Приклади для розв’язування
Розділ 2. Степені та логарифми.
План
1. Поняття степені з дійсним показником та кореня n-го степеню
2. Властивості степенів .(*)
3. Властивості коренів.(*)
4. Показникові функція та її графік.(**)
5. Поняття логарифму.
6. Властивості логарифмів.(*)
7. Логарифмічна функція та її графік.(**)
8. Контрольні питання.
9. Приклади для розв’язування.
1. Степені. Корінь n-го степеня.
Степенем числа a з натуральним показником n називається добуток n множників, кожний з яких дорівнює а.
Коренем n степеню з числа а називається таке число b, яке піднесене до степеню n, дає підкореневий вираз:
Степінь з дробовим показником завжди можна представити у вигляді кореню.
Корінь n степеню з числа азавжди можна представити у вигляді степенюз дробовим показником.
Обчислення степенів з цілим, раціональним ( дробовим ) показниками проводять за правилами, наданими в таблиці.
| Степінь з натуральним показником | |
| Степінь з цілим показником | |
| Степінь з дробовим показником |
Властивості степенів.
1. | ||
2. | ||
3. | ||
4. | ||
5. | ||
6. | ||
7. |
3. Властивості кореня n-го степеня.
1. | , | |
2. | - за означенням | |
3. | для будь-яких | |
Корінь з кореня | ||
Корінь із добутку | ||
| Корінь парного степеня із добутку | |
| Корінь із частки | |
| Корінь парного степеня із частки | |
| Основна властивість коренів |
4. Показникова функція та її графік.
Показниковою називається функція, в якій незалежна змінна міститься в показнику степені. Елементарною показниковою функцією є функція:
В залежності від величини основи а слід розглянути наступні випадки:
a>1: , загального вигляду зростаюча на всій області визначення функція; . | |
0<a<1: , загального вигляду спадаюча на всій області визначення функція; . |
Монотонність функції слід враховувати при розв’язуванні показникових нерівностей:знак нерівності не змінюється, якщо основа степені більше одиниці і змінюється на протилежний, якщо основа степені менше одиниці.
Поняття логарифмів.
Логарифмом додатнього числа за основою називається показник степеня, до якого треба піднести , щоб одержати .
, бо
Приклад:
Серед усіх логарифмів виділяють:
· логарифми за основою 10 : ( ), які називають десятковими;
· логарифми за основою е: ( ), які називають натуральними ( )
Властивості логарифмів.
1. | Основна логарифмічна тотожність | |
2. | ||
3. | ||
4. | ||
5. | ||
6. | ||
7. | ||
8. | Формула переходу від однієї основи логарифма до іншої | |
9. | Якщо , то | |
10. | Якщо , то |
Для розв’язування вправ корисними є наслідки з властивостей логарифмів:
·
·
·
- Логарифмічна функція та її графік.
Логарифмічною називається функція, в якій незалежна змінна міститься під знаком логарифмуі. Елементарною логарифмічною функцією є функція
В залежності від величини основи а слід розглянути наступні випадки:
a>1: загального вигляду зростаюча на всій області визначення функція; . | |
0<a<1: , загального вигляду спадаюча на всій області визначення функція; . |
Монотонність функції слід враховувати при розв’язуванні логарифмічних нерівностей: знак нерівності не змінюється, якщо основа логарифму більше одиниці і змінюється на протилежний, якщо основа логарифму менше одиниці
8. Контрольні питання.
1. Дайте визначення степені з натуральним, цілим та раціональним показником.
2. Дайте визначення кореня п-го степеню.
3. Сформулюйте правила дій зі степенями з однаковими основами.
4. Сформулюйте правила переходу від степеню до кореню та навпаки
5. Дайте визначення логарифму за основою а.
6. Сформулюйте правила дій з логарифмами з однаковими основами.
7. Побудуйте графік показникової функції та вкажіть її властивості.
8. Побудуйте графік логарифмічної функції та вкажіть її властивості.
Приклади для розв’язування.
1. Спростити вирази:
2. Замінити степінь з дробовим показником коренем:
3. Подати вираз у вигляді степеня:
4. Знайти значення виразу:
5. Обчислити:
6. Обчислити логарифми та знайти значення виразів:
7. Розв’язати показникові рівняння:
8. Провести необхідні перетворення та розв’язати показникові рівняння:
9. Розв’язати показникові рівняння, що зводяться до квадратних:
10. Розв’яжіть найпростіші показникові нерівності:
11. Розв’яжіть показникові нерівності:
12. Знайти область визначення функцій:
13. Розв’язати логарифмічні рівняння:
14. Розв’язати логарифмічні рівняння, що зводяться до квадратних:
15. Розв’яжіть найпростіші логарифмічні нерівності:
16. Розв’яжіть логарифмічні нерівності: