Достоверность математического моделирования

Точность результатов математического моделирования, а также возможность практического их внедрения, определяется погрешностями моделирования, которые могут быть на всех этапах решения задачи оптимизации.

Среди основных видов погрешностей можно выделить следующие:

1) погрешность от упрощений при постановке задачи оптимизации;

2) погрешность формул и методов расчета;

3) погрешность решения экстремальной задачи, т.е. погрешность нахождения оптимальных значений параметров.

Погрешность от упрощений при постановке задачи оптимизации

При постановке задачи оптимизации необходимо оценить трудность математического описания и алгоритмизации некоторых процессов. Математические модели, как правило, приближенно описывают реальные процессы, проходящие в теплотехнологической установке. Для упрощения математической модели приходиться в ряде случаев отказываться от учета второстепенных факторов и от их оптимизации.

Для анализа влияния различных факторов на критерий оптимальности могут использоваться сами математические модели. На них можно провести серию расчетов для оценки на критерий оптимизации различных связей. Связи параметров, наиболее сильно влияющие на критерий оптимальности, дополнительно детализируются. Второстепенные связи параметров, слабо влияющие на критерий оптимальности (в пределах допустимой погрешности), могут описываться приближенно. Варьируемые параметры в этом случае фиксируются на определенных значениях.

Например, если моделирование нагрева металла в высокотемпературной нагревательной печи покажет, что учет влияния конвективной составляющей в суммарном теплообмене в ее рабочем пространстве незначительно отражается на величине времени нагрева металла, то расчет суммарного коэффициента теплоотдачи может быть проведен при приближенном учете конвективного теплообмена. Математическая модель нагрева металла в этом случае упростится.

Таким образом, можно, не изменяя существенно размеров математической модели, уменьшить погрешность расчета. Величина погрешности расчета оценивается по результатам моделирования.

Погрешность формул и методов расчета

Существующие методы расчета теплотехнологических установок вследствие сложности и многообразия происходящих в них тепломассообменных процессов ,как правило, являются достаточно приближенными. Эмпирические формулы и расчетные выражения, характеризующие зависимости параметров в установках, также являются приближенными.

Оценку величины погрешности применяемых методов расчета или формул можно проводить, когда есть более точный метод и формула, а также сопоставляя полученные результаты с результатами исследований других авторов. Погрешность аппроксимации эмпирических данных может быть оценена на стадии получения формулы. При решении системы нелинейных уравнений величина погрешности задается.

Результирующая погрешность нахождения оптимальных значений параметров

Суммарная погрешность расчета может быть определена по выражению

где δ_i - погрешность вычисления отдельных параметров математической модели, зависящие от принятых упрощений, методов расчета и формул.

Для модели, построенной оптимально, погрешности δ_i должны быть одного порядка. Если погрешности δ_i значительно отличаются одна от другой, то это значит, что какие-то блоки математической модели слишком детализированы и на их построение и реализацию затрачен большой труд или затрачено большое время счета на ЭВМ, которое незначительно повышает точность решения задачи оптимизации.

Виды задач оптимизации

Решение задачи оптимального проектирования сводится к выбору управляемых параметров x (x = x₁, x₂, …, x_n), принадлежащих к допустимой области D их изменения, и обеспечивающих экстремальное значение критерия оптимальности Q (x).

min Q (x) (1)

В зависимости от числа n управляемых параметров, структуры допустимой области D и вида критерия оптимальности Q (x) задача оптимального проектирования приводится к различным классам математических моделей принятия оптимального решения (1). В тех случаях, когда число управляемых параметров x больше одного , задача параметрической оптимизации называется многопараметрической задачей оптимизации, при n = 1 она называется одномерной задачей оптимизации.

В зависимости от вида критерия оптимальности Q (x) оптимальное решение x^* может быть либо точкой локального минимума, либо точкой глобального минимума.

Вектор x^* называется точкой локального (относительного) минимума, если для всех точек x,принадлежащих p-окрестности d(x^* , p) этой точки, функция Q (x) не принимает меньшего значения.

Вектор x^* является точкой глобального (абсолютного) минимума, если ни в одной другой точке допустимой области D изменения параметра x функция Q (x) не принимает меньшего значения.

Таким образом, глобальный минимум – это наименьший из всех локальных минимумов. На рис.1. показаны точки локальных (x₁^*, x₂^*) и глобального (x₃^*) минимумов для произвольной кривой функции Q (x).

Рис. 1. Произвольная кривая с двумя локальными (х₁^*, х₂^*) и одним глобальным (x₃^*) минимумами

Задача параметрической оптимизации, в которой критерий оптимальности Q (x) имеет в области D единственный локальный минимум, называется одноэкстремальной (унимодальной) задачей оптимизации.

Задача параметрической оптимизации, в которой критерий оптимальности Q (x) имеет несколько локальных минимумов, называется многоэкстремальной задачей оптимизации.

При отсутствии ограничений на параметры x задача параметрической оптимизации называется задачей оптимизации без ограничений (задачей безусловной минимизации).Другими словами, если требуется определить экстремум целевой функции без задания условий на какие-либо другие величины, то такая оптимизация называется безусловной.

При наличии нелинейных ограничений, связывающих управляемые параметры x между собой, задача параметрической оптимизации называется задачей нелинейного программирования (задачей поиска минимума при наличии ограничений):

min Q (x) (2)

,

где D = { x I g_i (x) ≥ 0, 1, 2, …, m }

В некоторых случаях задачу поиска минимума при наличии ограничений можно свести к задаче безусловной минимизации вида:

min Q (z) (3)

,

где Q (z) = Q (x) = Q (f₁ (z), f₂ (z), …, f_n (z) ); f₁ (z) – функция преобразования i – й переменной; z – вектор новых варьируемых переменных. Число новых переменных переменных z_i = n – k, где n – общее число управляемых параметров x, а k – число ограничений типа равенств.

Частным случаем задачи нелинейного программирования (2) является задача минимизации функции Q (x) при наличии ограничений типа равенств:

min Q (x) (4)

,

где D = { x I g_i (x) = b_i, i = 0, 1, 2, …, m <n }

Задача (4) называется задачей на относительный минимум (задачей условной оптимизации). Это установление экстремума целевой функции при некоторых условиях, которые накладываются на ряд других величин (например, определение максимальной производительности при заданной себестоимости, определение оптимальной температуры при ограничениях по термостойкости огнеупорного материала футеровки и др.).

Задача параметрической оптимизации, с дополнительным требованием, чтобы управляемые параметры x принимали только дискретные значения, называется задачей дискретной оптимизации.

В зависимости от управляющих параметров различают следующие задачи оптимизации:

· оптимизация при одной управляющей переменной, т.е. одномерная оптимизация,

· оптимизация при нескольких управляющих переменных – многомерная оптимизация,

· оптимизация при неопределённости данных,

· оптимизация с непрерывными , дискретными и смешанным типом значений управляющих воздействий.

В зависимости от критерия оптимизации различают задачи оптимизации:

· с одним критерием оптимизации- критерий оптимальности единственный.

· со многими критериями. Для решения задач со многими критериями используются специальные методы оптимизации.

Процедура решения задачи оптимизации обязательно включает, помимо выбора управляющих параметров, еще и установление ограничений на эти параметры.

Ограничения могут накладываться как по технологическим, так и по экономическим соображениям.