Список використаних джерел

Зміст

1.Класифікація випадкових величин.

2.Критерій згоди Пірсона.

Список використаних джерел

Класифікація випадкових величин

В теорії ймовірності важливу роль відіграє поняття випадкової величини. Випадкова величина - це величина, яка приймає в результаті випробувань одне з багатьох можливих значень, причому появу того чи іншого значення передбачити неможливо, тобто воно являється випадковою подією. Наприклад, випадковими величинами є ріст і вага людини, число хлопчиків, які народились в якийсь день, число викликів до лікаря.

Розрізняють дискретні і неперервні величини. Дискретна випадкова величина це така величина, яка може приймати кінцеву кількість значень на заданому інтервалі, тобто таку множину, елементи якої Х можуть бути занумеровані в якомусь порядку і виписані в послідовності Х₁, Х_2, Х_{3, …..}Х_n.. Наведені вище приклади випадкових величин є крім того дискретними. Випадкова величина вважається заданою, якщо заданий закон її розподілу. Для цього треба задати всі можливі значення випадкової величини Х₁, Х₂, Х₃ Х_n. і ймовірності появи цих значень. Отже, законом розподілу випадкової величини називається всяке співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями. Закон розподілу або розподіл ймовірності являється її повною характеристикою. Закон розподілу дискретної величини задається таблицею виду:

Таблиця 5.1

Х	Х1	Х2	….	Хn
Р(Х)	Р(Х1)	Р(Х2)	….	Р(Хn)

Оскільки в таблиці 5.1 вказані всі без винятку можливі значення випадкової величини і їх ймовірності, то можна говорити, що задана повна система подій, тому згідно теореми додавання ймовірностей маємо:

Р (х1) + Р ( х2)+ Р (…) + Р (хn) = Сума Р (хi) = 1

(7)

Ця формула називається умовою нормування дискретної випадкової величини.

Таблиця 1 в якій вказані можливі значення випадкової величини і їх ймовірності, називають також рядом розподілу. Для того щоб придати ряду розподілу більш наглядний вигляд зображують його у вигляді графіка. По осі абсцис відкладаються можливі значення випадкової величини, а по осі ординат-ймовірності цих значень. Одержані точки сполучаються відрізками прямих. Така фігура називається багатокутником розподілу (рис.5.1).

Неперервною випадковою величиною називається випадкова величина, яка може приймати будь-яке із значень, які належить до даного інтервалу. До таких величин можна віднести температуру тіла людини, вміст цукру в крові. Так як неперервна випадкова величина приймає нескінчену кількість значень, ймовірність того, що вона прийме якесь конкретне значення рівна нулю. Відмінною від нуля буде ймовірність того, що ця величина прийме значення яке лежить в деякому інтервалі. Найбільш точно випадкова величина буде задана, якщо ширина інтервалу прямує до нуля, а кількість інтервалів n до нескінченості. При цьому величина, рівна відношенню ймовірності dp попадання випадкової величини в інтервал від x до x+dx до величини цього інтервалу dx називається функцією щільності ймовірності випадкової величини Х.Задання щільності ймовірності неперервної випадкової величини являється одним із способів задання цієї величини. Із визначення щільності ймовірності випливає, що ця величина невід’ємна. Знаючи щільність ймовірності величини Х, можна розрахувати ймовірність попадання цієї величини в любий інтервал. Подія для якої випадкова величина прийме яке-небудь значення в інтервалі від до є достовірною.

Для завдання неперервної випадкової величини крім функції щільності ймовірності використовується функція розподілу неперервної випадкової величини F(x).Ця функція рівна ймовірності того, що значення випадкової величина менше наперед заданого значення х.

Критерій згоди Пірсона

Критерій узгодженості Пірсона - один з найвідоміших критеріїв , тому його часто і називають просто "критерій хі-квадрат". Використовується для перевірки гіпотезипро закон розподілу.

Ґрунтується на групованих даних. Область значень передбачуваного розподілу ділять на деяке число інтервалів.Після чого будують функцію відхилення ρ по різницях теоретичних імовірностей попадання в інтервали групування й емпіричних частот.

Нехай X=(X₁,…, X_n) — вибірка з розподілу . Перевіряється проста гіпотеза проти складної альтернативи .
Нехай A₁,…, A_k — інтервали групування в області значень випадкової величини з розподілом .
Позначимо для j=1,…,k через число елементів вибірки, що потрапили в інтервал :
,

і через — теоретичну ймовірність попадання в інтервал випадкової величини з розподілом .
З необхідністю, .
Як правило, довжини інтервалів вибирають так, щоб .
Нехай (1).

Якщо розподіл вибірки має такі ж, як в , імовірності попадання в кожний з інтервалів , то по даній функції ці розподіли розрізнити неможливо.Тому насправді критерій, який ми побудуємо по функції з (1), вирішує зовсім інше завдання. А саме, нехай заданий набір імовірностей такий, що . Критерій призначений для перевірки складної гіпотези H₂^'={розподіл Х₁ має властивість: Р(Х₁ ∈ А_j)=p_j для всіх j=1,…,k} проти складної альтернативи H₂^'={H₁^' невірна}, тобто H₂^'={хоча б для одного з інтервалів ймовірність P(X₁ ∈ А_j) відізняється від p_j}

Теорема Пірсона

Якщо вірна гіпотеза H₁^', то при фіксованому k й при :

де, нагадаємо, є -розподіл зі ступенем вільності.

Зауваження

Насправді критерій застосовують і для розв'язку первісного завдання про перевірку гіпотези . Необхідно тільки пам'ятати, що цей критерій не заможний для альтернатив з тими ж імовірностями попадання в інтервали розбиття, що й в . Тому беруть велику кількість інтервалів розбиття — чим більше, тим краще, щоб «зменшити» число альтернатив, нерозрізнених з передбачуваним розподілом.

Список використаних джерел

1. Єлейко Я.І., Тріщ Б.М. Теорія ймовірностей. — Львів: ЛНУ ім. Івана

Франка, 2001.

2. Єлейко Я.І., Тріщ Б.М. Методичні вказівки до вивчення курсу „Теорія

ймовірностей і математична статистика”. Основи вибіркового

методу. — Львів: ЛНУ ім. Івана Франка, 2001.

3. Бобик О.І., Берегова Г.І., Копитко Б.І. Теорія ймовірностей і

математична статистика. Львів: ЛБІ НБУ, 2003.