Таким обра­зом, чтобы получить решающий блок, реализующий заданную функ­цию W_c(p), необходимо включить в обратную связь операционного уси­лителя элемент, реализующий функцию обратную заданной.

Так, например, для синтеза интегратора в обратную связь операционного усилителя (рис. 3) можно включить элек­трическую емкость (конденсатор), играющую роль диффе­ренцирующего звена

С учетом свойств операционного усилителя, в том числе , можно легко показать, что такая система, представленная на рис. 3, описывается уравнением:

(12)

где RC — постоянная времени интегрирования;

u₂(0) — начальное условие.

Аналогичным образом можно построить и другие решающие элементы.

К сожалению, для большинства реальных систем автоматического регулирования воспользоваться этим замечательным свойством не представляется возможным, так как реальные объекты и системы имеют, как правило, весьма ограниченные коэффициенты усиления и скорости переме­щения регулирующего органа, а также обладают значи­тельным запаздыванием. В связи с этим при аналитичес­ком конструировании законов регулирования обычно поль­зуются соотношением (9) или (10), в которые входит передаточная функция (модель) объекта. Таким образом, даже задача синтеза относительно простой одноконтурной системы автоматического регулирования требует знания модели объекта.

Еще большая необходимость в такой модели возникает при управлении многомерными объектами с внутренними перекрестными связями типа изображенного на рис. 4.

Можно выделить, по крайней мере, два подхода к управ­лению объектами такого рода.

1). Схема связанного регулирования, при которой между регуляторами отдельных величин устанавливают опреде­ленные перекрестные связи.

2.) Схема независимого регулирования (управления), при которой отсутствуют перекрестные связи между от­дельными величинами, а выбор закона регулирования каж­дого регулятора осуществляется с учетом наличия пере­крестных связей в объекте.

Для этого, естественно, необ­ходима достаточно хорошая модель объекта, описывающая эти внутренние взаимосвязи. Наличие такой модели откры­вает возможность перехода на новую, более высокую сту­пень, когда можно вести речь уже не столько об автома­тическом регулировании, сколько об автоматическом уп­равлении, в том числе — оптимальном управлении в боль­шом, так как путем оптимизационных расчетов или машин­ных экспериментов на быстрой модели здесь может решать­ся не только задача поддержания заданных траекторий каж­дой из выходных переменных (например у₁ и у₂), но и задача определения оптимальных траекторий, удовлетворяющих какому-либо целевому (технологическому или технико-экономическому) критерию, например минимуму затрат.

При том в ряде случаев может вообще отпасть необходимость в отдельных контурах стабилизирующего регулирования, а вместе с этим исчезает и возможность взаимных раска­чивающих воздействий этих контуров друг на друга, зна­чительно усложняющих расчеты устойчивости таких си­стем (систем связанного регулирования) и сами системы, поскольку появляется необходимость во введении различ­ного рода ограничений и корректирующих контуров.

Остановимся более подробно на каждом из этих под­ходов.

Изображенная на рис. 5, схема связанного регулиро­вания, является отражением первого подхода. Здесь два регулятора pi и р2 превращаются по существу в один регулятор с двумя входами и выходами.

Рис. 5. Схема связанного регулирования

Его свойства опре­деляются четырьмя операторами: двумя по прямым кана­лам , и двумя по перекрестным , .

Для простоты наличием исполнительных механизмов ИМ₁ и ИМ₂ пренебрегаем, будем считать, что U₁=x₁(t); U₂=x₂(t).

Необходимо подчеркнуть, что особенностью рас­сматриваемого регулятора является одновременное пере­мещение обоих регулирующих органов при отклонении от задания y₃₁(t), y₃₂(t) хотя бы одной из регулируемых ве­личин y₁(t), y₂(t), т. е. работа одного локального регуля­тора вносит возмущение в работу другого. Это и вызыва­ет отмеченные несколько выше трудности при практичес­кой реализации таких систем.

Для синтеза оптимальной системы регулирования необ­ходимо знать динамические характеристики объекта. Рас­смотрим в общем виде структуру математического описа­ния объекта для случая наличия хотя бы одного возмуще­ния E(t). При этом математическая модель объекта дол­жна включать в себя шесть динамических характеристик:

и по каналам передачи первого регулирующего воздействия U₁(t) соответственно на y₁(t) и y₂(t);

и по каналам действия U₂(t) соответственно на y₁(t) и y₂(t);

и по каналам передачи первого регулирующего воздействия E(t) соответственно на y₁(t) и y₂(t).

Целью синтеза является определение четырех оптимальных операторов регулятора , , , .

Следует заметить, что получить конкретные значения перечисленных динамических характеристик объекта, а за тем и операторов для связанных регуляторов весьма не­просто даже для рассмотренного выше далеко не самого сложного случая. Ситуация может несколько упрощаться когда запаздывание по одному из каналов существенно мень­ше, чем по другому, тогда регулятор в первом канале на­чинает работать раньше чем в другом, и за счет этого может быть повышено качество регулирования. В большин­стве же случаев синтез многосвязной системы регулирова­ния является очень сложной задачей, особенно когда в объекте имеются внутренние перекрестные связи между вы­ходами и входами, а управляющие и возмущающие воздей­ствия являются общими для большинства каналов. Следу­ет также иметь в виду возможность изменения характе­ристик объектов во времени или в зависимости от каких-либо условий.

Практически при технической реализации полученных указанным, выше способом алгоритмов работы многосвяз­ных систем регулирования приходится вводить целый ряд ограничений, особенно с целью обеспечения устойчивости, так как наличие перекрестных связей в объекте и регуля­торе приводит к появлению в системе большого числа до­полнительных замкнутых контуров циркулирования воз­действий, число которых может значительно превышать число регулируемых величин. При этом могут появляться в том числе и контуры с положительными обратными свя­зями.

Рассмотренный выше подход является, как нетрудно заметить, дальнейшим развитием идей классической теории автоматического регулирования. Значительные трудности его практической реализации вызывают необходимость по­иска принципиально иных подходов, одним из которых яв­ляется определение оптимальных управляющих воздейст­вий непосредственно на основе прогнозирующей модели объекта, отражающей внутренние связи в нем.

Одна из схем, относящаяся ко второму подходу в соот­ветствии с принятой выше классификацией, представлена на рис. 6. Для лучшей сравнимости с предыдущей схемой (рис. 5) здесь также взяты две входных x₁, х₂ и две вы­ходных переменных у₁, у₂, хотя в общем случае, естествен­но, их число может быть и большим. Аргумент t для про­стоты везде опущен.

В основу работы системы, представленной на рис.6, положен выдвинутый известным советским ученым А. А. Фельдбаумом принцип дуального управления, нашед­ший дальнейшее развитие в управлении на основе обучае­мой (подстраиваемой модели). Идея этого принципа заключается в следующем:

на каждом такте (этапе) управления сначала изучают объект (получают необходимые знания о нем),

а затем на основе этих знаний принимают реше­ние о нанесении управляющих воздействий.

Остановимся подробнее на работе рассматриваемой схемы.

Информация о подаваемых на вход объекта рас­ходах вещества или энергии (х₁, х₂ и т. д.) одновременно поступает также на входы модели и идентификатора. Вы­ходы модели y_1M, y_2M сравниваются с выходами объекта y₁ и y₂.

Ошибки модели по каждому из каналов , вместе с информацией о входах x₁, х₂ используются идентификатором для подстройки параметров модели (коэффициентов b₁, b₂ и т. д.).

Например, для линейного случая векторное уравнение адаптивной идентификации имеет вид:

где Z_t — вектор входов;

y_t — выход;

В — вектор коэффициентов.

Выражение в фигурных скобках представляет собой не­вязку (ошибку модели). Интенсивность подстройки модели определяется коэффициентом α, зависящим в основном от статистических свойств помехи Е. Качество управления в рассматриваемой системе определяется прежде всего адек­ватностью структуры модели и ее параметров, что в свою очередь зависит от выбора алгоритма подстройки (адап­тации).

Управляющее устройство (алгоритм), ориентируясь на заданный критерий (цель) оптимизации Q, осуществляет на модели машинный эксперимент (чаще всего с помощью одного из поисковых алгоритмов), направленный на опре­деление значений управляющих воздействий (входов х₁ и х₂) и соответствующих им значений выходов y₁; у₂, удовлет­воряющих заданному критерию оптимальности.

В простей­шем случае задача может сводиться к поддержа­нию заданных значений выходов. Иногда возможно анали­тическое преобразование модели объекта в управляющий алгоритм, но тогда мы по существу приходим к схеме, пред­ставленной на рис. 5.

Отличительной же особенностью рассматриваемого подхода (см. рис. 6) является разделение на два после­довательных такта задач исследования объекта и управле­ния им, что дает возможность наряду с решением задач управления получать знания о характеристиках объекта, что в свою очередь может быть использовано для дальней­шего совершенствования алгоритмов управления. При этом облегчается в необходимых случаях также диалоговый режим взаимодействия с оператором-технологом. Немало­важным преимуществом является возможность избежать дестабилизирующего воздействия отдельных каналов друг на друга, поскольку в рассматриваемой схеме управляю­щие воздействия на модели могут быть выбраны таким об­разом, чтобы они сразу удовлетворяли оптимальным тра­екториям всех выходов. В этом случае можно либо вообще обойтись без локальных контуров регулирования, реализуя полученные значения управлений непосредственно через исполнительные механизмы ИМ₁, ИМ₂, либо значительно облегчить работу этих контуров.

Таким образом, в рассмотренном подходе центр тяжести проблемы переносится в область создания адекватной модели, исследования и оптимизации объекта на ее осно­ве. Именно этому будет посвящен следующий вопрос настоящей лекции.