Математическая модель ЦАП

ЦАП предназначен для преобразования числа представленного в виде двоичного кода на выходе ЦВМ, в эквивалентный аналоговый сигнал, представляющий собой электрическое напряжение (или ток). Процесс преобразования включает в себя два этапа: преобразование числового кода в дискретные моменты времени в квантованный по уровню импульсный сигнал, а затем преобразование импульсного сигнала в непрерывный кусочно-постоянный сигнал.

Квантование сигнала по уровню осуществляется в соответствии со статистической характеристикой ЦАП, изображенной на структурной схеме рис. 1 и представленной на рис. 3.

Математическая модель ЦАП - student2.ru

Рис. 3

Здесь для удобства по оси абсцисс отложен сигнал Математическая модель ЦАП - student2.ru с выхода ЦВМ в десятичной системе счисления, а по оси ординат – величина Математическая модель ЦАП - student2.ru , представляющая собой дискретное напряжение ЦАП. Единица младшего разряда выходной величины Математическая модель ЦАП - student2.ru зависит от количества разрядов Математическая модель ЦАП - student2.ru преобразователя:

Математическая модель ЦАП - student2.ru , (4)

где Математическая модель ЦАП - student2.ru – максимальное значение выходной величины ЦАП.

В соответствии с характеристикой рис. 3 справедлива зависимость

Математическая модель ЦАП - student2.ru .

Для осредненной характеристики ЦАП, показанной на рис. 3 пунктирной линией, коэффициент передачи равен

Математическая модель ЦАП - student2.ru . (5)

Тогда можно записать

Математическая модель ЦАП - student2.ru , (6)

где Математическая модель ЦАП - student2.ru – ошибка квантования по уровню, которая не превышает по модулю значения Математическая модель ЦАП - student2.ru .

На выходе ЦАП сигнал Математическая модель ЦАП - student2.ru экстраполируется кусочно-постоянным сигналом

Математическая модель ЦАП - student2.ru при Математическая модель ЦАП - student2.ru , Математическая модель ЦАП - student2.ru , (7)

вид которого приведен на рис. 4.

На рис. 1 формирование сигнала (7) осуществляется с помощью идеального импульсного элемента, представленного ключом, и передаточной функции фиксатора нулевого порядка

Математическая модель ЦАП - student2.ru .

Математическая модель ЦАП - student2.ru

Рис. 4

Оценка точности ЦАС

Рассмотрим дискретную модель цифровой САУ с учетом квантования по уровню ЦАП, которую можно представить в виде

Математическая модель ЦАП - student2.ru (8)

где

Математическая модель ЦАП - student2.ru Математическая модель ЦАП - student2.ru (9)

статическая характеристика ЦАП (рис. 5) с ограниченным числом уровней Математическая модель ЦАП - student2.ru , зависящим от числа двоичных разрядов Математическая модель ЦАП - student2.ru преобразователя (без учета знакового разряда), при этом число Математическая модель ЦАП - student2.ru определяется по заданному диапазону Математическая модель ЦАП - student2.ru и цене младшего разряда Математическая модель ЦАП - student2.ru : Математическая модель ЦАП - student2.ru . Здесь Математическая модель ЦАП - student2.ru – целая часть числа, заключенного в фигурные скобки.

Введем в рассмотрение шум квантования по уровню:

Математическая модель ЦАП - student2.ru , Математическая модель ЦАП - student2.ru . (10)

Тогда систему (8) с учетом закона управления

Математическая модель ЦАП - student2.ru ,

где Математическая модель ЦАП - student2.ru , можно представить в виде

Математическая модель ЦАП - student2.ru (11)

где Математическая модель ЦАП - student2.ru – матрица замкнутой системы, у которой собственные значения Математическая модель ЦАП - student2.ru и являются различными; Математическая модель ЦАП - student2.ru .

Найдем установившийся режим системы (11) при отсутствии шума квантования по уровню, полагая Математическая модель ЦАП - student2.ru при Математическая модель ЦАП - student2.ru . Из уравнения (11) после подстановки получим Математическая модель ЦАП - student2.ru .

Перепишем уравнение (11) в отклонении от установившегося режима полагая Математическая модель ЦАП - student2.ru :

Математическая модель ЦАП - student2.ru . (12)

Найдем верхнюю оценку области изменения вектора Математическая модель ЦАП - student2.ru в установившемся режиме при Математическая модель ЦАП - student2.ru . Для этого с помощью преобразования Математическая модель ЦАП - student2.ru , Математическая модель ЦАП - student2.ru приведем систему (12) к виду

Математическая модель ЦАП - student2.ru , (13)

где Математическая модель ЦАП - student2.ru , Математическая модель ЦАП - student2.ru . Матрица Математическая модель ЦАП - student2.ru находится с помощью матрицы управляемости: Математическая модель ЦАП - student2.ru , где Математическая модель ЦАП - student2.ru матрица управляемости, а матрица Математическая модель ЦАП - student2.ru невырожденная по построению.

Покажем, что если вектор Математическая модель ЦАП - student2.ru принадлежит области

Математическая модель ЦАП - student2.ru , (14)

то Математическая модель ЦАП - student2.ru при любом Математическая модель ЦАП - student2.ru . Действительно, уравнению (13) соответствуют уравнения

Математическая модель ЦАП - student2.ru , (15)

из которых при Математическая модель ЦАП - student2.ru с учетом Математическая модель ЦАП - student2.ru следуют неравенства

Математическая модель ЦАП - student2.ru ,

т.е. выполняется условие Математическая модель ЦАП - student2.ru . Аналогично показывается, что Математическая модель ЦАП - student2.ru и т.д., что и требовалось доказать.

При произвольных начальных условиях Математическая модель ЦАП - student2.ru для уравнений (15) справедливы решения

Математическая модель ЦАП - student2.ru , Математическая модель ЦАП - student2.ru ,

для которых выполняются неравенства:

Математическая модель ЦАП - student2.ru , Математическая модель ЦАП - student2.ru .

Отсюда следует, что при Математическая модель ЦАП - student2.ru , Математическая модель ЦАП - student2.ru , с учетом равенства Математическая модель ЦАП - student2.ru

выполняется условие Математическая модель ЦАП - student2.ru . С помощью обратного преобразования Математическая модель ЦАП - student2.ru и обозначения Математическая модель ЦАП - student2.ru получим область

Математическая модель ЦАП - student2.ru . (16)

Таким образом, область (16) является оценкой сверху области изменения вектора Математическая модель ЦАП - student2.ru в установившемся режиме, которая характеризует точность ЦАС и является более точной по сравнению с аналогичной оценкой, полученной с использованием функций Ляпунова. Отметим, что оценка (16) справедлива как при устойчивой, так и при неустойчивой разомкнутой системе (8). При этом даже в случае устойчивости разомкнутой системы в замкнутой системе (11) могут присутствуют автоколебания относительно установившегося режима Математическая модель ЦАП - student2.ru . Если разомкнутая система неустойчива, то в замкнутой системе возникают незатухающие колебания, имеющие "квазислучайный" характер. Это связано с тем, что характеристика квантования по уровню Математическая модель ЦАП - student2.ru в ЦАС имеет зону нечувствительности, и когда процесс Математическая модель ЦАП - student2.ru попадает в нее, система размыкается, и в силу неустойчивости разомкнутой системы процесс Математическая модель ЦАП - student2.ru стремится выйти из зоны нечувствительности.

В случае устойчивой разомкнутой системы или находящейся на границе устойчивости, оценка (16) для системы (8) может быть завышенной, т.к. в замкнутой системе могут отсутствовать автоколебания. При этом процесс Математическая модель ЦАП - student2.ru стремится к положению равновесия Математическая модель ЦАП - student2.ru , если разомкнутая система устойчива, или к отрезку покоя, соответствующему зоне нечувствительности характеристики Математическая модель ЦАП - student2.ru , если находится на границе устойчивости.

Вопросы для самопроверки

1. В каких случаях в замкнутых ЦАС возникают незатухающие колебания?

2. За счет чего можно повысить точность ЦАС в установившемся режиме?

Наши рекомендации