Числовые характеристики случайных величин

Числовыми характеристиками называются такие характеристики, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения.

Характеристики положения – это те характеристики, которые показывают положение случайной величины на числовой оси. Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:

,

где - обозначение математического ожидания, возможные значения случайной величины, вероятности этих значений. Приведенное выражение справедливо для дискретной случайной величины. Эта характеристика связана своеобразной зависимостью со средним арифметическим наблюденных значений случайной величины при большом числе опытов:

,

где - среднее арифметическое значение случайной величины, количество раз, когда появилось значение , число независимых опытов. Если математическое ожидание является постоянной величиной, то среднее арифметическое является случайной величиной, которая при увеличении числа независимых опытов до бесконечности стремится к математическому ожиданию.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется как:

,

где плотность распределения величины Х.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Обозначается как .

Медианой случайной величины Х называется такое ее значение , для которого .

Характеристики рассеивания оценивают разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания. Одна из наиболее важных характеристик рассеивания называется дисперсией.

Дисперсиейслучайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины, обозначается как . Согласно определению имеем, что .

Для дискретной случайной величины:

.

Для непрерывной случайной величины:

.

На практике часто применяется другая формула для вычисления дисперсии:

.

Так как дисперсия имеет размерность квадрата, то для оценки рассеивания используется корень квадратный из дисперсии, называемый среднеквадратическим отклонением. Обозначается как .

Коэффициент асимметрии применяется для оценки отклонения закона распределения от симметричности (или «скошенности»). Обозначается, как и вычисляется:

- для дискретных случайных величин

,

- для непрерывных случайных величин

где - среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Эксцесс случайной величины применяется для оценки островершинности или плосковершинности, так называемой «крутости» закона распределения. Обозначается, как и вычисляется:

-для дискретных случайных величин

,

- для непрерывных случайных величин:

.

Наряду с дисперсией и среднеквадратическим отклонением для оценки рассеивания иногда применяется первый абсолютный центральный момент, называемый средним арифметическим отклонением, обозначается, как и вычисляется как математическое ожидание модуля разности:

.