Сложные ставки ссудных процентов

Простые ставки ссудных процентов

Определение величины наращенной суммы за некоторый период времени называется компаундингом (compounding).

Формула для определения наращенной суммы:

,

где S – наращенная сумма; P – величина первоначальной денежной суммы; n – продолжительность периода начисления в годах; i – ставка ссудного процента.

Если требуется найти наращенную сумму за период времени не совпадающий с точным количеством лет, то используется модифицированная формула определения наращенной суммы:

,

где l – продолжительность периода начисления в днях, m – продолжительность года в днях.

На практике часто возникает обратная задача: узнать величину первоначальной денежной суммы (P), которая в будущем должна составить заданную величину наращенной суммы (S). Определение современной величины наращенной суммы (S) называется дисконтированием (discounting).

Формула для определения первоначальной денежной суммы.

Для точного числа лет:

Для периода времени, не совпадающим с точным числом лет

В случае если на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки, то формула для расчета наращенной суммы имеет вид:

Пример 1

Кредит в размере 10.000.000 руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 20% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для обыкновенного и точного расчета процентов. Год не високосный.

Решение:

1 Для обыкновенных процентов l=284, m=360

S = 10.000.000(1+284/360x0,2)=11.577.777,77

2. Для точных процентов l=284, m=365

S = 10.000.000(1+284/365x0,2)=11.556.164,38

Пример 2

Кредит в размере 20.000.000 выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год 30%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1%. Определить наращенную сумму.

Решение:

Простые учетные ставки

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т.е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим (банковским) учетом.

Дисконт – это доход, полученный по учетной ставке, то есть, разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (покупке) векселей и других денежных обязательств.

,

где D_г – сумма процентных денег, выплачиваемая за год (банку); d – годовая учетная ставка; S – сумма, которая должна быть возвращена.

,

где D – общая сумма процентных денег.

Сумма, получаемая заемщиком будет определяться:

,

где P – сумма получаемая заемщиком; l – продолжительность периода начисления в днях, m – продолжительность года в днях.

Наращенная сумма (сумма, которая должна быть возвращена) определяется:

Из формулы можно увидеть, что в отличие от ссудных ставок, учетные ставки не могут принимать любое значение. Необходимо выполнения условия:

или

Пример 1

Кредит в размере 40.000.000 выдается по простой учетной ставке 25% годовых. Определить срок, на который представляется кредит, если заемщик желает получить 35.000.000 рублей.

Решение:

Пример 2

Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 9.000.000 рублей, если сумма в 10.000.000 выдается в ссуду на полгода.

Решение:

Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход не выплачивается, а капитализируется, то для определения наращенной суммы применяются формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты достаточно широко применяются на практике.

Чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Формула для расчета сложных процентов имеет вид:

,

где S – наращенная сумма; P – величина первоначальной денежной суммы; n – продолжительность периода начисления в годах; i – ставка сложных ссудных процентов; n – количество лет.

Если срок ссуды не является целым числом, то формула для расчет наращенной суммы определяется:

,

где n_а – целое число лет; n_b – оставшаяся дробная часть года.

В случае если уровень сложных процентных ставок различается на разных интервалах начисления, то в конце всего периода начисления наращенная сумма будет определяться:

,

где n₁, n₂,…,n_N – продолжительность интервалов начисления в годах; i₁, i₂,...,i_N – годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам; N – количество интервалов начисления сложных процентов.

Если все интервалы начисления одинаковы (как обычно бывает на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, то наращенная сумма будет определяться:

Начисление сложных процентов может осуществляться несколько раз в году, в этом случае оговаривается номинальная ставка процентов (j), то есть годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке (j), величина номинальной процентной ставки, применяемой на каждом интервале начисления определяется .

Если срок ссуды составляет n лет, то наращенная сумма будет определяться:

,

где j – номинальная ставка сложных ссудных процентов; mn – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться:

,

где l – часть интервала начисления.

Пример 1

Первоначальная сумма долга равна 50.000.000 рублей. Определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 20% годовых.

Решение:

1 способ начисления.

2 способ начисления.

Пример 2

Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за 5 лет? Определить также для случая начисления процентов по полугодиям.

1.

2. Для случая начисления процентов по полугодиям

Сложные учетные ставки

При антисипативном способе начисления сложных процентов (проценты начисляются в начале каждого интервала), формула наращенной суммы имеет вид:

,

где S – сумма, которая должна быть возвращена; P – сумма получаемая заемщиком; d – величина сложной учетной ставки; n – количество лет.

Для периода начисления, не являющегося целым числом, наращенная сумма будет определяться:

,

где – n_a – целое число лет; n_b – оставшаяся дробная часть года.

При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма определяется:

,

где n₁, n₂,…,n_N – продолжительность интервалов начисления в годах; d₁, d₂,...,d_N – годовые учетные ставки, соответствующие данным интервалам; N – количество интервалов начисления сложных процентов.

Если проценты начисляются m раз в году, наращенная сумма определяется:

,

где f – номинальная годовая учетная ставка; mn – общее количество интервалов начисления.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться:

,

где mn – целое число интервалов начисления за весь период начисления; l – часть интервала начисления.

Пример

Определить современное значение суммы в 100.000.000 рублей, которая будет выплачена через 2 года при использовании учетной ставки 20% годовых.

Решение