Математические модели технологических систем назначение и виды моделей

Методы описания и анализа технологических систем и процессов

Математические модели технологических систем назначение и виды моделей

Математическое моделирование - это процесс создания модели и оперирование ею с целью получения необходимых сведений о реальном или проектируемом технологическом объекте. Альтер­нативой математического моделирования является физическое макетирование, но у математического моделировании есть ряд преимуществ: меньше сроки на подготовку анализа; значительно меньшая материалоемкость, возможность выполнения экспери­ментов на критических и закритических режимах, которые приве­ли бы к разрушению реального объекта, и лр.

Математическая модель (ММ) — это совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т.д) и связей между ними, отражающих важнейшие для инженера-технолога свойства моделируемого технологического объекта.

Моделирование большинства технологических объектов мож­но выполнять на микро-, макро- и мегауровних, различающихся степенью детализации рассмотрения процессов в объекте. Мате­матической моделью технологического объекта на микроуровие является обычно система дифференциальных уравнений с задан­ными краевыми условиями, но точное решение подобных систем удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая за­дача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели для численных исследований.

Математической моделью технологического объекта на макро­уровне является также, как правило, система дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями, построенными на основе сочетания компонентных уравнений отдельных элементов. ТП с топологическими уравнениями, вид которых определяется связями между элементами. Для сложных технологических объ­ектов с большим числом элементов приходится переходить на мегауровень.

На мегауровне моделируют в основном две категории техно­логических объектов: объекты, являющиеся предметом исследования теории динамических систем, и объекты, являющие­ся предметом теории массового обслуживания, в том чис­ле и других соответствующих стохастических методов. Для первой категории объектов возможно использование детерминированного или стохастического математического аппарата макроуровня, для второй категории объектов, как правило, используют стохастиче­ские методы событийного моделирования.

Проверка адекватности ММ осуществляется сравнением конт­рольных результатов с экспериментом, при несовпадении требу­ется уточнить модель.

Принципиальным при моделировании любых технологических объектов является упрощенное отражение в модели их важней­ших для данного исследования свойств; модель воспроизводит объект в определенном ограниченном диапазоне условий и требований; различные модели могут описывать различные стороны объекта

Фундаментальным для моделирования сложных объектов яв­ляется известное положение кибернетики, состоящее в том, что при сложности объекта выше некоторого уровня его адекватная (полная) модель не может быть сделана более простой.

Место и роль ММ технологических систем наиболее отчетливо выявляются при системном подходе, когда ТС рассматривается как некоторая подсистема более обширной системы проектирования производства, сбыта и эксплуатации ЭС. Развитие техники отражается, в частности, в более детальном математическом моделировании ТС и процессов, и вместе с тем диалектическая противоречивость такой тенденции заключается в том, что к моменту, когда математическое описание системы близится к завер­шению, сама система близка к моральному старению. В наибольшей степени это относится к такой бурно развивающейся области техники, как радиоэлектроника. Так что достигнутые успехи в области синтеза ММ относятся в какой-то мере к нашему прош­лому опыту. Означает ли это, что наибольший интерес представляют исследования лишь в области построения моделей новых ТС? Разумеется, нет. Совершенствование уже известных ММ имеет огромное значение, оно позволяет непрерывно обновлять арсенал средств оптимизации, в весьма компактной форме обоб­щать полученные результаты, без чего немыслимо создание все более совершенного математического обеспечении для автомати­зированных систем проектирования, систем производства ЭС и управления ими

Из сказанного следует, что ни одна ТС не имеет исчерпываю­щего математического описания. Вместе с тем любая ТС, удов­летворяющая требованиям оптимальности, должна иметь несколько ММ на различных этапах своего существования. На первом этапе, когда она существует лишь как идея у разработчиков, тре­буется наиболее простая и грубая модель, которая позволяет решать вопрос осуществимости ТС. Здесь, как правило, исполь­зуются аддитивные ограничительные неравенства, учитывающие суммарное время ТП, ресурсы производителя, реальные объемы и сроки поставки исходных компонентов при сравнительно прос­той функции качества (зачастую линейной). Очевидно, использо­вание таких моделей эффективно на самой ранней стадии разра­ботки ТС. Здесь преследуется цель убедиться, что исходные данные на ее проектирование принципиально реализуемы. Сами ис­ходные данные при этом могут варьироваться в широких преде­лах и задаются, как правило, в виде некоторых интервалов изме­нения.

Наиболее содержательный в смысле использования ММ этап проектирования. На этом этапе вначале тщательно исследуются физико-химические закономерности, лежащие в основе технологии данного вида ЭС. Их математическое описание основывается обычно на дифференциальных уравнениях математической физи­ки, теории цепей, термодинамики, кинетики химических взаимо­действий и т. д. Для обобщения результатов экспериментальных исследований широко привлекаются методы теории планирова­ния эксперимента. Результатом такого всестороннего анализа ТП являются соотношения, полученные в результате решения диф­ференциальных уравнений, аппроксимации экспериментальных данных и с требуемой точностью описывающие отдельные компо­ненты ТП.

Таким образом, стадия анализа ТП позволяет построить от­дельные элементы ММ ТС. Существенное отличие от моделей, используемых при оценке осуществимости ТС, состоит в исчерпы­вающей детализации описания, когда выявляются не просто ин­тервалы изменения интересующих величии, а существующие функциональные и вероятностные связи между ними Разумеется, это описание должно при необходимости содержать наряду с де­терминированной частью также часть, учитывающую случайную природу происходящих процессов.

Построенные элементы ММ ТС используются в се структур­ном синтезе. Структурный синтез имеет целью выявить состав и связь подсистем разрабатываемой системы, выполняющих от­дельные функции или группу близких по характеру протекающих процессов функций. Это наиболее творческая и вместе с тем наи­более трудная, неалгоритмизируемая стадия разработки ТС, требующая диалогового взаимодействия разработчиков с ЭВМ. На­значение ММ на этой стадии состоит в обеспечении большого объема проверочных расчетов различных вариантов системы с целью генерирования некоторого множества жизнеспособных технических решений. Структурный синтез завершается построе­нием модели функционирования каждого варианта ТС, связыва­ющей воедино все вышеупомянутые модели ее элементов. С этого момента начинается стадия параметрического синтеза, характе­ризующаяся жесткой стратегией получения единственного квазиоптимального варианта ТС. На основе модели функционирования строится модель точности ТП, использующаяся для исследования его чувствительности к изменениям входных параметров, устойчи­вости к внешним факторам. Именно на этом этапе выявляются связи параметров системы с критериями качества, т. е. с величи­нами, однозначно связанными с качеством системы. Эти связи в совокупности образуют оптимизационную модель системы. Вви­ду сложности современных систем, их многопараметричности, многокритериальности задача оптимизации имеет не единствен­ное решение.

Неоднозначность решения не может быть устранена путем внутреннего, более детального анализа системы. Необходим внешний анализ системы, т. е. она должна рассматриваться как подсистема более сложной системы и упомянутые выше критерии оптимизации ранжируются по степени их влияния на критерии оптимальности последней. Это позволяет построить некоторый результирующий показатель качества ТС, который в принципе определит единственное решение задачи оптимизации. Поскольку возможности объективного выбора результирующего критерия ограничены как временем, отпущенным на проектирование, так и нашими знаниями свойств систем более высшего иерархическо­го уровня, то такой выбор неизбежно на каком-то этапе стано­вится субъективным, и именно в этом смысле мы используем тер­мин «квазиоптимальный», говоря о единственном решении зада­чи параметрического синтеза. Модель оптимизации позволяет до­статочно полно спроектировать ТС. Теперь можно говорить о мо­делях оптимального распределения ТС между пользователями, учитывающих затраты на транспортирование, установку данной системы и ввод ее в действие. Модели такого типа в настоящее время достаточно полно и детально разработаны. Это хорошо изученные транспортные задачи, задача о назначениях и т. д. Однако и здесь могут потребоваться более точные и специфичные модели для исследования возможности использования системы в конкретном месте к в конкретное время.

В связи с широким внедрением микропроцессорной техники, микроЭВМ, ЭВМ для управления ТП появляется необходимость широкого использования моделей управления. Это ММ, лежащие в основе алгоритмов управления данной ТС. Такая модель строится на основе модели функционирования системы и предполага­ет расчленение ТП на последовательно-параллельные ветви с пространственно-временным разделением функций каждой из них и соответствующим точным согласованием во времени. На­значение такой модели заключается в том, что она позволяет рационально распределить средства управления внутри ТС. Мо­дель управления позволяет, кроме того, выявить аварийные ре­жимы функционирования ТС и предусмотреть своевременное автоматическое выключение ее при необходимости. Потребности разработки моделей управления выходят далеко за рамки тради­ционной теории оптимального управления, предполагающей воз­можность описания ТП системой обыкновенных дифференциаль­ных уравнений и получение оптимального решения в достаточно узком смысле. Совершенно не разработаны, например, вопросы применения дискретных управляющих воздействий, что характер­но для цифровых средств управления. Следует ожидать, по-види­мому, что применение вычислительной техники в управлении ТП будет стимулировать разработку нового класса ММ управления. Уместно упомянуть и об эксплуатационных моделях ТС. Это преж­де всего модель надежности ТС, анализ которой позволяет регла­ментировать время ее работы, графики ремонтов и профилактиче­ских мероприятий, учитывать естественные деградационные про­цессы. Следует также упомянуть модель морального старения ТС. Прогноз морального старения может быть осуществлен на основе модели, полученной методом дисперсных оценок.

Общее рассмотрение вопросов проектирования ТС с позиций системного подхода выявляет, таким образом, необходимость ис­пользования при описании, анализе и синтезе ТС весьма широкого круга ММ различного назначения.

3.2. Математическое моделирование элементов технологических процессов-операций

Построение адекватных моделей технологических операции (ТО) является основой описания ТС, предпосылкой для создания АСУ ТП, гибких автоматизированных производственных систем (ГАПС) и выполняется в процессе предпроектного обследования действующих производств. Для осуществления ТО необходимо обеспечить своевременное наличие на соответствующем рабочем месте комплектующих изделий, материалов, энергии, технологи­ческого оснащения и управляющих воздействий. Так, при произ­водстве микроэлектронных приборов и ИС совокупность физико-химических процессов внутри технологической установки состоит в преобразования входных потоков энергии и вещества. Для обеспечения требуемых физико-химических превращений на гра­нице и в объеме твердой фазы и выходных параметров изделий необходимо этими потоками управлять (рис. 3.1,а).

При анализе и синтезе ТП и систем с целью выбора их опти­мальных параметров для получения надлежащего количества и эффективности в центре внимания находятся управляющие воз­действия. При этом считают, что материальные и энергетические потоки, как иготовность средств технологического оснащения, а также квалифицированная деятельность персонала являются необходимым, всегда выполнимым условием. Это приводит к ки­бернетическому представлению отдельной операции в виде неко­торого нормально функционирующего «черного ящика» (рис 3.1,б); при этом внутреннее содержание, схема этого «чер­ного ящика» не рассматриваются, основное внимание обращается на входную и выходную информацию о существенных факторах.

а)	б)
Рис.3.1. Физическая (а) и кибернетическая (б) модели технологической операции

В соответствии с этим ММ операции должна в количественной форме отражать реальные взаимосвязи между входными и вы­ходными характеристиками изделия, геометрическими параметра­ми заготовок, электрофизическими характеристиками исходных материалов, параметрами комплектующих изделий, режимами технологического оборудования, параметрами инструмента и др. Полнота и детальность математического описания реальных воздействий, состояний оборудования и выходных параметром изде­лия зависят от типа и уровня рассматриваемой технологической задачи. В простейшем случае может оказаться вполне достаточ­ным использовать алгебраические соотношения между числовыми значениями нескольких параметров, а в наиболее сложных — привлекать последние достижения новейших разделов математики..

Среди применяемых моделей наиболее общей является описа­ние состояния объекта моделирования (в данном случае опера­ции) конечномерным вектором определенных функциональных или числовых компонентов, называемых выходом системы или вектором отклика. Всякая ТО определяет вектор отклика в зави­симости от воздействующих факторов, поэтому её математиче­ская модель должна содержать как математическое описание этих факторов, так и математическое описание соответствующих взаимосвязей между откликом и воздействующими факторами. В общем случае воздействие, как и отклик, описывается конечно­мерными векторами определенных функциональных или число­вых компонентов, а реализуемые при выполнении ТО взаимосвязи между воздействием и откликом — соответствующими функциями. Напомним, что если каждому значению переменной хиз некоторого множества поставлено в соответствие значение переменной , говорят, что задана функция Y=f(x);если каждой функции f(x)из некоторого множества поставлено в соответствие значение переменной Z, говорят, что задан функционал ; если каждой функции f(x) из некоторого множества поставлена в соответствие также функция Z(t),говорят, что задан оператор .Последние зачастую представляются системами интегро-дифференциальных уравнений (обыкно­венными в частных производных), соответствующих функцио­налов или функций передачи, алгебраических соотношений и т. п. При математическом моделировании ТО, в частности, входя­щих в ГАПС, реальные воздействия делят на три группы факто­ров. Первая группа составляет -мерный вектор входных управляемых параметров - функций времени и прост­ранственных координат , т.е. таких, которые можно измерять и целенаправленно изменять их распределение во времени и в ра­бочем объеме, поддерживая при этом заданный технологический режим. Часто вектор называют вектором управления или про­сто вектором факторов, область его возможных значений — множеством допустимых управлений или факторным пространством, а его составляющие — управлениями или факторами.

Вторая группа образует -мерный вектор контролируемых, но неуправляемых функций , характеризующих состояние исходных факторов (например, чистота материалов, поступающих на операцию формирования тонких пленок) и операции в целом. Они не поддаются целенаправленному изменению в пределах данной операции.

Третья группа составляет -мерный вектор неконтролируе­мых функций , а следовательно, и неуправляемых пара­метров операции. Сюда относятся параметры, оказывающие не детерминированные возмущающие воздействия на ТО.

Таким образом, построить ММ технологической операции означает определить математические соотношения между всеми указанными векторами

или предпочтительно в явном виде

.

Общие математические соотношения, связывающие простран­ственно-временные описания всех участвующих в ТО явлений, оказываются излишне сложными, что затрудняет их практическое использование. Поэтому на современном этапе развития матема­тической теории технологии чаще всего прибегают к упрощенно­му моделированию, выбирая сложность модели из практических соображений. Построение простой ММ, достаточно точно описы­вающей ТО как элемент сложного комплекса, в большой степени зависит от опыта разработчика. Основой работы, особенно на первых порах, может явиться овладение типовыми ММ. Рассмот­рим последовательность упрощенных описаний ТО.

Всякая ТО протекает во времени и в пространстве, поэтому как характеризующие ее состояние параметры , так и характе­ризующие различные воздействия внешней среды параметры , , , как уже отмечалось ранее, должны отражать изменчивость соответствующих величин, как при изменении времени , так и при разных значениях пространственных координат :

(3.1)

Если для поставленной технологической задачи существенна зависимость параметров ТО и от времени, и от пространственных координат, приходим к наиболее сложной динамической модели с распределенными параметрами. При этом в каждый фиксиро­ванный момент времени состояние объекта и внешней среды характеризуется значениями параметров в бесконечном числе точек пространства, а сами эти параметры подчиняются системам нели­нейных интегро-дифференциальных уравнений в частных произ­водных. Иногда модели с распределенными параметрами удается приближенно свести к моделям с сосредоточенными параметра­ми. Это можно сделать, например, путем дискретизации функций (3.1) по аргументу , что приведет к замене каждой из этих функции набором функций времени с фиксированными простран­ственными координатами :

, ,

, .

При этом могут потеряться определенные свойства, характерные для этих объектов. Поэтому желательно провести полный анализ операции как системы с распределенными параметрами и только при численных расчетах проводить упрощение [29].

Если пространственное распределение параметров постоянно или для рассматриваемой задачи несущественно, то важно учитывать изменчивость во времени как внешних воздействий, так и описываемого «черного ящика». Например, в гибких ТП приходим к динамической модели с сосредоточенными параметрами. При этом в каждый фиксированный момент времени состояние объекта и внешней среды характеризуется конечным числом парамет­ров, подчиняющихся в общем случае системам нелинейных и интегро-дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Аналогично тому, как производится дискретизация непрерыв­ных пространственных координат в случае систем с распреде­ленными параметрами, при описании динамических систем с не­прерывным временем возможно упрощение модели путем перехо­да к дискретному времени , . Разностные уравнения, опре­деляющие значения переменных в дискретные моменты времени, выводятся из соответствующих уравнений, представляющих эти переменные в непрерывном времени.

Если режимы оборудования после наладки при проведении операции неизменны, в частности отсутствует подналадка, а внеш­ние воздействия изменчивы во времени, получим стационарную систему уравнений, т. е. с постоянными коэффициентами.

Например, операция химического травления, которая широко используется в технологии ЭС как при производстве ПП, так и при производстве ИС. Ре­жимы оборудования в этой операции — температура травления, тип травителя, размеры ванны или реактора, а также толщина и материал травящейся пленки — выбираются заранее и остаются неизменными в процессе операции. Однако ско­рость травления, которая в значительной степени определяет конечный результат (удаление материала, минимальное искажение размеров, селективность действия травителей и др.), меняется вследствие изменения во времени таких воздействий, как концентрация частиц травителя у поверхности твердой фазы, изменения тем­пературы поверхности из-за выделения тепла при реакции, различной кинетики травления по глубине материала. Если рассматривать операцию травления как процесс, происходящий именно на поверхности твердой фазы, то все эти пере­менные воздействия можно считать внешними.

С некоторыми ограничениями и допущениями операция травления Si+Cl₂=SiCl₂ в реакторе непрерывного действия, представленная в общем виде как A₁+A₂=B, описывается системой уравнений с постоянными коэффициентами

;

;

,

где переменные состояния операции являются функциями изменяюще­гося во времени содержания в травителе на выходе реактора веществ А₁, А₂, В:

; ; ;

переменные управления и представляют функции веществ A₁ и А₂ на входе реактора:

; ;

возмущающее воздействие v является функцией количества моделей, распадаю­щихся и появляющихся в единицу времени: .

Если в ТО существенные факторы во времени не изменяются
или их изменение для рассматриваемой задачи несущественно,
приходим к стационарной статической модели. При этом состояние объекта и внешней среды для любого момента времени описывается конечным числом параметров, связанных между собой алгебраическими уравнениями. Например, при операции вырубки деталей штампом усилие вырубки , где - сопротивление материала срезу; L —длина контура; d - толщина листа.

Для ТО, у которой параметры изменяются во время ее выпол­нения, в частности при наличии подналадки технологического оборудования или оснастки, это будут нестационарные уравнения, т. е. с коэффициентами, плавно или скачкообразно изменяющи­мися во времени.

Примером является ТО получения тонких пленок методом термовакуумного испарения. При испарении уменьшается масса материала на испарителе, что ведет к увеличению сопротивления испарителя, а, следовательно, к снижению тока. Чтобы не изме­нялась скорость испарения, в процессе операции производится регулировка тока так, чтобы его значение оставалось неизменным. Эта операция описывается системой дифференциальных уравне­ний с коэффициентами, зависящими от времени и от других тех­нологических и физических параметров процесса испарения.

Дополняя отмеченные ранее распределенность параметров и нестационарность, укажем, что нелинейность уравнений отражает зависимость модели от значений учитываемых параметров, нали­чие интегралов в уравнениях отражает влияние на ТО эффектов накопления вещества или энергии, наличие производных - влия­ние значений скоростей и ускорений учитываемых параметров.

Как мы уже отмечали, обоснованное исключение из модели одной или нескольких особенностей, т. е. пренебрежение при по­строении ММ теми или иными реальными свойствами ТО, являет­ся способом получения приближенного математического описания ТО.

Из многообразия приближенных ММ реальных объектов в технических науках особое место занимают линейные модели. Ли­нейной называется модель, обладающая так называемым свойст­вом аддитивности по воздействию, т. е. реакция на сумму воздей­ствий равна сумме реакций этой модели на каждое слагаемое. Линейные модели описываются линейными уравнениями.

Все рассмотренные ранее системы соответствующих уравнений с достаточной для каждого случая полнотой описывают реальные ТО. В пределах одинаковой полноты описания однотипные ММ различных ТО будут отличаться порядком уравнений и значения­ми соответствующих коэффициентов в этих уравнениях, поэтому для сравнения различных ТО достаточно сравнивать упорядочен­ные последовательности коэффициентов. Более того, каждая ММ с исчерпывающей полнотой описывается упорядоченным набором коэффициентов соответствующих уравнений при заданных началь­ных условиях. Такое представление свойств ММ не единственно, а во многих задачах анализа и синтеза соответствующих ТО ши­роко используются более удобные формы их описания.

Во многих случаях наглядно представление свойств ТО на ос­нове решения соответствующих уравнений при вполне определен­ных типовых воздействиях на моделируемый объект. Другими словами, удобно сравнивать различные моделируемые объекты по величине и характеру их реакции на «пробное» — типовое по фор­ме и стандартное по величине — воздействие. Особенно это целе­сообразно при анализе и синтезе стационарных линейных дина­мических объектов. Если в качестве пробного воздействия ис­пользовать одиночный скачок величины входного воздействия, то изменение выходного параметра различных ТО будет различным, ТО можно сравнивать по таким реакциям на одинаковые воздей­ствия.

Реакция анализируемого объекта на единичный скачок носит специальное название — переходная характеристика объекта. Пе­реходная характеристика ТО может быть вычислена, если при решении описывающей ее системы уравнений подставить в виде компонента внешнего воздействия единичный скачок.

Другим часто используемым «пробным» воздействием является кратковременное ударное воздействие, математической идеализа­цией которого является дельта-функция. Реакция анализируемого объекта на дельта-функцию называется его импульсной переход­ной характеристикой.

Если в качестве «пробного» использовать гармоническое коле­бание внешнего воздействия единичной амплитуды, то реакция стационарного линейного объекта также является гармоническим колебанием той же частоты, а изменения амплитуды и фазы этого колебания зависят от свойств этого объекта.

Функции, описывающие зависимость амплитуды и фазы выходного колебания от частоты синусоидального выход­ного колебания единичной амплитуды, называется соответствен­но амплитудно- и фазочастотной характеристиками данного объекта; вместе они определяют комплексную функцию частоты , называемую передаточной функцией данного объекта.

Поскольку все названные характеристики, начиная с упорядо­ченного набора коэффициентов, однозначно характеризуют ста­ционарные линейные объекты, они взаимосвязаны известными преобразованиями [30]. Аналогичные характеристики будут вве­дены в последующих разделах и для ТО, отличающихся нестаци­онарностью, нелинейностью и другими признаками, хотя наиболее широко используется математическая идеализация реальных объ­ектов, представляющая их линейными динамическими системами.