Приклади побудови математичних моделей

ЗМІСТ

ВСТУП.. 4

1 ТЕОРЕТИЧНІ ПОЛОЖЕННЯ.. 5

2 ПРИКЛАДИ ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ.. 7

Задача про коктейль (складність 1,2). 7

Задача про верстати (складність 1,2). 10

Задача про автомобілі (складність 1,2). 12

Задача про передачу від батьків (складність 1,1). 14

Задача про підробіток (складність 1). 16

Задача про Древню Грецію (виробництво) (складність 1,2). 18

Задача про військо (складність 1,3). 20

Задача про букети (складність 0,5). 22

Задача про коваля та зброю (складність 1). 24

Задача про продаж напоїв (складність 1,2). 26

Задача про виготовлення сумок (складність 1). 27

Задача про виготовлення іграшок (складність 1,3). 29

Задача про хімічний реагент (складність 1,3). 31

Задача про вежу (складність 1). 33

Задача про пластилін (складність 1,5). 35

Задача про виробництво (складність 3). 37

ВСТУП

Мета, яку наслідують в процесі дослідження операцій (ДО), полягає в тому, щоб визначити найкращий (оптимальний) спосіб дії під час розв’язку задач організаційного управління. При використанні терміну «дослідження операцій» мають на увазі використання математичних методів для моделювання систем та аналізу їхніх характеристик. Дійсно, математичні методи та моделі займають в ДО центральне місце.

При постановці задачі насамперед важливо визначити мету, яка ставиться перед суб’єктом управління, встановити значення характеристик (змінних) досліджуваної системи. Під метою розуміється кінцевий результат, який необхідно отримати. У сфері виробництва мета полягає в тому, щоб максимізувати прибуток, або мінімізувати витрати. У некомерційній сфері – досягти високого рівня обслуговування, задоволення. Коли мета визначена, оптимальним вважається такий спосіб дій, який найбільше сприяє досягненню цієї мети.

Протягом вивчення об’єкту управління необхідно визначити ті характеристики, якими можна варіювати – змінні, якими можна керувати. Їх ідентифікація в кожному випадку залежить від практичного досвіду та особистих властивостей того, хто приймає рішення. Але важливим моментом є визначення не змінних, зміна значень яких не залежить від рішення суб’єкта управління.

В ДО основна роль відводиться математичному моделюванню. Для побудови математичної моделі необхідно мати чітке уявлення про мету функціонування досліджуваної системи, а також володіти інформацією про обмеження, які визначають область допустимих значень змінних, якими можна керувати. Мета та обмеження можуть бути представлені у вигляді функцій від змінних, якими можна керувати. Не існує єдиного методу розв’язку математичних моделей. Вибір методу робиться на основі типу і складності математичної моделі.

Моделі ДО розробляються з метою оптимізації заданої цільової функції при певній сукупності обмежень. Термін «оптимізація» використовується для визначення процесів максимізації або мінімізації цільової функції. Необхідно пам’ятати, що отриманий за допомогою певної моделі оптимальний розв’язок є найкращим лише у межах використання саме цієї моделі, тобто не можна вважати, що знайдений оптимум – дійсно найкращий розв’язок аналізованої задачі.

ТЕОРЕТИЧНІ ПОЛОЖЕННЯ

Процес дослідження операцій складається з наступних етапів:

- ідентифікація проблеми;

- побудова моделі;

- вирішення поставленої задачі за допомогою моделі;

- перевірка адекватності моделі;

- реалізація результатів дослідження.

Цю послідовність можна вважати загальноприйнятою, але не обов’язковою. За виключенням етапу, пов’язаного з отриманням розв’язку на основі розробленої моделі, коли, зазвичай, використовуються формалізовані методи.

Детальніше розглянемо перші два етапи, оскільки наступні пов’язані з вирішенням моделі та пошуком оптимального роз’вязку.

На першому етапі задача дослідження полягає в ідентифікації проблеми - формулювання задачі та мети дослідження, визначення вимог, умов та обмежень, які притаманні досліджуваній системі.

Наступний етап пов’язаний з побудовою моделі. Протягом цього етапу необхідно встановити кількісні співвідношення для визначення цільової функції та обмежень у вигляді функцій від змінних, якими можна керувати. В результаті дослідження отримаємо наступні елементи задачі:

- опис шуканих величин;

- визначення цільової функції;

- побудова системи обмежень, які накладаються на можливі розв’язки.

Сформульовану математичну модель ДО схематично можна представити наступним чино: максимізація або мінімізація цільової функції за умови виконання обмежень. Розв’язок задачі називається допустимим, якщо він задовольняє всім обмеженням моделі. Розв’язок буде оптимальним, якщо він допустимий та цільова функція при ньому досягає оптимального (максимального або мінімального) значення.

Складання математичної моделі починається з вибору деякого числа змінних величин. Завдаючи їх числові значення, однозначно визначається один з варіантів процесу. Ці величини зазвичай позначаються буквами і т. п. з одним або декількома індексами.

Мета дослідження характеризується ознакою (критерієм), за якою будуть порівнюватись різні варіанти розв’язків і здійснюватись вибір найкращого (оптимальний розв’язок). В залежності від її виду (найбільший прибуток, найбільша товарна продукція, найменша вартість обробки, найменші витрати виробництва, найменші відходи виробництва тощо), вибирається напрямок оптимізації: максимізація або мінімізація цільової функції. Обраний критерій представляється у вигляді математичної функції від визначених змінних.

Після визначення змінних робиться кількісний аналіз наявних ресурсів, їх витрат. Потім у вигляді системи математичних рівностей або нерівностей представляються всі взаємозв'язки, які характеризують даний процес.

При записі математичних залежностей необхідно описувати головні властивості об’єктів та не враховувати другорядні.

ПРИКЛАДИ ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ