Побудова експериментальної функції щільності ймовірності розподілення похибок вимірювань.

Національний Технічний Університет України "Київський Політехнічний Інститут" Інститут телекомунікаційних систем

Розрахунково-графічна робота з дисципліни:
"Метрологія, стандартизація, сертифікація і акредитація"

На тему: «Вивчення похибки багаторазових вимірювань параметрів елементів радіоелектронної апаратури (РЕА)»

Виконав:

ст. гр. Т3-91

Божок А.А.

Захистив роботу

“____ “___________ 2010 р.

на оцінку:

Київ -2010

Виконання роботи:

Вихідні данні:

Найменування елемента РЭА: індуктивність;

Результати вимірювань значень параметрів РЭА:

Номер заміру	Значення параметру	∆i	∆i2
1		-52,3	2735,29
2		-49,3	2430,49
3		-48,3	2332,89
4		-46,3	2143,69
5		-42,3	1789,29
6		-41,3	1705,69
7		-39,3	1544,49
8		-33,3	1108,89
9		-20,3	412,09
10		-16,3	265,69
11		-15,3	234,09
12		-14,3	204,49
13		-8,3	68,89
14		-3,3	10,89
15		1,7	2,89
16		1,7	2,89
17		10,7	114,49
18		12,7	161,29
19		14,7	216,09
20		17,7	313,29
21		19,7	388,09
22		27,7	767,29
23		29,7	882,09
24		30,7	942,49
25		33,7	1135,69
26		35,7	1274,49
27		44,7	1998,09
28		47,7	2275,29
29		49,7	2470,09
30		51,7	2672,89

Номінальне значення: 278 мГн

М(X)	∑∆i	σ	σсер
277,3		33,53038	6,121781

Середньоквадратичне відхилення:

= 33,53038 мГн

Дисперсія:

1124,286 мГн

Середньоквадратичне відхилення середнього арифметичного:

= 6,121781 мГн

Математичне сподівання:

М(X)= = 277,3 мГн

Перевірка ряду значень на наявність грубих похибок.

Це легко зробити по ряду квадратів залишкових відхилень ∆_i². Виділяється значення можна вважати промахом тільки в тому випадку, якщо ймовірність його появи є досить малою, тобто меншою, ніж це передбачає закон розподілу випадкових похибок. Вирахувати величину:

Знайденні значення t_i порівнюють с t_кр :

якщо t_i > t_кр то результат прибираємо

якщо t_i < t_кр то результат залишаємо у ряді

Максимальне значення: 51,7

Мінімальне значення: -52,3

t_max= 1,541885

t_min= = 1,55978

По таблиці t_кр=2.64

t_max < t_кр и t_min < t_кр значить у нашому ряду значень грубих похибок немає.

Розрахунок значення параметра найбільш близького до справжнього значення і його похибка при довірчій ймовірності 0,95.

Для кількості вимірювань n = 30> 20 довірчий інтервал знаходиться за допомогою функції розподілу Лапласа Ф(z), значення якої наведено у таблицях,

Ф(z)=P_д ,

де P_д =0,95 – довірчий інтервал.

Для Ф(z)=0,95 z=1,96

За формулою D=z* ,

деz – аргумент функції Лапласа

D=1,96*6,121781 =11,99869 мГн

Тоді результат буде записуватися в такому вигляді:

МГн

Побудова гістограми

Розіб'ємо весь діапазон значень, які приймає досліджувана величина на під діапазони (розряди). У відповідності з теорією, розряди можуть бути як однаковою довжини, так і різної. У даному випадку зручно вибирати розряди різної довжини.

Номер розряду	Діапазон	Значення, що попадають у діапазон
	-55…-44	-52,3	-49,3	-48,3	-46,3
	-44…-33	-42,3	-41,3	-39,3	-33,3
	-33…-15	-20,3	-16,3	-15,3
	-15…0	-14,3	-8,3	-3,3
	0…11	1,7	1,7	10,7
	11…22	12,7	14,7	17,7	19,7
	22…33	27,7	29,7	30,7
	33…45	33,7	35,7	44,7
	45…55	47,7	49,7	51,7

Тоді статистичний ряд буде мати наступний вигляд:

№ інтервалу	Інтервал	К-ть значень mi	Статистична ймовірність рі = mi/n попадання в інтервал	Довжина діапазон ( li )	Висота стовпчика гістограми h=pi/li
	-55…-44		0,133333		0,012121
	-44…-33		0,133333	0,012121
	-33…-15		0,1		0,005556
	-15…0		0,1		0,006667
	0…11		0,1		0,009091
	11…22		0,133333	0,012121
	22…33		0,1	0,009091
	33…45		0,1		0,008333
	45…55		0,1		0,01

Побудуємо гістограму

Гістограма будується наступним чином: по осі абсцис відкладаються розряди, і на кожному з розрядів як їх підставі будується прямокутник, площа якого дорівнює частоті даного розряду. Ця умова виконується, якщо висота прямокутника визначається як відношення частоти кожного розряду до довжини цього розряду:

Побудова експериментальної функції щільності ймовірності розподілення похибок вимірювань.

№ інтервалу	Границя інтервалу	Експериментальна щільність, pi/li
	-55	0,012121
	-44	0,012121
	-33	0,005556
	-15	0,006667
		0,009091
		0,012121
		0,009091
		0,008333

Графік експериментальної функції розподілення щільності ймовірності

Теоретичні відомості

Основне завдання мат. статистики - розробка методів реєстрації, опису й аналізу експериментальних даних, що утворюються в результаті спостережень випадкових числових явищ.
Метою є побудова найбільш точної мат. моделі спостережуваного явища з можливістю подальшого прогнозування.
Об'єктом спостереження є деяка сукупність експериментальних даних, отриманих у результаті деякого експерименту або яким або іншим шляхом.
Перший крок - першорядна обробка даних з метою зведення до більш зручного виду для дослідження.

Статистичний ряд розподілу якої-небудь випадкової величини А - таблиця, що складається з інтервалів, на які розбитий весь діапазон значень А, і частот входження значень А в даний діапазон ( р_i=m_i/n, де m_i - кількість значень А, які потрапляють в i -й проміжок).

Гістограма – спосіб графічного представлення статистичного ряду. Побудова здійснюється: на осі абсцис відкладаються інтервали, і на кожному інтервалі будується стовпчик, площа якого відповідає частоті в i -му інтервалі.

Математичне сподівання – чисельна характеристика, що визначає деяку середньостатистичну величину, визначається за формулою:

Де a_i - значення випадкової величини в i-му спостереженні, n - число спостережень.

Середньоквадратичне відхилення – кількісна характеристика розподілу випадкової величини, яке визначає певний середньо очікуване відхилення значень випадкової величини від її середнього статистичного. , де D_i -відхилення виміряного значення від заданого

Дисперсія – числова характеристика розподілу, що визначає ступінь розкиду випадкової величини біля її математичного сподівання.

Де a_i - значення випадкової величини в i -му спостереженні, n - число спостережень.

Наступний крок – підбор відповідно для отриманих даних мат. моделі, яка буде найбільш точно описувати випадковий процес, характеристики якого визначаються в процесі даного дослідження.

Одним з найбільш поширених видів математичної моделі випадкових процесів - є функція розподілу щільності ймовірності.

Її визначають як похідну функції розподілу випадкової величини. Її сенс: встановлення залежності розподілу площині ймовірності випадкової величини від значень цієї величини (функція, що описує ймовірність потрапляння значення випадкової величини в деяку околицю значення цієї величини, віднесену до протяжності цієї околиці).

Процес вибору мат. моделі отримав назву «вирівнювання статистичних рядів». Його суть полягає у виборі теоретичної кривої розподілу, яка висловлює лише загальні риси статистичного матеріалу, відкидаючи випадкові, пов'язані з недостатнім обсягом експериментальних даних.

Якщо під час перевірки оптимізується негативний результат, завдання побудови мат. моделі вважається невиконаною і вимагає на другому етапі більш детального аналізу.

Всі знайдені результати запишемо в таблицю:

Параметр	Результат
Математичне сподівання (середнє арифметичне)	277,3 мГн
Дисперсія	1124,286 мГн
Середньоквадратичне відхилення	33,53038 мГн
Середньоквадратичне відхилення середнього арифметичного	6,121781 мГн
Наявність грубих помилок	немає
Довірчий інтервал	11,99869 мГн

Висновки:

У ході виконання роботи було проаналізовано ряд значень, отриманий у ході вимірювання елементів РЄА. Всі вимірювання можна вважати достовірними, оскільки грубих помилок не знайдено і отриманий результат:

((277,3 11,99869) мГн
В результаті проведених розрахунків можна зробити висновок, що параметри елемента РЄА – індуктивності є випадковими величинами. Збільшення кількості вимірювань призведе до зростання ймовірності.
У процесі виконання роботи ширина досліджуваних інтервалів вибиралася не однаковою.

Література:
[1] Л. В. Коломієць Електрорадіоізмеренія: Навчальний посібник для вузов.-Л.: Энергоатомиздат. Ленінгр. отд-ня, 1983.-320 с., мул.
[2] Конспект лекцій (за А. А. Вульпе)