Вывод расчетных зависимостей

Исходными данными для расчетов является поверхность детали, задаваемая в общем случае параметрически как винтовая поверхность с двумя независимыми параметрами [8,10] (рис.2.1)

,(26)

где r является функцией от d (r = f(d));

j - угол (второй независимый параметр после d), характеризующий протяженность винтовой поверхности вдоль оси Z.

Параметрами установки будут являться y, e, m . Требуется определить параметры осевого профиля дискового инструмента R_u, Z_u, s_u, r_u.

Учитывая постоянство профиля детали (поверхность, допускающая движения “самой по себе”) и инструмента указанную задачу можно решать как статическую путем нахождения координат точек линии контакта между двумя поверхностями - номинальной поверхности детали и производящей поверхности инструмента.

Для поиска решения первоначально необходимо описать номинальную поверхность детали в системе координат инструмента. Наиболее просто это сделать путем двух последовательных плоских преобразований

, . (27)

В сечении инструмента и детали плоскостью S-S , перпендикулярном оси Z_u , номинальная поверхность детали будет представлена линией, являющейся функцией одного параметра, так как условие Z_u = const позволяет при преобразовании зависимостей (26) и (27) выразить один из параметров d или j через другой. Форма инструмента в данном сечении представлена окружностью

. (28)

Производящая поверхность инструмента теоретически точно сопрягается с номинальной поверхностью детали по линии контактной BС. Сечение этой линии плоскостью S-S дает точку контакта A_o. В этой точке поверхность детали соприкасается с поверхностью инструмента, что дает равенство координат и первых производных в этой точке для обеих поверхностей. Продифференцировав зависимости (26) и (27), проведя ряд подстановок и преобразований получим производную для линии сечения номинальной поверхности детали [8]

, (29)

где u = r cosx и t = d + j - y + x [8].

Дифференцирование дуги окружности дает функцию

. (30)

Приравняв(29) и (30) и подставив Y_u и Х_u из (27) после преобразований получим зависимости для расчета профиля дискового инструмента. Для удобства пользования эти зависимости сведены в табл.1

Таблица №1

Даны постоянные параметры p, m, e, y
rw = p ctg e
Для каждой точки профиля детали даны параметры r, d, x
u = r cose v = r sin e n1 = k1 u n2 = k2 +
Уравнение касания

Более подробный вывод зависимостей следует изучить самостоятельно [1].

1.2. Условия формообразования.

Однако вывод зависимостей сам по себе еще не обеспечивает проектирования инструмента для любой номинальной поверхности при любых значениях параметров установки. Существуют условия, при которых вообще нельзя спроектировать инструмент для обработки той или иной поверхности. Эти условия сведены в так называемые условия формообразования [6,8,10].

I. Первое условие.

Для обеспечения формообразования номинальной поверхности детали необходимо, чтобы в каждой точке А_o (рис.2.1.) контакта поверхности резания с номинальной поверхностью детали эти поверхности имели бы общую касательную плоскость (общую касательную). Математически это выражается тем, что уравнение касания (табл.1) в этих точках при заданных параметрах установки имеет решение.

2. Второе условие.

В зоне касания номинальной поверхности детали с поверхностью резания инструмента последняя не должна пересекать тело детали, то есть в сечении любой плоскостью, проходящей через точку А_oкасания номинальной поверхности с поверхностью резания, круг кривизны сечения поверхности резания не должен пересекать тело детали (рис.2.2.). Математически это условие может быть записано

, (31)

где r и r_u - радиусы кривизны профилей детали и инструмента в точке А₀ рассматриваемого сечения.

3. Третье условие.

Поверхность резания не должна пересекать поверхность детали на протяжении всего пути своего движения, то есть в каждом сечении плоскостью, проходящей через точку А₀ касания номинальной поверхности с поверхностью резания, кривая сечения поверхности резания не должнапересекатькривую сечения номинальной поверхности на всем ее протяжении (рис.2.3.). Выполнение этого условия может быть проверено путем приравнивания одноименных координат профилей сечения детали инструмента, заданных в какой-либо единой системе координат

. (32)

Если условие (32) имеет единственное решение только в точке касания A_o, то выполняется третье условие формообразования.

Для получения поверхностей режущими инструментами выполнение всех трех условий формообразования необходимо и достаточно.

Анализ уравнения касания.

Уравнение касания является трансцендентным (то есть неявным) относительно искомого параметра - t, но оно довольно просто решается с помощью ЭВМ любым методом последовательных приближений [8]. Допустим t не является решением уравнения. Подставив его в уравнение получимкакое-тозначение

. (33)

Изменяя t добиваемся, чтобы q(t) = 0.

В общем случае при m ¹ ¥ и e ¹ 0 значения параметра t могут находиться в пределах от —p до +p . Если графически изобразить функцию q(t), то решение уравнения касания будет представлено в виде пересечения графика функции с осью t, причем при решении уравнения возможно 3 варианта:

I. n₂ > n₁ (рис.2.4).

В этом случае уравнение имеет два решения в пределах от -p до 0 и от 0 до +p.

2. n₂ < n₁ (рис.2.5.)

В этом случае возможны 3 варианта:

а) уравнение имеет 4 корня в диапазонах интервалов -p...t_М1, t_М1...0, 0... t_М2, t_М2... +p,

где ; (34)

б) уравнение имеет 2 корня, которые равны t_М1,2 из (34);

в) уравнение не имеет корней - данный случай соответствует не выполнению I условия формообразования.

3. n₂ = n₁ (рис.2.6).

В этом случае наинтервале от - p до +p имеется всего 1 корень.

Указанные условия помогают формировать алгоритм поиска решений.

В процессе решения задач формообразования в виду наличия нескольких корней уравнения касания может существовать несколько решений. Определение действительного решения рекомендуется производить в следующей последовательности:

- первоначально по заданному профилю номинальной поверхности детали рассчитывается несколько вариантов профилей инструмента в соответствии с количеством решений уравнения касания;

- по полученным профилям инструмента рассчитывается соответствующее количество вариантов получаемых поверхностейдетали;

- сравнивая полученные результаты с исходными данными выбирают тот вариант, в котором эти данные совпадают.

2. Определение профиля номинальной поверхности детали по заданной производящей поверхности дискового инструмента (обратная задача).

В этом случае по заданному в дискретной форме профилю дискового инструмента с параметрами точек R_u, Z_u, s_u и параметрам его установки m, e, y определяют профиль номинальной поверхности детали, полученной в процессе формообразования. Расчетные зависимости получаются путем преобразования зависимостей табл.1 относительно параметров R_u, Z_u, s_u. Полученные зависимости сведены в табл.2

Таблица №2

Даны постоянные параметры p, m, e, Y
Для каждой точки профиля инструмента даны параметры Ru, Zu, su

Вывод указанных зависимостей предлагается изучить самостоятельно [8].

Данные зависимости дают 4 варианта профиля детали, таккак возможны два различных значения Х_u и два значения Y_u. Действительный профиль определяется графически - путем прочерчивания и является наиболее широким, содержащимв себе все остальные профили.

При расчете профиля кольцевой канавки, обрабатываемой дисковым инструментом, или профиля дискового инструмента по заданному профилю кольцевой канавки, возможно воспользоваться зависимостями табл.2, табл.1, приняв р = 0. В случае кольцевой канавки при e = 0 квадратное уравнение преобразуется в зависимости

(35)

и профиль производящей поверхности инструмента совпадает с профилем номинальной поверхности детали.