Критерии полной управляемости.

Критерий управляемости пары точек.

Пора вернуться к построению нашего критерия управляемости пары точек.

Чуть раньше можете перечитать постановку задачи.

Теорема 1:

Пара точек управляема на [0,T] тогда и только тогда, когда .

Доказательство:

Пусть верно равенство . Покажем, что тогда пара точек управляема, то есть будет существовать управление , которое переводит объект управления из точки в точку за время Т.

Согласно лемме о представлении допустимого решения, мы можем это управление записать в виде

.

Подставляя это выражение в формулу Коши, для решения СЛДУ, и используя, введенные ранее обозначения имеем:

В скобках, второй интеграл, согласно свойству ортогональности равен нулю.

Так как, мы строим программное управление, то в момент времени T это решение должно проходить через точку .

Так как мы условились, что верно равенство , то по теореме Кронекера – Копелли, данная система совместна. Следовательно будет существовать вектор С удовлетворяющий . Осталось только подобрать соответствующее функцию , которое будет удовлетворять условию ортогональности. Таких функций существует целое семейство. Можно выбрать любую из них, в частном случае, даже тривиальную тождественно равную нулю

Необходимость:

Теперь будем полагать, что пара точек управляема. Нужно показать, что при этом будет верно равенство .

Докажем «от противного».

Пусть это не так, т.е. Тогда вектор нельзя представить в виде линейно комбинации столбиков матрицы Г.

Тогда должен существовать некоторый ненулевой вектор z, такой что

(6)

Умножим первое равенство на z

Теперь распишем это равенство

Отсюда следует, что

По исходному предположению, пара точек управляема, значит есть некоторый вектор С удовлетворяющий управлению, представленному в виде:

Подставляя это выражение в формулу Коши и проделываем аналогичные действия имеем:

И так как управление программное:

Умножаем последнее равенство на имеем:

Левая часть равенства не равна нулю согласно (6). А вот правая часть равна нулю. Получаем противоречие. Следовательно, наше «противное» предположение не верно.

Критерии полной управляемости.

Теорема 2 (Первый критерий полной управляемости):

Система (1) полностью управляема на [0,T] тогда и только тогда, когда

Доказательство:

Достаточность. Знаем, что . Покажем, что система полностью управляема.

Выберем произвольную пару точек По теореме 1, она управляема, так как не может быть больше чем n. Так как мы выбрали произвольную пару точек, то значит любые две точки управляемы, следовательно вся система полностью управляема, по определению полностью управляемой системы.

Необходимость:

Считаем, что система полностью управляема. Покажем, что .

Из того, что система полностью управляема, по определению следует, что любая пара точек управляема. Это означает, что подбирая точки мы можем получить любой вектор . Для любой пары точек верна теорема 1 . А такое возможно только тогда, когда

Следствие 1. Система (1) полностью управляема на [0,T] тогда и только тогда, когда положительно-определенная квадратичная форма.

Квадратичная форма называется положительно-определенной когда, для любого вектора верно .

Следствие 2. Если система (1) полностью управляема на [0,T], то для любого система (1) также будет полностью управляемой на промежутке .

Здесь первое слагаемое положительно-определенная квадратичная форма, а второе больше либо равно нулю. Значит и вся исходная квадратичная форма является положительно-определенной.

Кроме того, это естественно следует и из физических соображений. Если за две минуты мы можем переместить систему из точки в точку , то и за пять минут мы её туда, конечно, переведем. Хотя бы просто доставим её туда за две минуты и еще три там просто простоим.

Система функций линейно-независима на [0,T], если линейная комбинация тогда и только тогда, когда , здесь - произвольные постоянные.

Пример:

Система функций линейно независима на промежутке [0,1].

Теорема 3 (Второй критерий полной управляемости):

Система (1) полностью управляема на [0,T] тогда и только тогда, когда строки матрицы линейно-независимы на [0,T].

Доказательство:

Достаточность. Знаем, что строки линейно-независимы на [0,T]. Нужно показать, что система (1) полностью управляема.

Рассмотрим квадратичную форму . Распишем её, как уже много раз делали

Так как строки матрицы линейно-независимы на [0,T], то для любого вектора , произведение не равно тождественно нулю на [0,T]. А это значит, что квадратичная форма положительно-определенная. И по следствию 1 система полностью управляема.

Необходимость:

Имеем, что система (1) полностью управляема. Нужно показать, что строки матрицы линейно-независимы на [0,T].

От противного.

Пусть строки линейно-зависимы на [0,T].

Следовательно существует некоторый не нулевой вектор C, такой что

на [0,T].

Следовательно и , а значит и квадратичная форма . Но так, как система полностью управляема, это противоречит следствию 1. Значит наше противное предположение ошибочно.