Приклади

1. Обчислити інтеграл від раціональної функції:

Розв'язання. Використаємо формулу (6)

.

2. Обчислити інтеграл від раціональної функції:

Розв'язання. Для цього інтеграла здійснимо заміну змінної

;

3. Обчислити інтеграл від раціональної функції:

Розв'язання. Для знаходження цього інтеграла можна застосувати формулу (8), оскільки виконується умова . Однак обчислимо цей інтеграл виділенням у знаменнику повного квадрату:

= .

Перший інтеграл проінтегруємо методом заміни z=t²+4, dz=2tdt

Другий інтеграл табличний і за формулою (9) дістанемо

.

Отже, .

4. Обчислити інтеграл від раціональної функції: .

Розв'язання. Для обчислення цього інтеграла не можна застосувати формулу (8), оскільки p²-4q=36-20=16>0. Обчислимо його двома способами.

а. Квадратний тричлен у знаменнику має корені, тому розкладається на множники:

.

Розкладемо раціональний дріб на суму найпростіших дробів, застосувавши метод невизначених коефіцієнтів:

.

Прирівнявши коефіцієнти многочленів чисельника при відповідних степенях змінної дістанемо систему рівнянь відносно коефіцієнтів і :

Розв’язком цієї системи є . Тому . Отже,

.

б. Виділимо повний квадрат у знаменнику та здійснимо заміну:

.

Інтеграл знайдемо, здійснивши заміну :

.

Інтеграл табличний, та згідно формули (13) таблиці інтегралів дістанемо

.

Отже, .

Отримані результати першим та другим способами по формі є різними, а по значенню – тотожними. Дійсно,

.

Другий спосіб є більш зручним у разі, коли квадратний тричлен має ірраціональні корені. У цьому випадку розклад раціонального дробу на найпростіші дроби стає громіздким, оскільки коефіцієнтами при невідомих у системі рівнянь є ірраціональні числа. Наприклад, для інтегралу

квадратний тричлен знаменника має корені . Тому

, та .

Подальші перетворення стають громіздкими. В той час, як другим способом маємо:

5. Обчислити інтеграл від раціональної функції: .

Розв'язання. Розкладемо підінтегральний раціональний дріб на елементарні раціональні дроби:

,

де A, B, C невідомі коефіцієнти розкладу . Щоб їх знайти зведемо праву частину до спільного знаменника і, прирівнявши чисельники, матимемо:

.

Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х одержимо систему рівнянь

розв'язком якої є , , , тобто . Отже

.

6. Обчислити інтеграл від раціональної функції: .

Розв'язання. Підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом. Виділимо цілу частину цього дробу і правильний раціональний дріб:

.

Тому .

Завдання для самостійного розв'язання

5. Проінтегрувати раціональні дроби

1) , 2) , 3) ,4) ,

5) , 6) , 7) .