Исследование крутильных колебаний вала

Объект исследования: волновое уравнение.

Результаты, полученные лично автором: получено решение задачи о крутильных колебаниях вала с диском на одном конце.

При выводе дифференциального уравнения крутильных колебаний вала принимаются следующие положения:

1) поперечные круговые сечения стержня при кручении остаются плоскими и сохраняют между собой первоначальные расстояния, радиусы, проведенные в этих сечениях, не искривляются;

2) кручение кругового вала можно представить, как результат сдвигов, вызванных поворотом поперечных сечений друг относительно друга, причем все повороты совершаются вокруг оси вала.

В работе рассматривается задача о крутильных колебаниях вала с диском на одном конце. Пусть один конец вала длины l закреплен, а на другой его конец насажен массивный диск, момент инерции которого относительно оси вала равен J₁. В начальный момент диск закручивается на малый угол α и отпускается без начальной скорости.

Дифференциальное уравнение крутильных колебаний вала имеет вид:

где , J₀ – полярный момент инерции поперечного сечения стержня относительно его центра, G – модуль сдвига, – угол поворота поперечного сечения, t – время, за которое совершается вращение, K – момент инерции вала относительно оси вращения.

При x=l:

где с= , J₁ – момент инерции диска.

Решим задачу методом Фурье (ищем решение в виде ).

Функции T(t) и X(x) являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений:

g w:fareast="RU"/></w:rPr><m:t>2</m:t></m:r></m:sup></m:sSup><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:fareast="RU"/></w:rPr><m:t>T=0,</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

(1)

Функция Х(х) должна удовлетворять условиям Х(0) = 0 и

Решение уравнения (1) имеет вид:

Из условия Х(0) = 0 следует, что С₁ = 0.

Так как С₂ ≠ 0 и (иначе мы получим тривиальное решение Х(х) = 0), то для определения собственных чисел мы приходим к трансцендентному уравнению:

(2)

Полагая и обозначая , перепишем уравнение (2) в виде:

Это уравнение имеет бесчисленное множество корней µ_k, которые можно найти в специальных таблицах. Каждому корню µ_k соответствует собственное число и собственная функция .

После того, как собственные числа найдены, ищем соответствующие им функции Т_к. Получаем:

Коэффициенты а_k и b_k ищем из начальных условий:

Получаем b_k = 0.

Окончательное решение имеет вид:

Материал поступил в редколлегию 24.04.2017

УДК 519.111

В.К. Казаринова

Научный руководитель: доц. каф. «Высшая математика»,

к.ф.-м.н. М.Г.Башмакова

[email protected]