При­ме­ча­ние о том, как не надо ре­шать эту за­да­чу.

По­яс­не­ние.

При­ведём в скоб­ках к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Ответ: −4,375.

2.Най­ди­те сумму чисел и

По­яс­не­ние.

Ис­поль­зу­ем свой­ство сте­пе­ней и найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 3040

3.В го­ро­де N живет 500000 жи­те­лей. Среди них 20% детей и под­рост­ков. Среди взрос­лых 25% не ра­бо­та­ет (пен­си­о­не­ры, сту­ден­ты, до­мо­хо­зяй­ки и т.п.). Сколь­ко взрос­лых жи­те­лей ра­бо­та­ет?

По­яс­не­ние.

Чис­лен­ность детей в го­ро­де N со­став­ля­ет 500 000 0,2 = 100 000. Чис­лен­ность взрос­ло­го на­се­ле­ния 500 000 − 100 000 = 400 000 че­ло­век. Из них не ра­бо­та­ет 400 000 0,25 = 100 000 че­ло­век. Зна­чит, ра­бо­та­ет 400 000 − 100 000 = 300 000 че­ло­век.

Ответ: 300 000.

4.Цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние при дви­же­нии по окруж­но­сти (в м/c² ) можно вы­чис­лить по фор­му­ле где — уг­ло­вая ско­рость (в с⁻¹), а R — ра­ди­ус окруж­но­сти. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те рас­сто­я­ние R (в мет­рах), если уг­ло­вая ско­рость равна 3 с⁻¹, а цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние равно 45 м/c².

По­яс­не­ние.

Вы­ра­зим ра­ди­ус окруж­но­сти: Под­ста­вим зна­че­ния пе­ре­мен­ных и

Ответ: 5.

5.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

По­яс­не­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

при ,

Ответ: 150.

6.В лет­нем ла­ге­ре 150 детей и 21 вос­пи­та­тель. В одном ав­то­бу­се можно пе­ре­во­зить не более 20 пас­са­жи­ров. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство таких ав­то­бу­сов по­на­до­бит­ся, чтобы за один раз пе­ре­вез­ти всех из ла­ге­ря в город?

По­яс­не­ние.

Узна­ем сколь­ко детей и пре­по­да­ва­те­лей в сумме:

Узна­ем сколь­ко ав­то­бу­сов по­тре­бу­ет­ся для 171 пас­са­жи­ра:

Ясно, что для пе­ре­воз­ки всех пас­са­жи­ров по­тре­бу­ет­ся 9 ав­то­бу­сов.

Ответ: 9.

7.Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

По­яс­не­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

.

Ответ: 5.

8. Дет­ская горка укреп­ле­на вер­ти­каль­ным стол­бом, рас­по­ло­жен­ным по­се­ре­ди­не спус­ка. Най­ди­те вы­со­ту l этого стол­ба, если вы­со­та h горки равна 3 мет­рам. Ответ дайте в мет­рах.

По­яс­не­ние.

Кон­струк­ция пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник, в ко­то­ром столб яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей. Длина сред­ней линии тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не длины сто­ро­ны, ко­то­рой она па­рал­лель­на. По­это­му l = h/2 = 1,5 м.

Ответ: 1,5.

9.Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца.

ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ		ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ
А) вы­со­та стола Б) рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми В) длина ком­на­ты Г) тол­щи­на ры­бо­лов­ной сетки		1) 520 см 2) 0,12 мм 3) 0,76 м 4) 80 км

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

A	Б	В	Г

По­яс­не­ние.

Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми самая боль­шая из пред­ло­же­нных ве­ли­чин — 80 км. Длина ком­на­ты — 520 см = 5.2 м. Вы­со­та стола — 0,76 м = 76 см. Тол­щи­на ры­бо­лов­ной сетки 0,12 мм.

Ответ: 3412.

10.Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по на­столь­но­му тен­ни­су участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 16 спортс­ме­нов, среди ко­то­рых 7 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Пла­тон Кар­пов. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Пла­тон Кар­пов будет иг­рать с каким-либо спортс­ме­ном из Рос­сии?

По­яс­не­ние.

В пер­вом туре Пла­тон Кар­пов может сыг­рать с 16 − 1 = 15 тен­ни­си­ста­ми, из ко­то­рых 7 − 1 = 6 из Рос­сии. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Пла­тон Кар­пов будет иг­рать с каким-либо тен­ни­си­стом из Рос­сии, равна

Ответ: 0,4.

11.На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трех суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей тем­пе­ра­ту­ра­ми воз­ду­ха 16 ок­тяб­ря. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

По­яс­не­ние.

Из гра­фи­ка видно, что 16 ок­тяб­ря наи­боль­шая тем­пе­ра­ту­ра со­став­ля­ла 9 °C, а наи­мень­шая 2 °C. Их раз­ность со­став­ля­ет 7 °C.

Ответ: 7.

12.Стро­и­тель­ная фирма пла­ни­ру­ет ку­пить 70 м³ пе­нобло­ков у од­но­го из трех по­став­щи­ков. Цены и усло­вия до­став­ки при­ве­де­ны в таб­ли­це. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить самая де­ше­вая по­куп­ка с до­став­кой?

По­став­щик	Цена пе­нобло­ков (руб. за 1 м3)	Сто­и­мость до­став­ки (руб.)	До­пол­ни­тель­ные усло­вия до­став­ки
А
Б			При за­ка­зе то­ва­ра на сумму свыше 150000 руб­лей до­став­ка бес­плат­но.
В			При за­ка­зе то­ва­ра на сумму свыше 200000 руб­лей до­став­ка бес­плат­но.

По­яс­не­ние.

Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

При по­куп­ке у по­став­щи­ка A сто­и­мость пе­нобло­ков со­ста­вит 2700 70 = 189 000 руб., сто­и­мость до­став­ки со­ста­вит 9900 руб. Всего 189 000 + 9900 = 198 900 руб.

При по­куп­ке у по­став­щи­ка Б сто­и­мость пе­нобло­ков со­ста­вит 2900 70 = 203 000 руб. Так как сто­и­мость за­ка­за боль­ше 150 000 руб., то до­став­ка бес­плат­но. Таким об­ра­зом, сто­и­мость 203 000 руб.

При по­куп­ке у по­став­щи­ка В сто­и­мость за­ка­за скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти пе­нобло­ков 2800 70 = 196 000 руб. и сто­и­мо­сти до­став­ки и равна 196 000 + 7900 = 203 900 руб.

Сто­и­мость самой де­ше­вой по­куп­ки будет со­став­лять 198 900. руб­лей.

Ответ: 198 900.

13. Объем од­но­го шара в 2197 раз боль­ше объ­е­ма вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

По­яс­не­ние.

Объ­е­мы шаров со­от­но­сят­ся как

,

От­ку­да Пло­ща­ди их по­верх­но­стей со­от­но­сят­ся как

.

Ответ: 169.

14.На диа­грам­ме изоб­ражён сред­не­го­до­вой объём до­бы­чи угля в Рос­сии от­кры­тым спо­со­бом в пе­ри­од с 2001 по 2010 годы. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся год, по вер­ти­ка­ли — объём до­бы­чи угля в мил­ли­о­нах тонн.

Поль­зу­ясь диа­грам­мой, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­до­му из ука­зан­ных пе­ри­о­дов вре­ме­ни ха­рак­те­ри­сти­ку до­бы­чи угля.

ПЕ­РИ­О­ДЫ ВРЕ­МЕ­НИ		ХА­РАК­ТЕ­РИ­СТИ­КИ ДО­БЫ­ЧИ УГЛЯ
А) 2002–2004 Б) 2004–2006 В) 2006–2008 Г) 2008–2010		1) в те­че­ние пе­ри­о­да объёмы до­бы­чи сна­ча­ла умень­ша­лись, а затем стали расти 2) объём до­бы­чи в пер­вые два года почти не ме­нял­ся, а затем резко вырос 3) объём до­бы­чи мед­лен­но рос в те­че­ние пе­ри­о­да 4) объём до­бы­чи еже­год­но со­став­лял мень­ше 190 млн т

В таб­ли­це под каж­дой бук­вой ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щий номер.

А	Б	В	Г

По­яс­не­ние.

В пе­ри­од вре­ме­ни с 2002 по 2004 год объём до­бы­чи еже­год­но со­став­лял мень­ше 190 млн т.

В пе­ри­од вре­ме­ни с 2004 по 2006 год объём до­бы­чи мед­лен­но рос в те­че­ние пе­ри­о­да.

В пе­ри­од вре­ме­ни с 2006 по 2008 год объём до­бы­чи в пер­вые два года почти не ме­нял­ся, а затем резко вырос.

В пе­ри­од вре­ме­ни с 2008 по 2010 год в те­че­ние пе­ри­о­да объёмы до­бы­чи сна­ча­ла умень­ша­лись, а затем стали расти.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие А — 4, Б — 3, В — 2 и Г — 1.

15. Най­ди­те абс­цис­су цен­тра окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (8; 0), (0; 6), (8; 6).

По­яс­не­ние.

Тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, сов­па­да­ет с се­ре­ди­ной ги­по­те­ну­зы. Тогда ко­ор­ди­на­ты цен­тра окруж­но­сти:

, .

Ответ: 4.

16. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Най­ди­те его диа­го­наль.

По­яс­не­ние.

Пусть длина тре­тье­го ребра, ис­хо­дя­ще­го из той же вер­ши­ны, равна , тогда пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да даётся фор­му­лой . По усло­вию пло­щадь по­верх­но­сти равна 16, тогда от­ку­да

Длина диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна квад­рат­но­му корню из суммы квад­ра­тов его из­ме­ре­ний, по­это­му .

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние о том, как не надо ре­шать эту за­да­чу.

Обо­зна­чим из­вест­ные ребра за и , а не­из­вест­ное за . Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как . Вы­ра­зим :

,

от­ку­да не­из­вест­ное ребро

,

Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­хо­дит­ся как

.

Ответ: 3.

17.На пря­мой от­ме­че­но число и точки K , L, M и N.

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ука­зан­ны­ми точ­ка­ми и чис­ла­ми из пра­во­го столб­ца, ко­то­рые им со­от­вет­ству­ют.

ТОЧКИ		ЧИСЛА
А) K Б) L В) M Г) N		1) 2) 3) 4)

Впи­ши­те в при­ведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую цифру.

А	Б	В	Г

По­яс­не­ние.

Имеем 1 < m < 2.

1)

2)

3)

4)

18.Пять жиль­цов мно­го­квар­тир­но­го дома — Ан­дрей, Борис, Вик­тор, Денис и Егор — имеют раз­лич­ный воз­раст. При этом из­вест­но, что воз­раст Ан­дрея боль­ше, чем сумма воз­рас­тов Бо­ри­са и Вик­то­ра, Вик­тор стар­ше Де­ни­са, но млад­ше Егора. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых дан­ных.

1) Ан­дрей самый стар­ший из жиль­цов

2) Егор стар­ше Бо­ри­са

3) Ан­дрей стар­ше Де­ни­са

4) Борис стар­ше Егора

В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

По­яс­не­ние.

Пусть А, Б, В, Д и Е — со­от­вет­ствен­но воз­рас­ты Ан­дрея, Бо­ри­са, Вик­то­ра, Де­ни­са и Егора. Из усло­вия по­лу­ча­ем не­ра­вен­ства: А > Б + В, В > Д, В < Е. От­ку­да по­лу­ча­ем: Д < В < Е, А > Б, А > В.

1) Из усло­вия не сле­ду­ет, что Ан­дрей стар­ший из жиль­цов. На­при­мер, Егор может быть стар­ше Ан­дрея.

2) Из усло­вия не сле­ду­ет, что Егор стар­ше Бо­ри­са.

3) Из по­лу­чен­ных не­ра­венств сле­ду­ет, что Ан­дрей стар­ше Де­ни­са.

4) Борис не обя­за­тель­но стар­ше Егора.

Таким об­ра­зом, вер­ны­м яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние 3.

Ответ: 3.

19.Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 18, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 24. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Если число abcd крат­но 18, оно крат­но 2, 9, 3, 6: то есть оно долж­но быть чет­ным и сумма его цифр долж­на быть крат­на 9. Таким об­ра­зом d - чет­ное, де­лит­ся на 9, . Про­из­ве­де­ния цифр могут быть пред­став­ле­ны в виде . Числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие дан­ным усло­ви­ям: 3222, 2322, 2232

20.Саша при­гла­сил Петю в гости, ска­зав, что живёт в вось­мом подъ­ез­де в квар­ти­ре №468, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя об­на­ру­жил, что дом две­на­дца­ти­этаж­ный. На каком этаже живёт Саша? (На каж­дом этаже число квар­тир оди­на­ко­во, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с еди­ни­цы.)

По­яс­не­ние.

Пусть на одной квар­тир­ной пло­щад­ке 4 квар­ти­ры. Тогда в пер­вых 8 подъ­ез­дах будет 384 квар­ти­ры. То есть 468 квар­ти­ра никак не может ока­зать­ся в вось­мом подъ­ез­де. Если квар­тир на лест­нич­ной пло­щад­ке ещё мень­ше, то и квар­тир в пер­вых подъ­ез­дах мень­ше, то есть ис­ко­мой квар­ти­ры в вось­мом подъ­ез­де быть не может.

Пусть на одной квар­тир­ной пло­щад­ке 5 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах будет 420 квар­тир, а в вось­ми — 480. Тогда не­слож­но по­счи­тать номер этажа, на ко­то­ром будет ис­ко­мая квар­ти­ра:

Пусть на одной квар­тир­ной пло­щад­ке 6 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах будет 504 квар­ти­ры и 468 никак не смо­жет ока­зать­ся в вось­мом подъ­ез­де. Если квар­тир на одной квар­тир­ной пло­щад­ке будет ещё боль­ше, то и квар­тир в пер­вых семи подъ­ез­дах будет боль­ше, и 468 квар­ти­ра никак не смо­жет ока­зать­ся в вось­мом подъ­ез­де.