Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода)

Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Интегрирования (I рода)

Пусть функция f(х) непрерывна на промежутке Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru . Тогда для любого отрезка Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru интеграл Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru существует. При изменении b интеграл изменяется, т.е. он является непрерывной функцией b. Рассмотрим поведение этого интеграла при Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru .

Определение. Если существует конечный предел Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , то его назы-

вают несобственным интеграломI рода от функции f(х) и

обозначают Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru .

Таким образом, по определению Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru . (1)

Если предел, стоящий в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru :

Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru . (2)

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , (3)

где с– любая фиксированная точка оси Ох.

При этом интеграл Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла, стоящих в правой части равенства (3).

Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть (3), расходится, то несобственный интеграл Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru называется расходящимся.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: а) Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru ; б) Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru ; в) Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru .

Решение.

а) Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru

Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru .

Следовательно, интеграл сходится.

б) Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru

Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru . Следовательно, интеграл расходится.

в) Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru

интеграл расходится
интеграл расходится
Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru

Следовательно, исходный интеграл расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла

Если Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , то несобственный интеграл Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru выражает площадь неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru и осью абсцисс (рис. 1).

Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru

а) б)

Рис. 1

На рисунке 1 (а) представлен случай, когда Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru - сходится, а в случае (б) – расходится.

Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода)

Пусть функция Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru непрерывна при Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , а в точке х = b имеет разрыв (рис. 2). В этом случае при любом разбиении отрезка Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru на части Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru функция f(х) будет неограниченной на последнем отрезке. Поэтому, если взять точку Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru достаточно близко к точке b, то можно сделать произведение Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , а следовательно, и интегральную сумму Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , сколь угодно большими.

Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru

Рис. 2

Это значит, что интегральные суммы неограниченны и они не имеют конечного предела при стремлении шага разбиения Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru к нулю, т.е. прежнее определение интеграла неприменимо.

Однако и в этом случае можно обобщить понятие интеграла.

Рассмотрим отрезок Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , где Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , на котором функция f(х) непрерывна.

Определение. Если существует конечный предел определенного интеграла

Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru при Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , то этот предел называется несобствен-

ныминтегралом II родаот разрывной функции и обознача-

ется символом Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru .

Следовательно, Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru . (4)

Если предел, стоящий в правой части равенства (4) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если же указанный предел не существует, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично, если f(х ) разрывна в некоторой внутренней точке х = с

отрезка Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , то необходимо разбить этот отрезок на два: Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru и Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru .

Если несобственные интегралы от данной функции существуют на каждом промежутке, то сумма этих интегралов, по определению, называется несобственным интегралом от функции f(х) на отрезке Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , т.е.

Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru

Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru . (5)

Если хотя бы один из несобственных интегралов, стоящих в правой части равенства (5) не существует, то несобственный интеграл Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru называется расходящимся.

Таким образом, из данных определений видно, что несобственный интеграл от разрывной функции является не пределом интегральных сумм, а пределом определенного интеграла.

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: а) Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru ; б) Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru .

Решение.

а) Подынтегральная функция Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru непрерывна на отрезке интегрирования Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , кроме точки х = 0, где она терпит разрыв второго рода. Тогда, по определению, имеем: Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru . Следовательно, данный интеграл сходится.

б) Подынтегральная функция не существует, если Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru . Так как х = 3 является внутренней точкой отрезка интегрирования Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru , то согласно формуле (3), получаем: Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru

Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru

Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода) - student2.ru .

Так как оба несобственных интеграла расходятся, то расходится и исходный интеграл.

Наши рекомендации