Определение характеристик процесса по выборочным данным
Состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания 
по выборочным данным является среднее арифметическое значение 
.
Состоятельной и несмещенной оценкой 
является исправленная выборочная дисперсия 
.
Нормированная автокорреляционная функция
,
где: 
– коэффициент автокорреляции при запаздывании (лаге) равном 
;
– математическое ожидание;
– наблюдение в момент времени 
;
– период наблюдений.
В качестве оценки нормированной автокорреляционной функции случайного процесса, представленного временным рядом 
длины принимают
,
где:
– выборочный коэффициент автокорреляции при лаге равном 
;
- выборочное среднее;
– наблюдение в 
-ый момент времени;
– число наблюдений.
С ростом точность оценки заметно снижается. На практике обычно максимальное значение 
.
Как определить, что коэффициенты автокорреляции существенно отличаются от 0? Выдвигаем гипотезу 
, что оцениваемый истинный коэффициент корреляции 
. Альтернативная гипотеза 
: 
. Коэффициент является оценкой параметра 
. Для проверки может быть использована статистика, имеющее распределение Стьюдента 
, где 
- уровень значимости, 
- число степеней свободы. В случае 
можно считать, что величина 
соответствует простейшему нормальному распределению
, где 
.
Таким образом, для каждого значения мы можем вычислить требуемый доверительный интервал 
. Границы 95% доверительного интервала обычно наносятся на график корреляционной функции.
Порядок выполнения работы
Для КАЖДОГОиз исследуемых процессов (ДЛЯ ДВУХ РАЗНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРА):
1) гармонический сигнала со случайной фазой;
2) обобщенного телеграфного сигнала;
3) процесса авторегрессии 1–го порядка;
4) последовательности независимых случайных величин;
построенных в соответствии с параметрами, указанными в вариантах, проделать следующие процедуры:
· Графически показать временную реализацию.
· Найти среднее значение и выборочную дисперсию. Сравнить с теоретическими.
· Построить гистограмму выборочных данных. Пояснить выборочный закон распределения.
· Построить выборочную нормированную корреляционную функцию. Построить теоретическую нормированную корреляционную функцию. Сравнить.
· Сравнить реализации, гистограммы и корреляционные функции, построенные для двух разных значений параметра.
· Сделать выводы о стационарности и эргодичности процессов.
Контрольный пример
Процесс авторегрессии 1-го порядка
Выборочная реализация процесса
- 
=0.415353 
=4.40385 =0.00708105 = 4.8817
Гистограмма
Выборочная нормированная корреляционная функция
Теоретическая нормированная корреляционная функция
Вопросы
1. Дайте определение случайного процесса.
2. Дайте определение матожидания и дисперсии случайного процесса.
3. Дайте определение случайного процесса, стационарного в широком смысле.
4. Дайте определение эргодического случайного процесса.
5. Дайте определение корреляционной функции случайного процесса.
6. Что характеризует корреляционная функция?
7. Как строится оценка матожидания и дисперсии по выборочным данным?
8. Как строится оценка корреляционной функции по выборочным данным?
9. Что такое гистограмма и как ее построить?
10. Что означают свойства состоятельности и несмещенности оценки параметра?
11. Дайте определение процесса авторегрессии 1-го порядка.
12. Какими статистическими характеристиками обладает стационарный процесс авторегрессии 1-го порядка?
13. Как сгенерировать реализации обобщенного телеграфного сигнала?
14. Какими статистическими характеристиками обладает обобщенный телеграфный сигнал?
15. Как сгенерировать реализации гармонический сигнал со случайной фазой?
16. Какими статистическими характеристиками обладает гармонический сигнал со случайной фазой?
Варианты
Для построения сигналов с двумя значениями параметра использовать свой номер варианта N
1. гармонический сигнал со случайной фазой: А=N; 1) w1=N, 2) w2=5N-1
2. обобщенный телеграфный сигнал: 1) λ=10/ N; 1) λ=1/ N
3. процесс авторегрессии: 
; 1) 
=0.(2N+1) (например, N=9, =0.19) 1) =-0.N
4. последовательность независимых случайных величин 1) с равномерным распределением 
; 2) с нормальным распределением 