Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации

Пусть с испытанием связана случайная величина Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru с неизвестными числовыми характеристиками (а, D) и пусть набрана независимая выборка (40).

В дальнейшем будем употреблять следующий удобный термин: любую функцию Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru от выборки (40) будем называть статистикой.

Лемма 1. Статистика

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru (42)

является состоятельной несмещенной оценкой математического ожидания а.

Доказательство. 1. Мы знаем, что элементы выборки (40) являются независимыми случайными величинами с одним и тем же законом распределения, совпадающим с законом распределения случайной величины Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru , а значит, имеют те же числовые характеристики (а, D).

По теореме Чебышева среднее арифметическое независимых случайных величин с одинаковыми параметрами (а, D), при неограниченном возрастании числа слагаемых сходится по вероятности к общему математическому ожиданию

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru

что и означает состоятельность оценки.

2. Имеем

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru

Это означает несмещенность оценки Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru .

Лемма 2.Статистика

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru (43)

является состоятельной несмещенной оценкой дисперсии D. Доказывается аналогично лемме 1.

Замечание 1. Если в формуле (43) заменить (n - 1) на n , то оценка останется состоятельной, но будет смещенной. Величина S2 называется исправленной дисперсией.

Замечание 2. Из леммы 2 следует, что статистика:

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru

является состоятельной оценкой для СКО Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru ). Можно доказать, что Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru , т.е. оценка S является смещенной оценкой для Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru .

Пусть по данным опыта получим ряд значений случайной точки ( Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru ) (выборка):

1, у1) (х2, у2), …, (хn, уn).

Справедлива следующая

Лемма 3.Состоятельной несмещенной оценкой для cov( Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru ) является выборочная ковариация

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru где Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru

Два распределения, связанные с нормальным законом

Сформируем два результата, которые понадобятся далее.

Теорема 1.Пусть случайные величины Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru независимы и нормальны с параметрами (0,1), тогда случайная величина Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru подчинена закону распределения с плотностью вероятности

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru

Рис.30

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru – распределение (Пирсона)

Теорема 2. Пусть случайные величины Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru независимы и нормальны с параметрами (0,1), тогда случайная величина

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru

подчинена закону распределения с плотностью

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru

рис.31

t – распределение (Стьюдента)

В обоих случаях константа С подобрана так, чтобы площадь под графиком плотности была равна 1.

Число n называется числом степеней свободы.

Квантиль распределения

Пусть имеется случайная величина Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru с функцией распределения F(x). Будем предполагать, что функция F(x) непрерывна и строго монотонна.

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru

Рис.32

Зададимся числом pÎ (0,1).

Квантилем уровня p распределения F(x)называется корень уравнения F(x) = p, х - ?

Обозначим его Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru (см. рис.32). Из определения функции F(x) вытекает: Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru .

Нам понадобится далее квантили распределений Пирсона и Стьюдента. Они обозначаются:

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru , Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации - student2.ru

Для этих квантилей имеются таблицы.

Наши рекомендации