Распределённых случайных величин

Сравнение выборочной дисперсии с известной генеральной. В некоторых случаях имеющийся большой экспериментальный материал позволяет с высокой точностью и статистической надёжностью оценить генеральную дисперсию исследуемой величины σ²₀.

Допустим, что в связи с изменением технологии производства деталей была испытана серия образцов объёмом n, по результатам которой вычислена оценка дисперсии s². Требуется проверить нулевую гипотезу Н₀, заключающуюся в том, что дисперсия σ² генеральной совокупности, из которой взята выборка, равна σ²₀. Рассмотрим решение этой задачи при трёх возможных альтернативных гипотезах Н_А.

1) Н_А: σ² > σ²₀. Если для выбранного уровня значимости α выполняется неравенство

≤ , (3.3)

то нулевую гипотезу σ² = σ²₀ не отклоняют.

Если неравенство (3.3) несправедливо, то принимают альтернативную гипотезу σ² > σ²₀.

2) Н_А: σ² < σ²₀. Если для выбранного уровня значимости α выполняется неравенство

≥ , (3.4)

то нулевую гипотезу σ² = σ²₀ не отклоняют.

Если неравенство (3.4) несправедливо, то принимают альтернативную гипотезу σ² < σ²₀.

3) Н_А: σ² ≠ σ²₀. Если для выбранного уровня значимости α выполняются неравенства

≤ ≤ , (3.5)

то нулевую гипотезу σ² = σ²₀ не отклоняют.

Если неравенства (3.5) несправедливо, то принимают альтернативную гипотезу σ² ≠ σ²₀.

При использовании критериев значимости, важно, задаваясь приемлемой величиной уровня значимости α, обеспечить достаточно низкую вероятность ошибки второго рода, т.е. иметь достаточно высокую уверенность в браковке нулевой гипотезы в то время, когда верна альтернативная. Для повышения уверенности при значениях n ≥ 15 минимально необходимый объём выборки можно найти по формуле:

n = 1,5 + 0,5 , (3.6)

где Δ_σ – максимальное относительное расхождение (ошибка) в средних квадратических отклонениях при принятии нулевой гипотезы, λ² = = (1 +Δ_σ)² – мощность одностороннего критерия.

В случае использования двустороннего критерия (3.5)

n = 1,5 + 0,5 , (3.7)

Таблица 3.2 – Минимально необходимый объём выборки n при проверке гипотезы σ² = σ²₀

β	α	Δσ
0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
0,05	0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10
0,01	0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

Пример 3.2.По результатам испытания 20 образцов произведена оценка дисперсии s² = 126,9. Проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что выборка взята из генеральной совокупности с дисперсией σ²₀ = 100 против альтернативной σ² > σ²₀.

Вычисляем левую часть неравенства (3.3):

= =1,269

Задаёмсяα = 0,05 и по таблице 2.10 находим для k = n – 1 = 19

χ²_0,05 = 30,1

Вычисляем правую часть соотношения (3.3)

= = 1,584

Заключение: неравенство (3.3) выполняется, следовательно, нулевую гипотезу не бракуем.

Пример 3.3. Определить минимальный объём выборки для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий с помощью двустороннего критерия (3.5), если α = 0,05; β = 0,10 и Δσ = 0,3

По таблице 2.8 находим z_1–β = z_0,9 = 1,282; z_1–α/2 = z_0,975 = 1,960.

На основании формулы (3.7) определяем

n = 1,5 + 0,5 ≈ 75.

Критерий равенства дисперсий двух генеральных совокупностей. Пусть по результатам испытаний двух независимых выборок объёмом n₁ и n₂ из нормально распределённых совокупностей подсчитаны оценки дисперсий, причём s²₁ > s²₂. Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что указанные выборки принадлежат генеральным совокупностям с равными дисперсиями, т.е. σ²₁ = σ²₂ = σ² при альтернативной гипотезе σ²₁ ≠ σ²₂. С этой целью используют двусторонний F-критерий (критерий Фишера), для чего находят статистику

F = при s²₁ > s²₂. (3.8)

И сопоставляют с критическим значением F_1–α/2, представленным в 3.3

Если

F = ≤ F_1–α/2, (3.9)

то гипотезу о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, т.е. σ²₁ = σ²₂ = σ², не отклоняют.

В случае невыполнения неравенства (3.9) нулевую гипотезу отвергают.

При альтернативной гипотезе σ²₁ > σ²₂ используют односторонний критерий

F = ≤ F_1–α, (3.10)

если неравенство выполняется, то нулевую гипотезу не отвергают. В противном случае принимают σ²₁ > σ²₂.

В случае подтверждения нулевой гипотезы σ²₁ = σ²₂ = σ² по двум выборочным дисперсиям производят новую оценку генеральной дисперсии σ²:

s² = .

Пример 3.4. В результате испытаний двух партий 30 образцов и 20 образцов соответственно найдены выборочные средние значения и дисперсии предела прочности сплава. α = 0,1.

= 401; s₁² = 82.

= 409; s₂² = 71

Требуется проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий предела прочности материала при альтернативной гипотезе σ²₁ ≠ σ²₂.

В соответствии с соотношением (3.10)

F = = 1,15.

Для принятого уровня значимости α = 0,1; k₁ = n₁ – 1 = 29 и k₂ = n₂ – 1 = 19 по таблице 3.3 находим

F_1–α/2 = F_0,95 = 2,08

и сопоставляем с вычисленным значением

F = 1,15 < F_0,95 = 2,08.

Заключение: дисперсии однородны.

Таблица 3.3 – Значение пяти- (верхние строки) и однопроцентных (нижние строки) верхних пределов величин F в зависимости от степени свободы k₁ = n₁ – 1 и k₂ = n₂ – 1

k2	k1
	18,51 98,49	19,00 99,01	19,16 99,17	19,25 99,25	19,30 99,30	19,33 99,33	19,36 99,34	19,37 99,36	19,38 99,38	19,39 99,40	19,40 99,41	19,41 99,42	19,42 99,43	19,43 99,44	19,44 99,45	19,45 99,46	19,46 99,47
	10,13 34,12	9,55 30,81	9,28 29,46	9,12 28,71	9,01 28,24	8,94 27,91	8,88 27,67	8,84 27,49	8,81 27,34	8,78 27,23	8,76 27,13	8,74 27,05	8,71 26,92	8,69 26,83	8,66 26,69	8,64 26,60	8,62 26,50
	7,71 21,20	6,94 18,00	6,59 16,69	6,39 15,98	6,26 15,52	6,16 15,21	6,09 14,98	6,04 14,80	6,00 14,66	5,96 14,54	5,93 14,45	5,91 14,37	5,87 14,24	5,84 14,15	5,80 14,02	5,77 13,93	5,74 13,83
	6,61 16,26	5,79 13,27	5,41 12,06	5,19 11,39	5,05 10,97	4,95 10,67	4,88 10,45	4,82 10,27	4,78 10,15	4,74 10,05	4,70 9,96	4,68 9,89	4,64 9,77	4,60 9,68	4,56 9,55	4,53 9,47	4,50 9,38
	5,99 13,74	5,14 10,92	4,76 9,78	4,53 9,15	4,39 8,75	4,28 8,47	4,21 8,26	4,15 8,10	4,10 7,98	4,06 7,87	4,03 7,79	4,00 7,72	3,96 7,60	3,92 7,52	3,87 7,39	3,84 7,31	3,81 7,23
	5,59 12,25	4,74 9,55	4,35 8,45	4,12 7,85	3,97 7,46	3,87 7,19	3,79 7,00	3,73 6,84	3,68 6,71	3,63 6,62	3,60 6,54	3,57 6,47	3,52 6,35	3,49 6,27	3,44 6,15	3,41 6,07	3,38 5,98
	5,32 11,25	4,46 8,65	4,07 7,59	3,84 7,01	3,69 6,63	3,58 6,37	3,50 6,19	3,44 6,03	3,39 5,91	3,34 5,82	3,31 5,74	3,28 5,67	3,23 5,56	3,20 5,48	3,15 5,36	3,12 5,28	3,08 5,20
	5,12 10,56	4,26 8,02	3,86 6,99	3,63 6,42	3,48 6,06	3,37 5,80	3,29 5,62	3,23 5,47	3,18 5,35	3,13 5,26	3,10 5,18	3,07 5,11	3,02 5,00	2,98 4,92	2,93 4,80	2,90 4,73	2,86 4,64
	4,96 10,04	4,10 7,56	3,71 6,55	3,48 5,99	3,33 5,64	3,22 5,39	3,14 5,21	3,07 5,06	3,02 4,95	2,97 4,85	2,94 4,78	2,91 4,71	2,86 4,60	2,82 4,52	2,77 4,41	2,74 4,33	2,70 4,25
	4,75 9,33	3,88 6,93	3,49 5,95	2,36 5,41	3,11 5,06	3,00 4,82	2,92 4,65	2,85 4,50	2,80 4,39	2,76 4,30	2,72 4,22	2,69 4,16	2,64 4,05	2,60 3,98	2,54 3,86	2,50 3,78	2,46 3,70
	4,60 8,86	3,74 6,51	3,34 5,56	3,11 5,03	2,96 4,69	2,85 4,46	2,77 4,28	2,70 4,14	2,65 4,03	2,60 3,94	2,56 3,86	2,53 3,80	2,48 3,70	2,44 3,62	2,39 3,51	2,35 3,43	2,31 3,34
	4,49 8,53	3,63 6,23	3,24 5,29	3,01 4,77	2,85 4,44	2,74 4,20	2,66 4,03	2,59 3,89	2,54 3,78	2,49 3,69	2,45 3,61	2,42 3,55	2,37 3,45	2,33 3,37	2,28 3,25	2,24 3,18	2,20 3,10
	4,41 8,28	3,55 6,01	3,16 5,09	2,93 4,58	2,77 4,25	2,66 4,01	2,58 3,85	2,51 3,71	2,46 3,60	2,41 3,51	2,37 3,44	2,34 3,37	2,29 3,27	2,25 3,19	2,19 3,07	2,15 3,00	2,11 2,91
	4,35 8,10	3,49 5,85	3,10 4,94	2,87 4,43	2,71 4,10	2,60 3,87	2,52 3,71	2,45 3,56	2,40 3,45	2,35 3,37	2,31 3,30	2,28 3,23	2,23 3,13	2,18 3,05	2,12 2,94	2,08 2,86	2,04 2,77
	4,30 7,94	3,44 5,72	3,05 4,82	2,82 4,31	2,66 3,99	2,55 3,76	2,47 3,59	2,40 3,45	2,35 3,35	2,30 3,26	2,26 3,18	2,23 3,12	2,18 3,02	2,13 2,94	2,07 2,83	2,03 2,75	1,98 2,67
	4,26 7,82	3,40 5,61	3,01 4,72	2,78 4,22	2,62 3,90	2,51 3,67	2,43 3,50	2,36 3,36	2,30 3,25	2,26 3,17	2,22 3,09	2,18 3,03	2,13 2,93	2,09 2,85	2,02 2,74	1,98 2,66	1,94 2,58
	4,22 7,72	3,37 5,53	2,98 4,64	2,74 4,14	2,59 3,82	2,47 3,59	2,39 3,42	2,32 3,29	2,27 3,17	2,22 3,09	2,18 3,02	2,15 2,96	2,10 2,86	2,05 2,77	1,99 2,66	1,95 2,58	1,90 2,50
	4,20 7,64	3,34 5,45	2,95 4,57	2,71 4,07	2,56 3,76	2,44 3,53	2,36 3,36	2,29 3,23	2,24 3,11	2,19 3,03	2,15 2,95	2,12 2,90	2,06 2,80	2,02 2,71	1,96 2,60	1,91 2,52	1,87 2,44
	4,17 7,56	3,32 5,39	2,92 4,51	2,69 4,02	2,53 3,70	2,42 3,47	2,34 3,30	2,27 3,17	2,21 3,06	2,16 2,98	2,12 2,90	2,09 2,84	2,04 2,74	1,99 2,66	1,93 2,55	1,89 2,47	1,84 2,38