Тема 8. Математическая модель химического реактора.

Уравнение материального баланса химического реактора. Конвекционный и диффузионный перенос массы. Математические модели периодического реактора идеального смешения, проточного реактора идеального смешения в стационарном режиме, реактора идеального вытеснения.

Уравнение материального баланса (одно или несколько) составляют по тому или другому компоненту-участнику реакции (реагенту или продукту), отражая в уравнении все изменения, происходящие с этим компонентом. Если реакция, протекающая в химическом реакторе, простая, то составляют одно уравнение материального баланса по любому компоненту или продукту. Если реакция сложная, математическое описание, как правило, включает несколько уравнений материального баланса по нескольким веществам, каждое из которых участвует, по меньшей мере, в одной из простых реакций, составляющих сложную. Уравнение материального баланса по веществу J учитывает все виды поступления, и расходования этого компонента в пределах элементарного объёма ∆V в течении промежутка времени ∆τ:

n_J,вх-n_J,вых-n_J,х.р=n_J,нак; гдеn_J,вх – количество вещества J, внесённого в элементарный объём ∆V за время ∆τ с потоком участков реакций; n_J,вых – то же, вынесенное из объёма ∆V; n_J,х.р - количество вещества J, израсходованного на химическую реакцию (или образовавшееся в результате её протекания) в объёме ∆V за время∆τ; n_J,нак – накопление вещества J в объёме ∆V за время ∆τ (изменение количества вещества J, одновременно содержащегося в объёме ∆V). Изменение количества вещества (J) в элементарном объёме (dV) в результате конвективного переноса за время (dτ):

n_J,конв=-U*gradc_J*dV*dτ; где grad=∂/∂z * *∂/∂x * ∂/∂y.

Изменение количества вещества (J) в результате диффузионного переноса через все грани параллелепипеда за время (dτ) составляет: ∆n_J,диф=D*▼²C_J*dV*dτ,где оператор ▼²=∂²/∂z² + ∂²/∂x² + ∂²/∂y².

Накопление вещества J за время dτ внутри элементарного объёма может произойти в результате приращения C_J при изменении времени на величину dτ составит: ∆n_J,нак=∂С_J/∂τ * dV*dτ.

Таким образом, уравнение материального баланса по веществу J на основе полученных уравнений можно записать так:

–UgradC_J*dV*dτ+D▼²C_J*dV*dτ–ω_r,JdVdτ=(∂C_J/∂τ)*dV*∂τ или сократив все слагаемые на dV*∂τ, получим: –UgradC_J+ D▼²C_J - w_r,J=∂С_J/∂τ (1); уравнение достаточно полно описывает химический процесс, протекающий в любом реакторе. В нём отражён (1-ый член) – перенос импульса, (2-ой член) – диффузионный перенос, (3-ий член) – протекание химической реакции. Это уравнение вместе с уравнением теплового баланса, учитывающим явления теплопереноса в элементарном объёме реактора, составляет полную математическую модель реактора.

Однако это уравнение слишком сложно для решения – дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Следовательно, реальный путь создания математических моделей, пригодных для практических задач по расчёту и проектированию химических реакторов, заключается в упрощении математической модели, которое можно провести для различных случаев (частных). Например, реакторов для гомогенных процессов (в изотермическом и неизотермическом режимах), реакторов для гетерогенных процессов.

Модель периодического реактора идеального смешения.

Уравнение материального баланса для этого реактора получим, если исключим два первых члена из уравнения (1) в соответствии с характеристиками реактора: –w_r,J=dC_J/dτ. отсюда модно рассчитать, например, время реакционного цикла, необходимое

CJ,f

τ= - ∫dC_J/(w_r,J(C_J)) - для достижения данной глубины превращения

^Cf,0 (конечной концентрации C_J,f )

X_J,f

τ= C_J,0 ∫ dx_J/(w_r,J(x_J)) - C_J можно выразить через степень превращения

⁰ реагента J: dx_J=-dC_J/C_J,0

Изменение концентрации исходного реагента в периодическом реакторе идеального смешения во времени (а) и по объёму аппарата (б).

Для проточного реактора идеального смешения в стационарном режиме: V/υ=τ=(C_J,0-C_J,f)/w_r,J, где V-полный объём реактора, υ-объёмный расход на входе и на выходе, τ-среднее время пребывания в проточном реакторе.

Если выразить через степень превращения X_J,f, то V/υ=τ=(C_J,0* X_J,f)/ w_r,J

Реактор идеального вытеснения. В качестве элементарного объёма можно рассматривать объём, вырезанный двумя параллельными плоскостями, находящимися друг от друга на бесконечно малом расстоянии (dz) и перпендикулярными оси канала, тогда dC_J/dx=0; dC_J/dy=0, следовательно, конвективный перенос происходит только в направлении оси z. Диффузионный перенос в реакторе отсутствует. Для нестационарного режима реактора уравнение (1) примет вид: -U_z *∂C_J/∂z - w_r,J=∂С_J/∂τ (2), то есть концентрация является функцией координаты (z) и времени (τ).

При стационарном режиме уравнение ещё более упростится:

-U_z*∂C_J/∂z-w_r,J=0 (3)

В реакторе с постоянной площадью поперечного сечения канала линейная скорость потока U_z будет постоянной, равной отношению объёмного расхода υ к площади сечения F: U_z=υ/F. С учётом того, что Fz/υ=V/υ=τ, уравнение (3) можно записать: -∂C_J/∂z - w_r,J=0 (4), здесьτ-среднее время пребывания реагентов в проточном реакторе, продолжительность прохождения потоком расстояния от входа в реактор до некоторой точки z на оси реактора. Уравнение (3) можно проинтегрировать относительно τ:

CJ,f X_J,f

τ= - ∫dC_J/(w_r,J(C_J)) , или если J – исходный реагент τ= C_J,0 ∫ dx_J/(w_r,J(x_J))

^{Cf,0 0}

Элементарный объём (dV), двигающийся вместе с потоком, для котого составлялся материальный баланс, может рассматриваться как своеобразный периодический микрореактор идеального смешения, время проведения реакции в котором равно среднему времени пребывания реагентов в реакторе идеального вытеснения.

Лекция 14.