Задачи для тренинга по теме

«Формула полной вероятности и формула Байеса»

1. При исследовании жирности молока коров все стадо было разбито на три группы. В первой группе оказалось 70%, во второй 23% и в третьей 7% всех коров. Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной коровы, имеет не менее 4% жирности, равна 0,6; 0,35 и 0,1 для каждой группы коров соответственно.

1) Определить вероятность того, что для взятой наудачу коровы, жирность молока составит не менее 4%.

2) Взятая наудачу корова дает молоко жирностью не менее 4%. Найти вероятность того, что эта корова из первой группы.

2. Стрелковое отделение получило 10 винтовок, из которых 8 пристрелянных, 2 – нет. Вероятность попадания в цель из пристрелянной винтовки равна 0,6, а из не из пристрелянной – 0,4.

1) Какова вероятность того, что стрелок из наудачу взятой винтовки попадет в цель при одном выстреле?

2) Стрелок поразил мишень. Какова вероятность, что он стрелял из пристрелянной винтовки?

3. В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй. Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой бригады, равна 0,7, для второй – 0,8.

1) Определить вероятность того, что взятая наугад единица продукции будет стандартной.

2) Взятая наугад единица продукции оказалась стандартной. Какова вероятность, что она из второй бригады?

4. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%.

1) Найти вероятность того, что приобретенное изделие оказалось стандартным.

2) Приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?

5. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III класс – большой. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% – второго и 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для I класса риска равна 0,01, II – 0,03, III – 0,08.

1) Какова вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования?

2) Какова вероятность, что получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска?

6. Для приема зачета по курсу «Математика» преподаватель заготовил 50 задач: 20 – по дифференциальному исчислению, 20 – по интегральному исчислению, 10 – по теории вероятностей. Для получения зачета необходимо решить первую доставшуюся задачу. Студент умеет решать лишь 18 задач по дифференциальному исчислению, 15 – по интегральному исчислению и 5 – по теории вероятностей.

1) Какова вероятность, что студент получит зачет?

2) Известно, что студент сдал зачет. Определить вероятность того, что он решил задачу по теории вероятностей.

Задачи для тренинга по теме «Повторные независимые испытания»

1. Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0.4. Найти вероятность того, что из 10 сотрудников фирмы заболеют ровно 5.

2. Монета бросается 5 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает два раза.

3. Всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 семян взойдет 5.

4. В магазин вошли 10 покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,2. Найти вероятность того, что 6 из них совершат покупку.

5. Принимая вероятность рождения мальчика равной 0,51, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух мальчиков.

6. Стрелок производит 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что цель будет поражена: а) 4 раза; б) более трех раз.

7. Вероятность того, что поезд опоздает к месту назначения более чем на 5 минут для каждого рейса постоянна и равна 0,4. Найти вероятность того, что из 5 рейсов поезд опоздает более чем на 5 минут: а) в 3 рейсах; б) менее чем в 3 рейсах.

8. Вероятность того, что лампочка перегорит менее чем через 100 часов непрерывной работы, равна 0,25. Какова вероятность того, что из 4-х купленных лампочек менее чем через 100 часов перегорят: а) ровно 3 лампочки; б) более 2 лампочек.

9. Игральный кубик подбрасывают 8 раз. Найти вероятность того, что шесть очков выпадает: а) ровно 5 раз; б) менее 5 раз.

10. Вероятность получения удачного результата при проведении сложного химического опыта равна 2/3. Проведено 7 опытов. Найти вероятность того, что удачный результат получен: а) ровно в 3 опытах; б) более чем в 5 опытах.

11. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна 0,1. Найти вероятность того, что за 6 смен неполадка станка возникнет: а) ровно два раза; б) менее 4 раз.

12. Вероятность того, что токарь выточит качественную деталь, равна 0,85. Определить вероятность того, что из 5 деталей окажется: а) ровно 4 качественных; б) менее 3 некачественных.

13. Вероятность того, что баскетболист при броске попадет в корзину, равна 0,3. Определить вероятность того, что, сделав 6 бросков, он попадет: а) ровно 4 раза; б) не менее 4 раз.

14. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,01. Определить вероятность того, что сообщение из 10 знаков содержит: а) ровно 3 искажения; б) не более 2 искажений.

15. Известно, при транспортировке и разгрузке керамической отделочной плитки повреждается 2,5%. Найти вероятность того, что в партии из 200 плиток поврежденными окажется: а) ровно 4; б) не более 3.

16. Вероятность того, что при сортировке изделий одно из них будет разбито. Равна 0,005. найти вероятность того, что из 300 изделий разбитыми окажутся: а) три изделия; б) не более двух.

17. На факультете учатся 800 студентов. Вероятность дня рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Найти вероятность того, что найдутся 3 студента с одним и тем же днем рождения.

18. Численность работников предприятия составляет 500 человек. Вероятность невыхода на работу из-за болезни равна 0,01 для каждого работника. Определить вероятность того, что в ближайший день не выйдет на работу хотя бы один из работников.

19. Всхожесть семян составляет 80%. Какова вероятность того, что из 100 посеянных семян взойдут 76 ?.

20. Известно, что 30% призывников имеют 42 размер обуви. Определить вероятность того, что из 200 прибывших новобранцев половине потребуется обувь 42 размера.

Вопросы для самопроверки

· на тему «Элементы комбинаторики»

1. Что изучает комбинаторика?

2. Сформулируйте правила сложения и умножения в комбинаторных задачах.

3. Что называется размещением из n элементов по k элементам?

4. «Два размещения различны, если….» (продолжить фразу).

5. Формула для вычисления числа размещений из n по k.

6. Что называется сочетанием из n элементов по k элементам?

7. «Два сочетания различны, если …» (продолжить фразу).

8. Формула для вычисления числа сочетаний из n по k.

9. Что называется перестановкой n-элементного множества?

10. «Две перестановки различны, если…» (продолжить фразу).

11. Формула для вычисления числа перестановок n-элементного множества.

· на тему «Случайные события»

1. Что изучает теория вероятностей?

2. Сформулируйте понятие стохастического эксперимента. Приведите пример.

3. Что такое элементарное событие, пространство элементарных событий? Приведите примеры.

4. Сформулируйте определение случайного, достоверного, невозможного событий. Приведите примеры.

5. Что называется суммой, произведением, разность событий?

6. Какие события образуют полную группу событий?

7. Какие события называются противоположными?

8. Сформулируйте классическое определение вероятности события.

9. Сформулируйте геометрическое определение вероятности события.

10. Сформулируйте аксиоматическое определение вероятности события.

11. Сформулируйте статистическое определение вероятности события.

12. Какие события называются совместными, несовместными? Приведите примеры.

13. Какие события называются зависимыми, независимыми? Приведите примеры.

14. Что называется условной вероятностью события?

15. Как вычисляется вероятность суммы двух событий, если они несовместны, совместны?

16. Как вычисляется вероятность произведения двух событий, если они независимы, зависимы?

17. Как вычисляется вероятность появления хотя бы одного события.

18. Формула полной вероятности. При каких условиях она справедлива?

19. Формула Байеса. При каких условиях она справедлива?

20. Формула Бернулли. При каких условиях она справедлива?

21. Формула Пуассона. При каких условиях она справедлива?

22. Формула Муавра-Лапласа. При каких условиях она справедлива?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Где отсутствуют точные знания,

там действую догадки,

а из 10 догадок 9 – ошибки.

М. Горький

Обсудим основные источники ошибок. Все ошибки можно разбить на 3 группы:

1) арифметические ошибки при вычислениях;

2) ошибки, связанные с незнанием или неправильным использованием формул;

3) ошибки, допускаемые из-за незнания алгоритмов решения задач конкретного типа.

Группы ошибок	Средства борьбы
Арифметические ошибки при вычислениях	1. Не злоупотребляйте вычислениями в уме. 2. Не торопитесь «покончить» с задачей. 3. Помните поговорку: « Если ты делаешь работу быстро, но плохо, то все забудут, что ты делал ее быстро, но будут помнить, что ты сделал ее плохо. Если ты делаешь работу медленно, но хорошо, то все забудут, что ты делал ее медленно, но будут помнить, что ты сделал ее хорошо»
Ошибки, связанные с незнанием или неправильным использованием формул	1. Учите формулы. 2. Анализируйте постановку задач.
Ошибки, допускаемые из-за незнания алгоритмов решения задач конкретного типа	1. Учите алгоритмы решений задач. 2. Оформляйте решение задач так, чтобы не возникало вопросов и неясностей.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Если мы видели дальше других,

то это потому, что стояли на плечах гигантов.

И. Ньютон

1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш.Кремер. – М. : Юнити, 2006. – 573 с.

2. Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением EXCEL / Г.В.Горелова, И.А. Кацко. – Ростов н/Д. : Феникс, 2005. – 477 с.

3. Богатов Д.Ф. Конспект лекций и практикум по математике для юристов / Д.Ф. Богатов, Ф.Г.Богатов. – М. : ПРИОР, 2003. – 442 с.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е.Гмурман. – 3-е изд. – М. : Высшая школа, 1979. – 250 с.

5. Математика: краткий курс теории вероятностей. – Современный гуманитарный университет. – М. : Юнита 4, 1998. – 92 с.

6. Жалдак М.И. Теория вероятностей с элементами информатики / М.И. Жалдак, А.Н.Квитко. – Киев. : Высшая школа, 1989. – 261 с.