Классические методы спектрального оценивания

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ
НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПЕРИОДОГРАММ

Минск 2006

1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ
НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПЕРИОДОГРАММ

Цель работы: Изучить периодограммный метод спектрального анализа с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) на основе алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Преобразование Фурье

Как известно, прямое и обратное преобразования Фурье для непрерывных сигналов определяются следующим образом:

		(1)
		(2)

Для дискретных сигналов выражения (1) и (2) представляются в виде:

		(3)
		(4)

где

;

x(n) ¾ выборочное значение входного сигнала;

X(k) ¾ коэффициент Фурье;

N ¾ объем выборки.

Выражения (3) и (4) похожи друг на друга, откуда следует, что эта пара преобразований может быть реализована с помощью одной и той же вычислительной процедуры. Однако прямое вычисление N-точечного ДПФ требует выполнения числа операций порядка N², быстро растущего с увеличением N и ведущего к огромной затрате вычислительных ресурсов при такой реализации вычислений. Поэтому настоятельной потребностью является разработка эффективных алгоритмов вычисления ДПФ, позволяющих значительно сократить число необходимых для этой цели арифметических операций и объем памяти. Появление таких алгоритмов, известных в настоящее время под общим названием алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), обеспечило увеличение быстродействия при использовании метода Фурье в цифровой обработке сигналов, что заметно расширило сферу практического использования частотных представлений. БПФ позволяет вычислять ДПФ с числом операций, пропорциональным NlogN. При этом значительно уменьшилась вычислительная сложность и погрешности вычислений.

Классические методы спектрального оценивания

Классические методы спектрального оценивания обеспечивают получение гладких и статистически устойчивых спектральных оценок по конечному числу отсчетов данных. В результате применения данных методов получают оценки спектральной плотности мощности (СПМ). СПМ характеризует распределение энергии сигнала по частоте, отнесенной к единице времени. Различают два метода, относящихся к классическим — это периодограммный и коррелограммный. Оценки СПМ, основанные на прямом преобразовании данных и последующем усреднении, получили название периодограмм. Оценки СПМ, для получения которых по исходным данным сначала формируются корреляционные оценки и затем на их основе сама оценка, получили название коррелограммных методов спектрального оценивания.

До широкого распространения электронных вычислительных машин в основном применялся коррелограммный метод. Но с появлением алгоритмов БПФ и специализированных интегральных микросхем для обработки сигналов предпочтение стало отдаваться методам, основанным на использовании периодограмм.

Классические методы спектрального оценивания относятся к числу наиболее устойчивых методов спектрального оценивания. Они применимы почти ко всем классам сигналов и шумов, обладающих стационарными свойствами. В классических методах, как правило, используется алгоритм БПФ, в связи с чем они оказываются наиболее вычислительно эффективными методами из числа имеющихся методов спектрального оценивания.

Основной недостаток классических методов спектрального оценивания обусловлен искажающим воздействием просачивания по боковым лепесткам из-за неизбежного взвешивания в них конечных последовательностей данных. Обработка с помощью окна позволяет ослабить влияние боковых лепестков, но лишь за счет ухудшения спектрального разрешения.

Окна

Одним из важных вопросов, который является общим для всех классических методов спектрального оценивания, связан с применением функции окна. Обработка с помощью окна используется для управления эффектами, обусловленными наличием боковых лепестков в спектральных оценках.

Заметим, что имеющуюся конечную запись данных удобно рассматривать как некоторую часть соответствующей бесконечной последовательности, видимую через применяемое окно. Например, последовательность наблюдаемых данных x₀(n) из N отсчетов математически можно записать как произведение прямоугольной функции единичной амплитуды П_N(n) и бесконечной последовательности x(n):

x0(n)= x(n)∙ПN(n) 0£n£N-1

(6)

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) взвешенной окном последовательности, выраженное через преобразование последовательности x(n) и прямоугольного окна П_N(n), равно свертке этих преобразований:

X0( f ) = X( f )*DN ( f ) ,

(7)

где D_N ( f ) – ядро Дирихле, представляющее собой ДПФ прямоугольной функции.

Взвешивание приводит к тому, что минимальная ширина спектральных пиков взвешенной окном последовательности ограничена шириной, определяемой главным лепестком преобразования этого окна, и не зависит от исходных данных. Боковые лепестки преобразования окна, иногда называемые просачиванием, будут изменять амплитуды соседних спектральных пиков.