Свойства математического ожидания и дисперсии

Математическое ожидание случайной величины q – это среднее значение, вокруг которого группируются все результаты измерения.

Дисперсией случайной величины q называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от её математического ожидания M(q)

В связи с тем, что единица дисперсии (единица ФВ возведённая в квадрат) неудобна для применения, на практике при точечной оценке случайной величины используется среднее квадратическое отклонение (с. к. о.)

1. Если все значения случайной величины q, не меняя их вероятности уменьшить (увеличить) на некоторое число a, то:

а) математическое ожидание M(q) уменьшится (увеличится) на это же число

б) дисперсия D (q) не изменится

2. Если все значения случайной величины q, не меняя их вероятности, умножить на некоторый множитель b (> 1 или < 1), то:

а) математическое ожидание M(q) умножится на этот же множитель

б) дисперсия D (q) умножится на квадрат этого множителя

3.а) математическое ожидание M(q) суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

б) дисперсия D (q) суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых

4. а) математическое ожидание M(q) произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей

б) дисперсия постоянной величины a равна 0

Пример:

При измерении случайной величины q с математическим ожиданием и дисперсией получен следующий исправленный ряд результатов

.

Каждый результат уменьшается на одно и то же постоянное число a и умножается на один и тот же постоянный множитель b. Получается случайная величина

для другого ряда результатов

По формулам раздела 1.1 находится математическое ожидание и дисперсия второго ряда.

Исходя из первого и второго свойств математического ожидания и дисперсии, определяются и для исходного ряда результатов измерений:

а) ;

б)

Величины a и b выбираются исходя из максимального уменьшения разрядов чисел первого ряда для получения второго ряда с целью упрощения вычислений.

1.4 Обработка результатов прямых неравноточных измерений

Результаты неравноточных измерений получаются при повторных многократных измерениях одного и того же истинного значения измеряемой ФВ, разными наблюдателями, разными средствами измерений, в разное время. При этом получается несколько серий таких результатов

………………….;

где m – число серий результатов;

- число результатов измерений в каждой серии.

Ко всем этим сериям наблюдений предъявляется основное требование: соблюдение единства условий измерения в отношении всех влияющих и учитываемых факторов и максимальной тщательности проведения измерений.

После точечной оценки (см. раздел 1.1) неравноточные измерения приводят к результатам

Для оценки наиболее вероятного значения ФВ по результатам неравноточных измерений вводится понятие “вес” для каждой серии результатов измерений в общей их совокупности, т. е. проводится оценка степени их доверия для получения значения измеряемой ФВ, наиболее близкого к истинному.

Таким образом, понятие “вес” отражает степень доверия к результату измерения. Чем больше степень доверия, тем больше число, выражающее этот “вес”.

Среднее взвешенное значение измеряемой ФВ, наиболее близкое к истинному её значению , определяется по формуле

(1.26)

где - средние значения для отдельных серий результатов, полученных тем или иным способом;

- “веса” соответствующих серий результатов.

“Веса” серий результатов можно определить следующими способами:

а) при известных и каждой серии результатов по формуле

(1.27)

б) при неизвестных

(1.28)

в) при (одинаковые в каждой серии результатов)

. (1.29)

Среднее квадратическое отклонение среднего взвешенного вычисляется по формуле

(1.30)

Окончательный результат записывается в виде

, при p_Д = ,

где - абсолютная погрешность (доверительный интервал) среднего взвешенного .

Доверительный интервал определяется таким же образом, как и при равноточных измерениях (см. раздел 1.1):

- при нормальном законе распределения;

- при распределении Стьюдента.

2. МЕТОДИКА ОБРАБОТКИ КОСВЕННЫХ ВИДОВ ИЗМЕРЕНИЙ

При косвенных видах измерений значение искомой величины Y получают на основании прямых видов измерений величин , связанных с измеряемой известной функциональной зависимостью

, (2.1)

где - подлежащие прямым измерениям аргументы функции искомой величины Y

.

2.1 Общий случай

В уравнениях связи аргументы представлены в виде результатов многократных прямых видов измерений

………………….;

(2.2)

………………….;

где - число результатов прямых видов измерений аргументов ;

- число аргументов в уравнении связи (2.1).

Исходя из уравнений связи (2.1) необходимо найти искомый результат Y.

1. На основании формул (1.5) и (1.8) раздела 1.1 проводится точечная оценка каждого аргумента, т. е. находятся значения и . Точечная оценка приводит к результатам

(2.3)

2. Исходя из уравнения связи (2.1) оценивается искомый результат

. (2.4)

3. Оценка дисперсии искомого результата

, (2.5)

где - частная производная аргумента , которая называется коэффициентом влияния.

Следует отметить, что при - такие коэффициенты влияния не учитываются.

Произведения частных производных уравнения связи на с. к. о. результатов измерения соответствующих аргументов называются частными погрешностями косвенного измерения

. (2.6)

Оценка коэффициента корреляции между каждой парой аргументов определяется по формуле

, (2.7)

где - наименьшее из чисел наблюдений n_k и n_l соответственно аргументов и .

Коэффициент корреляции определяет степень связи между случайными величинами. Возможные значения коэффициента корреляции лежат в интервале .

Коэффициент корреляции тогда и только тогда, когда между результатами наблюдений и существует линейная функциональная зависимость (погрешности измеряемых ФВ являются зависимыми).

Если , то погрешности измерения аргументов и некоррелированы (погрешности измеряемых ФВ являются независимыми). В этом случае формула (2.5) примет вид

. (2.8)

Формула (2.8) обычно справедлива, когда рассматриваемые аргументы и измеряют в разное время и для их измерения применяют разные по устройству средства измерений.

Корреляция между погрешностями аргументов чаще всего возникает в тех случаях, когда измерения выполняются одновременно и изменения влияющих величин (температуры воздуха, напряжения питания и т.п.), хотя и допустимые сами по себе, оказывают некоторое влияние на результаты наблюдений.

Критерием отсутствия корреляции между рассматриваемой парой аргументов и является выполнение неравенства

< t_p, (2.9)

где ; (2.10)

- коэффициент Стьюдента находится по табл. П-4;

- уровень значимости;

- принятая доверительная вероятность.

4. Оценка погрешности искомого результата:

а) Если число результатов, выполненных при измерении всех аргументов, превышает 25 – 30, то

(2.11)

где t = f (р_Д) - коэффициент стандартного нормального распределения находится по табл. П-1 функции Лапласа.

б) При меньшем числе наблюдений пользуются распределением Стьюдента (см. табл. П-4)

(2.12)

где t_p=f(q; k_эф) - коэффициент Стьюдента.

Эффективное число степеней свободы k_эф определяется по формуле

(2.13)

где n_j – число результатов прямых измерений аргумента _.

При равном числе наблюдений всех аргументов, т.е. при n₁= n₂=…= n_m= n

(2.14)

Эффективное число степеней свободы обычно получается дробным, поэтому для отыскания величины t_p данные табл. П-4 приходиться интерполировать.

Окончательный результат записывается в виде

, при . (2.15)

2.2 Частный случай

В уравнениях связи (2.1) значения аргументов заданы в виде

….; (2.16)

т. е. заданы своими доверительными интервалами

, (2.17)

где - коэффициент аргумента , зависящий от принятого закона распределения результатов измерения этого аргумента и принятой доверительной вероятности .

При отсутствии корреляционной зависимости между погрешностями измерений аргументов (коэффициент корреляции ) и при одинаковой доверительной вероятности всех аргументов ( ) уравнения связи (2.1), оценка погрешности искомого результата будет иметь вид

. (2.18)

Формула (2.17) получена из равенства (2.8) путём умножения левой и правой частей его на коэффициент . Окончательный результат записывается аналогично (2.15).

2.3 Критерии ничтожных частных погрешностей

Оценка дисперсии косвенного результата измерения (2.8), с учётом частных погрешностей (2.6), может быть выражена через частные погрешности

. (2.19)

В соответствии с ГОСТом 8.011-72 “Показатели точности измерения и формы представления результатов измерения” погрешность результата округляется до одной, двух значащих цифр. Это соответствует 5% изменения погрешности результата. Следовательно, изменение левой части выражения (2.19) на 5% (0,05) не повлияет на округлённое значение , т. е. при округлении справедливо равенство

. (2.20)

Если имеется частная погрешность составляющая менее 5% от , то справедливо неравенство

< . (2.21)

Решим неравенство (2.21) относительно

<

<

т. к. в соответствии с (2.19)

<

и после преобразований получим

<

или

< . (2.22)

Формула (2.22) в метрологии называется критерием ничтожных частных погрешностей, а сами погрешности, отвечающие неравенству (2.22) называются ничтожными или ничтожно малыми.

На основании ничтожных частных погрешностей (2.22) можно пренебречь целой группой частных погрешностей, если выполняется неравенство

< , (2.23)

где - максимальная из всех частных погрешностей.

2.4 Погрешности результата косвенного вида измерений

для наиболее распространённых уравнений связи

1. . (2.24)

2. . (2.25)

3. . (2.26)

4. . (2.27)

5. . (2.28)

6. . (2.29)

Если в уравнениях связи (2.28) и (2.29) аргументы заданы своими доверительными интервалами (2.16) и (2.17), то уравнения погрешностей (2.28) и (2.29) соответственно примут вид

, (2.30)

. (2.31)

Примечания:

1. Во всех формулах для с. к. о. считается, что аргументы некоррелированы (независимы).

2. При возведении в степень значительно увеличивается погрешность результата, поэтому измерение величин, которые при дальнейших вычислениях возвышаются в степень, должно производится с особой точностью.

3. Величины, из которых при дальнейшей обработке извлекаются корни, могут измеряться с меньшей точностью, поскольку погрешность таких величин при обработке уменьшается.

2.5 Варианты заданий к разделу 2

Провести обработку косвенных видов измерений по заданным уравнениям связи в соответствии с данными табл. 2.1.

Таблица 2.1

Уравнения связи

№ варианта
Уравнение связи
№ варианта
Уравнение связи

Примечание к табл. 2.1: № варианта уравнения связи соответствует последней цифре № зачётной книжки студента.

Варианты заданий аргументов для уравнений связи приведены в

табл. 2.2

Таблица 2.2

Варианты заданий аргументов

Варианты заданий	Номера аргументов	Варианты заданий	Номера аргументов

Примечания к табл. 2.2:

1. № варианта задания соответствует порядковому номеру фамилии студента в зачетной ведомости.

2. № аргументов соответствует номерам вариантов заданий к разделу 1.1.

3. МЕТОДИКА РАСЧЁТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ПОГРЕШНОСТИ СИ В ЭКСПЛУАТАЦИИ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ

КЛАССА ТОЧНОСТИ

Для рабочих условий эксплуатации метрологические характеристики (МХ) конкретного экземпляра аналоговых средств измерений (СИ) и цифроаналоговых преобразователей (ЦАП) в соответствии с ГОСТ 8.009-84 /2/ погрешности нормируются ком­бинациями: систематическая (D_S), случайная составляющие и вари­ация (H), которые рассчитываются по результатам одной и той же серии наблюдений одного и того же действительного значения физи­ческой величины X₀ .

1.Оценка систематической составляющей погрешности СИ

- с учетом вариации

(3.1)

где и - средние значения погрешностей в точке результата X₀ , полученные экспериментально при медленных изменениях измеряе­мого параметра со стороны соответственно меньших и больших значе­ний до значения X₀

(3.2)

D_{М i}= X_Мi - X_0; D_Бi = X_Бi - X_0; (3.3)

где n- число результатов X_М (X_Б),

- без учета вариации

(3.4)

где 2n - число наблюдений при определении .

2. Оценка среднего квадратического отклонения (с.к.о.) случайной составляющей погрешности СИ

- с учетом вариации

(3.5)

- без учета вариации

(3.6)

3.Оценка вариации

. (3.7)

4.Наибольшее значение основной погрешности с вероятностью, близ­кой к единице, определяется по формуле

(3.8)

Предельное значение систематической составляющей основной погреш­ности нормируется всегда, т.к. реальные СИ не могут быть изготов­лены идеально точно. В свою очередь, одной из составляющих слу­чайной составляющей основной погрешности (H₀ или ) можно пренебречь, если она менее 10% другой. Критерии нормирования в соответствии с дву­мя неравенствами приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Критерии нормирования составляющих случайной погрешности

Неравенства
NN0	левая часть	правая часть
		³ 0,9	< 0,1	³ 0,1 и < 0,9
		³ 0,1	-
	-	³ 0,3	-
Нормируются			и Ho

Примечания к табл. 3.1: H₀ и - не нормируются, если:

1)не выполняется любое из вторых неравенств, при соблюдении соот­ветствующих первых;

2)выполняется неравенство

< .

5.Определение класса точности СИ.

При технических измерениях, когда не предусмотрено выделение и составляющих погрешности по ГОСТ 8.401-80 /3/ каждому СИ присваивается определенный класс точности (А).

Класс точности - это обобщенная МХ, определяющая различные свойс­тва СИ и включает в себя систематическую и случайную составляющие погрешности.

В основу класса точности (А) заложены следующие положения:

1)в качестве норм служат пределы допускаемых погрешностей, вклю­чающие и ;

2)основная погрешность D₀ и дополнительная D_C нормируются порознь.

Основная погрешность СИ формируется при нормальных условиях эксплуатации, когда влияющие величины (неинформативные параметры) равны нормам

,

где l – число влияющих величин.

Для аналоговых СИ класс точности нормируется пределом допус­каемой основной приведенной погрешностью g_op

(3.9)

где N - предел измерения СИ

N = X_В – X_Н; (3.10)

X_В и X_Н - верхний и нижний пределы измерения СИ;

А - класс точности СИ выбирается из следующего ряда (ближайшее большее):

(1.0; 1.5; (1.6); 2.0; 2.5; (3,0); 4,0; 5.0; и 6.0)×10ⁿ;

n = 1; 0; (-1); (-2).

Предельное значение основной погрешности D_op в выражении (3.9) вычисляется следующим образом:

а) если случайная составляющая основной погрешности несущественна

( ) - не нормируется)

, (3.11)

б) если существенна ( - нормируется):

- при отсутствии вариации (H_о - не нормируется)

; (3.12) - - при наличии вариации (H_о - нормируется)

(3.13)

В формулах (3.12) и (3.13) коэффициент k зависит от принятой доверительной вероятности p_Д. При p_Д = 0,96; k = 2.

Таблица 3.2

Варианты заданий к разделу 3

№ вар.	P0, кг/см2	PМ, кг/см2	PБ, кг/см2	N, кг/см2
	120.0	119.3; 119.7; 119.4; 119.6; 119.8	121.2; 120.8; 122.3; 121.0; 123.0	150.0
	3.0	2.97; 2.89; 2.94; 2.96; 2.84	3.03; 3.01; 3.00; 3.02; 3.06	5.0
	6.0	5.91; 5.93; 5.87; 5.93; 5.89	6.11; 6.09; 6.21; 6.15; 6.19	10.0
	9.0	8.97; 8.79; 8.88; 8.85; 8.92	9.15; 9.07; 9.01; 9.14; 9.02	15.0
	20.0	19.3; 19.7; 19.4; 19.6; 19.5	21.2; 20.8; 21.1; 21.0; 20.9	30.0
	40.0	39.3; 39.0; 39.5; 38.9; 39.1	41.3; 40.9; 40.8; 41.0; 41.1	50.0
	60.0	59.2; 59.4; 58.8; 58.9; 59.6	61.7; 61.5; 61.0; 60.8; 60.3
	80.0	79.2; 79.6; 79.8; 78.9; 80.0	81.2; 81.0; 81.3; 80.9; 80.5
	100.0	100.8; 99.7; 100.6; 99.8; 99.5	101.2; 100.5; 100.6; 100.9; 100.0	150.0
	2.0	1.97; 1.89; 1.94; 1.96; 1.84	2.03; 2.01; 2.02; 2.04; 2.06	5.0

Примечания к табл. 3.1: 1. В таблице введены следующие обозначения:

P₀ – действительные значения измеряемого давления; P_М и P_Б – результаты измерений, полученные со стороны соответственно меньших и больших значений до значения P₀; N – предел измерения СИ.

2. № варианта задания соответствует последней цифре № зачётной книжки студента.

4. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СХЕМ

СИСТЕМ АВТОМАТИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

При разработке схем систем автоматизации применяют различные средства измерения, соединяемые между собой и с объектом управле­ния по определенным схемам. Функциональные схемы отражают функци­онально- блочную структуру отдельных узлов автоматического конт­роля, сигнализации, управления и регулирования технологического процесса и определяют оснащение объекта управления приборами и средствами автоматизации. Построение функциональной схемы системы автоматизации заключается в размещении на технологической схеме и в соответствующих местах связанных между собой датчиков и вторичной аппаратуры (показывающей, регистрирующей или регулирующей).

Для изображения средств измерений и автоматизации используются услов­ные обозначения в соответствии с /4, 5, 6/ .

Основные элементы схем состоят из графических и буквенно-цифровых обозначений. Графические обозначения средств измерения представляют собой окружности или овалы, в которые вписываются буквы латинского алфавита, обозначающие измеряемые величины, функциональные признаки и функции применяемых средств.

Функциональная схема автоматизации может включать следующий набор основных элементов (см. рис. 4.1,а): технологический объект (То), устройство отбора технологического параметра (Уо), чувстви­тельный элемент (Чэ), преобразователь (Пр), вторичный измерительный прибор (Вп), устройства сигнализации (Сг), автоматический регулятор (Ар), исполнительный механизм (Им), ре­гулирующий орган (Ро). На рис.4.1,а показан полный набор элементов системы автоматического регулирования

Т

Вп

Пр

Чэ

У

P

С1

а) б)

Рис. 4.1

Каждый элемент имеет свое условное обозначение в соответствии с /4/. На рис.4.1,б показан пример функциональной схемы системы измерения температуры в сепараторе С1 с показывающим и регистрирующим вто­ричным прибором (TIR), установленном в щитовом помещении (на это указывает горизонтальный диаметр в окружности). Эта схема также включает: чувствительный элемент (TE), преобразователь температу­ры (TT) в пневматический сигнал (P), а также устройство отбора температуры (сплошная линия, соединяющая C1 с TE). Цифры в нижней части окружности показывают номер данной системы (первая цифра) и номер элемента данной системы (вторая цифра), что облегчает чте­ние сложных функциональных схем систем автоматизации, в которых технические средства автоматизации изображаются на технологичес­ких схемах в любом удобном для графического исполнения схемы мес­те. В качестве примера построения функциональных схем автоматиза­ции смотри /7/ .

Варианты заданий к разделу 4

Построить функциональные схемы следующих систем:

0. Автоматического регулирования температуры продукта.

1. Автоматического регулирования давления газа в сепараторе.

2. Непрерывного регулирования уровня жидкости в емкости.

3. Позиционного регулирования уровня жидкости в емкости.

4. Автоматического регулирования расхода продукта в трубопроводе с регистрацией на щите.

5. Автоматического регулирования соотношения расходов продукта в двух трубопроводах (Q₁ = f(Q₂)).

6. Измерение расхода жидкости в трубопроводе расходомером перемен­ного перепада давления с показывающим прибором по месту.

7. Измерение расхода газа в трубопроводе с коррекцией по темпера­туре и давлению.

8. Измерение температуры газа с коррекцией по влажности и регист­рацией на щите.

9. Измерение давления газа в сепараторе с коррекцией по температу­ре и показывающим прибором на щите.

Примечания к разделу 4:

1. При построении функциональных схем автоматизации необходимо дать информацию о применяемых в данных схемах средствах измерения, технологических объектах и измеряе­мых, контролируемых или регулируемых параметрах.

2. При выборе вариантов задания необходимо руко­водствоваться номером своей зачетной книжки: номер варианта зада­ния соответствует последней цифре номера зачетной книжки студента.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Рабинович С.Г. Погрешности измерений. - Л.: Энергия, 1978.- 262с.

2.ГОСТ 8.009-84. Государственная система обеспечения единства из­мерений. Нормируемые метрологические характеристики средств изме­рений.

3.ГОСТ 8.401-80. ГСИ. Классы точности средств измерений. Общие требования.

4.ГОСТ 21.404-85. Автоматизация технологических процессов. Обоз­начения условные приборов и средств автоматизации.

5.Клюев А.С. и др. Техника чтения схем автоматического управления и технологического контроля. - М.: Энергоатомиздат, 1983, с.30-49.

6.Прахова М.Ю. Основные принципы построения систем автоматическо­го управления и технологического контроля: Учебное пособие.- Уфа: Изд-во УГНТУ, 1996.- 112с.

7.Шаловников Э.А. Автоматизация процессов подготовки газа на газодобывающих предприятиях: Конспект лекций. - Уфа: Изд-во УНИ, 1983.- 51 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица П-1

Значения нормированной функции Лапласа

0,0	0,00000
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9

Примечание. Значения Ф(t) при t = 3,0 ÷ 4,5 следующие:

3,0	………...	0,49865	3,4	………...	0,49966	3,8	………...	0,49993
3,1	………...	0,49903	3,5	………...	0,49977	3,9	………...	0,49995
3,2	………...	0,49931	3,6	………...	0,49984	4,0	………...	0,499968
3,3	………...	0,49952	3,7	………...	0,49989	4,5	………...	0,499999

Таблица П-2

Значения χ² - распределения Пирсона c² = f (q; k)