Интегральная формула Муавра-Лапласа.

Пусть 0<p<1 , тогда для случайной величины, имеющей биноминальное распределение с параметром р, при для любых a и b справедлива формула

Это означает следующее. Для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между , можно использовать формулу

,

где .

В Mathcad для вычисления значений Ф(х) предназначена функция pnorm(x,k0,1)

Пояснения к заданию № 3.

Исследуйте для указанного биноминального распределения точность интегральной формулы Муавра – Лапласа.

Порядок выполнения задания.

1. Вычислите требуемые вероятности по формуле Бернулли.

2. Вычислите требуемые вероятности по интегральной формуле Муавра-Лапласа.

3. Вычислите требуемые вероятности по модифицированной интегральной формуле Муавра-Лапласа

4. Сравните полученные результаты.

Пример выполнения задания.

Вероятность рождения мальчика p=0.51 , а девочки q=1-p=0.49. Найти вероятность того, что среди 10000 новорожденных мальчиков будет не менее 4000 и не более 5000. Проведите вычисления по формуле Бернулли и по приближенным интегральным формулам Муавра-Лапласа. Сравните результаты.

Фрагмент рабочего документа Mathcad с решением задачи приведен ниже.

Приведенные вычисления полностью подтверждают теоретические утверждения : приближенные значения вероятностей совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли.

Порядок выполнения работы.

Задание № 1

Исследуйте для приведенного в задании эксперимента точность фсимптотической формулы Пуассона. Вычислите вероятность события для биноминального распределения и по приближенной формуле Пуассона . Для сравнения выполните вычисления для и .

В а р и а н т ы 1-10. Провайдер обслуживает n абонентов сети Internet . Вероятность того, что любой абонент захочет войти в сеть в течение часа, равна р. Найти вероятность тоо, что в течение часа более k абонентов попытаются войти в сеть.

В а р и а н ты 11-20. Магазин продает в течение одного дня n коробок конфет, часть которых с сюрпризом. Вероятность того, что коробка с сюрпризом, равна р. Найти вероятность того, что в течение дня продано более k коробок с сюрпризом.

N	p	n	k	N	p	n	k
		0.003				0.0020
		0.0029				0.019
		0.0028				0.0018
		0.0027				0.0017
		0.0026				0.0016
		0.0025				0.0015
		0.0024				0.0014
		0.0023				0.0013
		0.0022				0.0012
		0.0021				0.0011

Задание № 2

Исследуйте для указанных значений параметров биноминального распределения точность асимптотической формулы Муавра-Лапласа. Для указанных значений n и p вычислите вероятность того, что случайная величина , имеющая биномиальное распределение , принимает значение, равное . Проведите вычисления по формуле Бернулли и по приближенной формуле Муавра-Лапласа. Сравните результаты.

N	n	p	N	n	p
	10 , 20 , 70, 100	0.70 , 0.20		10 , 23 , 70 , 100	0.73 , 0.23
	12 ,22 , 72 , 100	0.69 , 0.19		7 , 17 ,67 ,100	0.67 , 0.17
	9 , 19 , 69 , 100	0.71 , 0.21		8 , 18 , 68 , 100	0.72 , 0.22
	15 , 25 , 75 , 100	0.60 , 0.30		13 ,23 ,73 , 100	0.60 , 0.30
	16 , 26 , 76 , 100	0.59 , 0.29		13 , 23, 73 , 100	0.59 , 0.29
	14 , 24 , 74 , 100	0.61 , 0.31		30 ,50 , 80 , 100	0.61 , 0.31
	30 , 50 , 80 , 100	0.50, 0.20		29 , 49 , 79 , 100	0.50 , 0.20
	29 ,49 , 79 , 100	0.51 , 0.21		33 , 43 , 73 , 100	0.51 , 0.21
	31 , 51 , 81 , 100	0.49 , 0.19		31, 51 , 71 , 100	0.55 , 0.25
	33 , 43 , 73 , 100	0.53 , 0.23		33, 43 , 73 , 100	0.55 , 0.25

Задание № 3.

Исследуйте для указанного биноминального распределения точность интегральной формулы Муавра-Лапласа.

В а р и а н т ы 1-10. Вероятность того, что произвольно выбранный абонент сети INTERNET – студент, равна р. Найти вероятность того, что среди n абонентов некоторого провайдера студентов не менее и не более .

В а р и а н т ы 11-20. Вероятность того , что человек, вошедший в магазин , купит что-нибудь равна р. Найти вероятность того, что среди n посетителей магазина покупателей окажется не менее и не более .

N	p	n				p	n
	0.51					0.61
	0.49					0.62
	0.48					0.63
	0.47					0.63
	0.46					0.64
	0.45					0.65
	0.44					0.66
	0.43					0.67
	0.42					0.68
	0.40					0.39

Контрольные вопросы.

1. Теорема Пуассона.

2. Локальная формула Муавра-Лапласа.

3. Интегральная формула Муавра-Лапласа.

4. Какие функции в Mathcad предназначены для вычисления вероятностей значений и функции распределения случайной величины, распределенной по биноминальному закону, для вычисления функции распределения нормальной стандартной случайной величины.

Содержание отчета.

1. Наименование лабораторной работы.

2. Цель работы.

3. Задания на лабораторную работу.

4. Последовательности операторов Mathcad c вычислениями по каждому из трех заданий и выводы.