Розв’язування задач на підрахунок ймовірностей за допомогою формул комбінаторики

Випадкова вірогідна неможлива

це подія, яка може це подія, яка внаслідок це подія, яка внаслідок

відбуватись, або не даного випробування даного випробування

відбуватись під час обов’язково відбудеться не може відбутися

здійснення певного

випробування

Події А₁, А₂,…, А_n називаються попарно несумісними, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом.

Події А₁, А₂,…, А_n будуть рівноможливими, якщо кожна з них не має ніяких переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.

Класичнеозначення ймовірності: Ймовірність події А дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють появі події А, до числа всіх рівноможливих несумісних подій.

Ймовірність вірогідної події P(U)=1, неможливої – P(V)=0, випадкової – 0<P(A)<1.

Приклад. З класу, в якому навчається 22 учні, навмання вибирають одного. Яка ймовірність того, що це буде хлопець, якщо хлопців – 5?

Операції над подіями

сумоюдвох подій А і В називається подія С, що полягає в здійснені хоча б однієї з подій А або В

добуткомподій А і В називається подія С, що полягає в здійснені обох подій А і В.

подією протилежною події А називається подія Ā („не А”) яка здійсниться, якщо не здійсниться подія А.

Задача №1.Стрілець тричі стріляє в ціль. Нехай події:

А₁ – влучення в ціль в результаті 1-го пострілу, А₂ – 2-го, А₃ – 3-го.

а) В=А₁+А₂ - влучення в ціль в результаті 1-го або 2-го пострілів;

б) С=А₁*А - влучення в ціль в результаті кожного з двох пострілів;

в) Д=А₁*А₂*А₃ -влучення в ціль в результаті кожного з трьох пострілів;

г) Е=А₁+А₂⁺А₃ -влучення в ціль в результаті хоча б одного з трьох пострілів.

д) F = A₁* Ā₂* Ā₃ – влучення мало місце лише в результаті першого пострілу;

е) H = A₁* Ā₂* Ā₃+Ā₁*A ₂*Ā₃⁺ Ā₁* Ā₂* A₃ – влучення мало місце лише в результаті одного з пострілів.

P(A+B) = P(A) + P(B)

Теорема 1 Ймовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

P(A) + P(Ā) =1

Наслідок Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1

Задача №2. Курсант складає залік зі стрільби. Залік вважається складеним, якщо курсант одержав оцінку, не нижчу за „4”. Яка ймовірність того, що курсант складає залік, якщо він одержує оцінку „5” з ймовірністю 0,3 і оцінку „4” – з ймовірністю 0,5.

Розв’язання

А – за стрільбу одержано „5”;В – „4”;С – залік складено

С = А + В, А і В – несумісні, тому Р(С) = Р(А) + Р(В) = 0,3 +0,5 = 0,8.

Теорема: Для будь-яких подій А и В виконуються співвідношення.

P(A) = P(A) + P(B) – Р(А*В)

Означення: Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежіть від того, відбулась чи ні подія В.

P(A*B) = P(A) * P(B)

Теорема: Ймовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто

Задача №3.Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від одного в ціль. Постріл вважається успішним, якщо в ціль влучив хоча б один мисливець. Обчисліть ймовірність того, що постріл буде успішним, якщо ймовірності влучення в ціль для мисливців дорівнюють відповідно 0,8 і 0,75.

А – перший мисливець влучив в ціль, Р(А) = 0,8

В – другий мисливець влучив в ціль, Р(А) = 0,75

А+В – хоча б один мисливець влучив в ціль

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А*В)=Р(А)+Р(В)–Р(А)*Р(В)=0,8+0,75–0,8*0,75=1,55–0,6=0,95

Задача №4 Для інформування про аварію встановлено три незалежні між собою сигналізатори. Ймовірність того, що під час аварії спрацює перший сигналізатор 0,95; другий –0,9; третій - 0,86.

Знайдіть ймовірність того, що під час аварії

а) спрацює тільки один сигналізатор.

А₁ – спрацює першій сигналізатор Р(А₁)=0,95 Р(Ā₁)=1–0,95=0,05

А₂ – другий Р(А₂)=0,9 Р(Ā₂)=1–0,9=0,1

А₃ – третій Р(А₃)=0,86 Р(Ā₃)=1–0,86=0,14

А – спрацює тільки один сигналізатор

А=А₁*Ā₂*Ā₃+Ā₁*А₂*Ā₃+Ā₁*Ā₂*А₃

Події, що множаться незалежні, а події, що додаються – несумісні, тому:

Р(А)=Р(А₁)*Р(Ā₂)*Р(Ā₃)+ Р(Ā₁)*Р(А₂)*Р(Ā₃)+ Р(Ā₁)*Р(Ā₂)*Р(А₃)

Р(А)=0,95*0,1*0,14+0,05*0,9*0,14+0,05*0,1*0,86=0,0139+0,0063+0,0043=0,0239

б) Знайдіть ймовірність того, що під час аварії спрацюють тільки два сигналізатори.

В – спрацює тільки два сигналізатори

В= А₁*А₂*Ā₃+ А₁*Ā₂*А₃+ Ā₁*А₂*А₃

Події, що множаться незалежні, а події, що додаються – несумісні, тому:

Р(В)=Р(А₁)*Р(А₂)*Р(Ā₃)+ Р(А₁)*Р(Ā₂)*Р(А₃)+ Р(Ā₁)*Р(А₂)*Р(А₃)

Р(В)=0,95*0,9*0,14+0,95*0,1*0,86=0,2401

в) Знайдіть ймовірність того, що під час аварії спрацюють три сигналізатори.

С – спрацюють усі три сигналізатори

С = А₁*А₂*А₃ Події, що множаться незалежні, тому:Р(С) = 0,95*0,9*0,86 = 0,7353

г) Знайдіть ймовірність того, що під час аварії не спрацює жодний сигналізатор

Д – не спрацює жодний сигналізатор

Д = Ā₁*Ā₂*Ā₃ Події, що множаться незалежні, тому:Р(Д) = 0,05*0,1*0,14+0,0007

д) Знайдіть ймовірність того, що під час аварії не спрацює хоча б один сигналізатор. Е – спрацює хоча б один сигналізатор

Е = А₁+А₂+А₃ але ці події не є несумісними, тому теорему про суму несумісних подій не можна застосувати.

Е=А+В+С, ці події несумісні Р(Е)=Р(А)+Р(В)+Р(С)+0,0239+0,2401+0,7353=0,9993

(2-ий спосіб: =Д, Р(Е) = 1 – Р(Д) =1 – 0,007 = 0,9993)

Означення. Якщо ймовірність події В обчислюється при умові, що подія А мала місце, то тоді ймовірність події В називається умовною і позначається Р_А(В).

ТеоремаЙмовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої при умові, що перша подія відбулася:

Р(А*В) = Р(А) * Р_А(В).

Задача №5. Шість карток розрізної абетки складають слово „ракета”. Картки перемішуються, а потім по одній розкладаються зліва направо. Яка ймовірність того, що знов буде складено слово „ракета”?

С – знов складено „ракета”.

Р(С)=Р(РАКЕТА)=Р(Р)*Р_Р(А)*Р_РА(К)*Р_РАК(Е)*Р_РАКЕ(Т)*Р_РАКЕТ(А)=

Розв’язування задач на підрахунок ймовірностей за допомогою формул комбінаторики.

Вибір формули: 1.чи враховується порядок елементів так ні 2.чи всі елементи задіяні так ні

Задача №6 У скриньці 6 білих і 8 чорних кульок. Навмання беруть дві кульки. Яка ймовірність того, що обидві вийняті кульки – білі? (подія А)

1 спосіб Р(А) = .

, , Р(А) = .

2 спосіб В – перша кулька біла

С – друга кулька біла А = В * С

Задача №7. У скриньці 12 білих і 8 червоних кульок.

а) Навмання взяли одну кулю. Яка ймовірність того, що вона біла?

б) Навмання взяті дві кулі. Яка ймовірність того, що вони різних кольорів?

в) Навмання взяли 8 кульок. Яка ймовірність того, що три – червоні?

г) Навмання взяли 8 кульок. Яка ймовірність того, що серед них не більше трьох червоних?

Розв’язання

а) А – куля біла, Р(А) = ,

б) В – дві кулі різних кольорів, Р(В) = ,

.

в) С – вісім червоних кульок.

г) Д – не більше трьох червоних.