Можливі варіанти розриву функцій в точці

Неперервність функції

4.3.1. Основні поняття

Означення (Коші)

Функція у = f(x) називається неперервною в точ­ці х0 функцією, якщо ця функція f визначена в точці х0 і для кожного (достатньо малого) числа існує число , таке що при виконується

або

f(x) — неперервна в точці х0, якщо .

Відношення можна переписати у вигляді

Графічна ілюстрація

Рис. 4.9

Пояснення. Функція y = f(x) — неперервна в точці х₀, якщо при будь-якому х з інтервалу значення f(x) лежать у смузі .

Дамо означення неперервності функції, еквівалентні означенню Коші

Означення. Функція y = f(x) називається неперервною в точці х₀, якщо

1) f(x) визначена в точці х₀;

2) границя зліва в точці х₀ дорівнює границі справа в цій точці і дорівнює значенню в ній функції (рис. 4.10):

.

Рис. 4.10

Означення. Функція у = f(x) називається неперервною в точці х₀, якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції .

Приклад. Довести за означенням, що функції y = x² і y = sin x неперервні в будь-якій точці х₀ Î R.

· 1. Надамо аргументу х₀ Î R приросту Dх, тоді .

Якщо Dх — нескінченно мала величина, то Dу — також нескінченно мала величина, оскільки коли Dх ® 0, то і Dу ® 0. Отже, y = x²— неперервна функція при будь-якому х₀ Î R.

2. Надамо аргументу х₀ Î R приросту Dх:

Якщо Dх ® 0, то Dу ® 0. Отже, функція y = sin x неперервна функція при будь-якому х₀ Î R.

Означення. Функція у = f(x) неперервна на проміжку (а, b), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Означення. Функція у = f(x) неперервна на відрізку [а, b], якщо вона неперервна на проміжку (а, b) і неперервна в точці х = а справа і в точці х = b зліва.

Означення. Функція у = f(x) називається неперервною в точці х₀ справа (зліва), якщо

Функція

неперервна в точці х₀ зліва (рис. 4.11).

Рис. 4.11

Теорема 1. Усі елементарні функції неперервні на інтервалах визначеності.

4.3.2. Властивості неперервних функцій

Теорема 2. Нехай функції у = f(x) i y = g(x) — неперервні на інтервалі (а, b). Тоді їх наведені далі комбінації також неперервні:

1) f(x) ± g(x); 3) const g(x);

F(x) g(x); 4) f(x) / g(x), g(x) ¹ 0.

Теорема 3. Якщо функція у = f(x) неперервна в будь-якій точці х₀ і u = F(y) неперервна в точці f(x₀), то їх композиція
f о F — cкладена функція і u = F(f(x)) — неперервна в точці х₀.

Доведення. За означенням

Довести, що функція

неперервна в будь-якій точці х.

· Функція у є композицією двох неперервних функцій

і

Функція f(x) і F(x) неперервна згідно з теоремою 1, а їх композиція f о F неперервна за теоремою 3. ·

4.3.3. Розриви функції

Означення. Функція у = f(x), яка не є неперервною в точці х₀, називається розривною в цій точці.

Можливі варіанти розриву функцій в точці

(рис. 4.12)

Рис. 4.12

(рис. 4.13).

Рис. 4.13

(рис. 4.14)

Рис. 4.14

Означення.	Точка х0 називається точкою розриву першого роду функції у = f(x), якщо існують скінченні границі і при цьому:
	1. або 2. або 3. або	неусувний розрив 1-го роду;
	4. — усувний розрив 1-го роду

Означення.

Точка х0 називається точкою розриву 2-го роду функції у = f(x), якщо одна із границь не існує або нескінченна.

4.3.4. Методика дослідження
функції у = f(x) на неперервність

1. Знаходимо точку х₀ — «підозрілу» на розрив. Це може бути точка, в якій функція невизначена або змінює закон визначеності.

2. Визначаємо інтервали неперервності функції.

3. Обчислюємо

.

4. Робимо висновок згідно з теоремами (якщо такі границі існують), або використовуючи означення точок розриву.

Дослідити на неперервність функцію

Рис. 4.15

1. Точка х₀ = 1 є «підозрілою» на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності (на проміжку (– ¥; 1) маємо у = х, на проміжку (1, +¥) — іншу залежність: у = х + 1).

2. Функція неперервна на проміжках (– ¥; 1) і (1; + ¥).

3. Знаходимо

.

4. , тому за означенням функція має в точці
х = 1 неусувний розрив 1-го роду.

Дослідити на неперервність функцію

· 1. Точка х₀ = 0 є «підозрілою» на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності.

2. (– ¥; 0) (0; + ¥) — множина, де функція неперервна.

3. Знаходимо

1 = 1 =1 — функція неперервна в точці х₀ = 0 за означенням неперервної функції. Отже, інтервалом неперервності функції (рис. 4.8).

4.3.5. Наслідки з формул для визначних границь

1. 2. 3. .

4. . 5.

4.3.6. Порівняння нескінченно
малих величин

Розглянемо функції , , і припустимо, що

де а — скінчена точка або нескінченність, тобто , , — нескінченно малі величини.

Означення. Нескінченно малі величини і називаються нескінченно малими величинами одного порядку мализни, якщо

Означення. Нескінченно мала величина називається нескінченно малою величиною вищого порядку мализни, порівняно з , якщо